高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习 - 范文118

高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习

高中数学必修5 第一章解三角形复习

一、知识点总结

【正弦定理】

1．正弦定理: (R为三角形外接圆的半径).

2.正弦定理的一些变式：

；；

；（4）

3．两类正弦定理解三角形的问题：

（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）

4.在中，已知a,b及A时，解得情况：

解法一：利用正弦定理计算

解法二：

【余弦定理】

1．余弦定理：

2.推论： .

设、、是的角、、的对边，则：

①若，则；

②若，则；

③若，则．

3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.

（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

【面积公式】

已知三角形的三边为a,b,c,

1.（其中为三角形内切圆半径）

2.设,(海伦公式)

【三角形中的常见结论】

（1）(2)

,;,

（3）若

若

（大边对大角，小边对小角）

（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

（5）三角形中最大角大于等于，最小角小于等于

(6)锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.

钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值

（7）中，A,B,C成等差数列的充要条件是.

(8)为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列.

二、题型汇总

题型1【判定三角形形状】

判断三角形的类型

（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

（2）在中，由余弦定理可知:

（注意：）

(3) 若，则A=B或.

例1.在中，，且，试判断形状.

题型2【解三角形及求面积】

一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

例2.在中，，，，求的值

例3.在中，内角对边的边长分别是，已知，．
　　（Ⅰ）若的面积等于，求；
　　（Ⅱ）若，求的面积．

题型3【证明等式成立】

证明等式成立的方法：（1）左右，（2）右左，（3）左右互相推.

例4.已知中，角的对边分别为，求证：.

题型4【解三角形在实际中的应用】

仰角俯角方向角方位角视角

例5．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

多做练习，有助于巩固掌握知识点

第二篇：高中数学必修5__解三角形知识点总结与练习

解三角形

一、知识点总结

1．内角和定理：

在中，；；；

.

2．面积公式: =

3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：或变形： (解三角形的重要工具)

形式二： (边角转化的重要工具)

4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..

形式一：

(解三角形的重要工具)

形式二：；； cosC=

5．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.

（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

7．

四、巩固练习二

一、选择题

1、ΔABC中,a=1,b=, ∠A=30°,则∠B等于（）

A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°

2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）

A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b= ,∠A=30°

C．a=1,b=2,∠A=100° C．b=c=1, ∠B=45°

3、在锐角三角形ABC中，有（）

A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosA<sinB且cosB<sinA

C．cosA>sinB且cosB<sinA D．cosA<sinB且cosB>sinA

4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是（）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

二填空题

5、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=, 则ΔABC是______三角形.

6、在ΔABC中，若S_Δ_ABC= (a²+b²－c²),那么角∠C=______.

7、在ΔABC中，a =5,b = 4,cos(A－B)=,则cosC=_______.

三、解答题

8、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：

①B=60°,b²=ac； ②b²tanA=a²tanB；

③sinC= ④ (a²－b²)sin(A+B)=(a²+b²)sin(A－B).

9.一缉私艇发现在北偏东方向,距离12 nmile的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿东偏南方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东的方向去追,.求追及所需的时间和角的正弦值.

二、例题讲解

1 在△ABC中，，则等于（）

A B C D

2. 在△ABC中，若，则等于（）

A B C D

3．在中，若=1,C=, =则A的值为

A． B． C． D．

4. 在△中，若，则等于（）

A B C D

5.在中，，，分别为角，，所对边，若，则此三角形一定是（）

A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形

6.在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于_________.

7.在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于________．

8.△ABC中，若∠B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积为___ _.

9.根据所给条件，判断△ABC的形状. ．

10．已知△的内角的对边分别为，其中，

又向量m，n，m·n=1．

（1）若，求的值；

（2）若，求△的面积．

三、巩固练习二

1 在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是.( )

A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形

2、

4. 在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为________．

5、在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A，C和边c

6．根据所给条件，判断△ABC的形状.acosA=bcosB；

7.已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求的面积．

第三篇：高中数学必修1知识点总结归纳：第一章_集合与函数概念

高中数学必修1知识点总结

第一章 集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

（2）常用数集及其记法

表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

（1）含绝对值的不等式的解法

（2）一元二次不等式的解法

〖1.2〗函数及其表示

【1.2.1】函数的概念

（1）函数的概念

①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作．

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．

（2）区间的概念及表示法

①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做．

注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须

．

（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①是整式时，定义域是全体实数．

②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．

⑤中，．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零．

⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．

⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．

（4）求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：

①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．

②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．

③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．

⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．

⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．

⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．

⑧函数的单调性法．

【1.2.2】函数的表示法

（5）函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．

（6）映射的概念

①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．

②给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．

〖1.3〗函数的基本性质

【1.3.1】单调性与最大（小）值

（1）函数的单调性

①定义及判定方法

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减．

（2）打“√”函数的图象与性质

分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．

（3）最大（小）值定义

①一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；

（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最大值，记作．

②一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得

．那么，我们称是函数的最小值，记作．

【1.3.2】奇偶性

（4）函数的奇偶性

①定义及判定方法

②若函数为奇函数，且在处有定义，则．

③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．

〖补充知识〗函数的图象

（1）作图

利用描点法作图：

①确定函数的定义域； ②化解函数解析式；

③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．

利用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．

①平移变换

②伸缩变换

③对称变换

（2）识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．

（3）用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．

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