不等关系与不等式

一．知识点总结：

1.不等关系与不等式

比差法：a>ba-b>0, a<ba-b<0，a=ba-b=0.问题的关键是判定差的符号（正，负，零），方法通常是配方或因式分解.

2.不等式的性质

基本性质有：                      运算性质有：

(1)a>bÛb<a （对称性）          1）a>b,c>dÞa+c>b+d.        5)a>b>0Þaⁿ>bⁿ

(2)a>b,b>cÞa>c (传递性)       2)  a>b,c<dÞa-c>b-d .        6)a>b>0Þ (nÎN,n>1)

(3)a>bÛa+c>b+c                 3) a>b>0,c>d>0Þac>bd.

(4)c>0时，a>bÛac>bc            4)a>b>0,0<c<dÞ

 c<0时，a>bÛac<bc             5)a>b>0Þaⁿ>bⁿ

                                6)a>b>0Þ

3.均值不等式

a,b∈R⁺,(当且仅当a=b时成立等号)

教材讲了利用它证明不等式和求最值，突出了求最值.可以把此不等式扩充为(当且仅当a=b时成立等号).注意“凑”成可用定理的形式.

例题

1）.已知，则下列各数从小到大的顺序是    .

2.）已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为        .

3）.已知a,b∈R，且满足a+3b=1，则ab的最大值为___________.

4.一元二次不等式

1）可以把“三个二次”结合起来，突出二次函数的作用.

对于二次项系数为负的情况可以类似研究，如果只是解不等式，可以首先把二次项系数调整为正.

2）解一元二次不等式的思维过程：

第一步，                                    

第二步，                                  

第三步，                                  

 3）含参问题，要会分类讨论。.

4）高次不等式：对可以分解为几个一次式之积形式的高次不等式应该会用穿线法解答，毕竟教材中有所体现.

5）简单分式不等式、简单的指对不等式（P99 A 3,6；P103 4 ）

5.恒成立问题

1）常用以下结论：k ≥ f(x)恒成立? k ≥ f(x)_max, ；k ≤ f(x)恒成立? k ≤ f(x)_min .(P.103 3)

2）注意它和存在性问题的区别：

存在x使k ≥ f(x)成立? k ≥ f(x)_min ；存在x使k ≤ f(x)成立? k ≤ f(x)_max .

二．参考例题：

1.不等式ax+ bx + c＞0 的解集为（-，2），对于系数a、b、c，有如下结论：

①a＞0  ②b＞0  ③ c＞0 ④a + b + c＞0  ⑤a – b + c＞0，其中正确的结论的序号是_____________.

2.已知两个正变量x,y满足x+y=4,使不等式恒成立的实数m的取值范围是        .

3.不等式(x-2)² (3-x) (x-4)³ (x-1)≥0的解集为         .

4.方程x²+(k-2)x+5-k=0的两根都大于2，求实数k的取值范围.

5.解关于x的不等式：ax²-(a+1)x+1<0

6.解关于x的不等式：.

7.若不等式 对一切x恒成立，求实数m的范围.(P80 A 6；P99 4)

8.设不等式ax²+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}(0<α<β),求不等式cx²+bx+a<0的解集.

9.已知关于x的二次方程x²+2mx+2m+1=0

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.

                       

 

 

课后练习

1．解下列不等式：

（1）；（2）；（3）．

2．已知，，

（1）若，求的取值范围；

（2）若，求的取值范围．

3．已知，

（1）如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；

（2）如果对，恒成立，求实数的取值范围

4．已知不等式的解集为，则不等式的解集为   ．

5．若不等式对一切成立，则的取值范围．

6．若关于的方程有一正根和一负根，则的取值范围．

7．关于的方程的解为不大于2的实数，则的取值范围．

8．不等式的解集为．

1.若x>0,求f(x)=的最小值

2.若x>0,求f(x)=的最大值

3.已知,求函数的最大值

4．a，b∈R，且a+b=3，则2^a+2^b的最小值为                               （    ）

   A．8                                   B．6

   C．4                               D．2

5．x>0，y>0，3x+y=12，则xy的最大值是__________，的最小值是____________.

6．函数y=的最小值为_______________

训练题

(1)      已知，如果，那么的最小值为_______；若，那么的最大值为_______．

(2)      已知，如果，那么的最小值为_______；如果，那么的最大值为_______．

(3)      已知，如果，那么的最小值为_______；如果，那么的最大值为_______．

(4)      若，且，则的最小值为___________．

(5)      已知，且，则的最小值为___________．

(6)      已知，则函数的最大值为___________．

(7)      函数的最大值为_____________________．

(8)      已知，则的最大值为___________．

(9)      已知时，则的最大值为___________．

(10)  若，则函数的最大值最大值为___________．

 

第二篇：不等式知识点总结

不等式知识点总结

一、不等式的性质：

1、对称性：a?b?b?a,a?b?b?a

2、传递性：a?b,b?c?a?c

3、加法法则：（１）、a?b?a?c?b?c； （２）、a?b,c?d?a?c?b?d ４、移项法则：a?b?c?a?c?b ５、乘法法则：（１）若a?b且c?0则ac?bc；若a?b且c?0则ac?bc （２）、若a?b?0且c?d?0则ac?bd；若a?b?0且 c?d?0则ac?bd ６、倒数法则：若a?b且ab?0则? ７、乘方和开方法则：若a?b?0且n?N?则an?bn； 若a?b?0且n?N?，则a?

二、算术平均数和几何平均数：

１、（１）、算术平均数a1?a2?????an

n(ai?0) 1a1b

（２）、几何平均数：a1a2???an(ai?0) ２、对于任意的实数a,b，都有a2?b?2ab（当且仅当a?b时等号 成立）

３、均值定理：若a,b?R?，则

2a?b?ab 2a?b?ab??４、均值定理的推广：112?aba2?b2 2

５、求函数的最值问题：对于正数x,y，有：

（１）、如果xy?P是定值，则x?y有最小值2P

S2（２）、如果x?y?S是定值，则xy有最大值 4

注：（１）、上述结论即积定和最小，和定积最大；

（２）、求最值的条件是：一、二定、三相等 ６、若x?0，则x??2；若x?0，则x??2 ７、函数y?x?a(a?0)的单调性： x1x1x

若a?0，则函数在区间???,0?和?0,???上均为增函； 若a?0，则函数在区间???,?a?和a,???上为增函数 在区间?0,a?和??a,0?上为减函数

三、绝对值不等式：

１、绝对值的基本性质：（１）、a?0（当且仅当a?0时取等号） （２）、a??a；（３）、?a?a?a；（４）、a?a2 （５）、?a?a,a?b?b?a

２、绝对值的运算性质：

（１）、a?b?a?b?a?b；（２）、ab?ab；

aa（３）、?bb(b?0) 2

四、不等式的证明方法：

主要有：比较法、综合法、分析法、换元法（书P27例１）、反证法、判别式法、放缩法、构造函数法（书P17９）

例（判别式法）：设a,b,c?R，证明：a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0，并指出等号何时成立。

证明：令f(a)?a2?(c?3b)a?(c2?3b2?3bc) 则??(3b?c)2?4(c2?3b2?3bc)??3(b?c)2，因为b,c?R， 所以??0，所以f(a)?0，即a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0恒成立 当??0，即b?c?0时，f(a)?(a?b)2?0， 即a??b?c时，不等式取等号。

五、不等式的解法：

１、一元一次不等式

２、一元二次不等式

３、绝对值不等式

４、分式和高次不等式 ５、无理不等式

６、指数和对数不等式