云南分中心 ? 昆明学院 ? 周兴伟

此次听陈教授的课，收益颇多。陈教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点，更是几堂非常出色的示范课。我们不妨来温习一下。

第一讲、微积分思想产生与发展的历史

法国著名的数学家H.庞加莱说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。” 那么，如果你要学好并用好《数学分析》，那么，掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。陈教授就是以这一专题开讲的。

在学校中，我不仅讲授《数学分析》，也讲授《数学史》，所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。

在这一讲中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。讲《数学史》也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些精彩例子加以剖析。如陈教授对祖暅是如何用 “祖暅原理”求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高学生的民族自豪感（陈教授也提到了这一点）。

在这一讲中，陈教授对weierstrass的“ε?N”、“ε?δ”语言的评述是“它实现了静态语言对动态极限过程的刻画”。这句话是非常精当的，如果意识不到这一点，你就很难理解这一点。在此我还想明确一点：《数学分析》的研究对象是函数，主要是研究其分析性质，即连续性、可微性及可积性，而使用的工具就是极限。如果仔细盘点一下，在《数学分析》中，无论是数、函数、数列、函数列，数项级数，函数项级数等相关问题，无不用到这一语言，你应该能理解陈教授的“对于数学类学生来说，没有“ε?N”、“ε?δ”语言，在《数学分析》中几乎是寸步难行的”这一观点。

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第二讲、实数系的基本定理

在这一讲中，陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界”。

我在开《数学赏析》时有一个专题就是“无穷的世界”，我给学生讲礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题，但遗憾的是，当我剖析“若无穷旅馆住满了人，再来两个时，可将住１号房间的移往３号房间，住２号房间的移往４号房间，从而空出两个房间”时，学生对我“能移”表示怀疑。这一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子，用有限的眼光来看无限，只能是‘只在此山中，云深不知处’”。当然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。若陈教授或其他老师有好的建议，能指点一下，则不胜感激。

对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系，包括Q与Ｒ的对等关系，或者说他们之间双射的构造。关键在于“求同存异”，找一个可数集来“填补”他们之间的差距，这相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和来了可数个人。

对于实数集中的有理数，“廖若晨星”是非常形象的描述。一声集合的哨响，我们发现，有理数在实数轴上几乎是没有位置的（mQ=0），用一系列的帽子来盖住这些点，而这些帽子的大小是ε，这是非常精彩的结果。

从可数集到不可数集，再加上无最大基数定理，让我们看到了“无穷的层次性”，由此我们不难理解“人外有人，天外有天，无穷之外有无穷”。我们不能不发出“哀吾生之须臾，羡长江之无穷”的感慨。

陈教授对单调确界原理的证明非常清晰明了，几何直观的描述形象直观。

第三讲 《数学分析》课程中最重要的两个常数

法国著名雕塑家罗丹曾经说过“生活中从不缺少美，而是缺少发现美的眼睛”。我想说：“数学中并不缺少美，缺少的是揭示数学美的老师”。陈教授是一个出色的老师，他不仅发现了数学的美，而且为我们展示了数学的美。

著名的欧拉公式：e?i?1?0，实现了有理数、无理数、超越数、实数、虚数

完美统一，获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数（0,1,i,e,?）之间的绝妙的有趣的联系，被认为是数学奇异美的典例。

在本讲中，陈教授以李大潜院士访问法国“引入”的一个有趣例子开讲，让我们体会了数学中的美，这个不等式还有许多有意思的地方，无论是不等式的形式，还是他的证明，都非常深刻地体现了数学的美。Pi是无理数的证明，吸引了与会学员的眼球，赞叹之余，有学员问这一证法的出处，我也还真想知道，请陈教授不吝指教。

本讲最后将函数sinx/x展成无穷乘积形式，并妙用此形式求出p级数中p为偶数值时的和，对我而言是耳目一新的。在我记忆中好像菲尔金哥尔茨的《微积分学教程》(第二卷)中也有求出的方法，而p为奇数的情形好像至今尚未解决。对p=2的情形，欧拉至少用两种方法得到结果，其中一种方法妙用了L’Hospital法则(《数学译林》09.3)。

第四讲 级数与反常积分收敛的A.D判别法

恰逢这个学期讲《数学分析》(3)，在讲授含参变量反常积分时，先复习了反常积分，再复习了函数项级数，并将几个判别法列表比较，尤其是A.D判别法，能与陈教授不谋而合，真是倍感荣幸。

陈教授对Abel引理的直观刻画，也是深得学员好评。我对陈教授从Abel引理分析?anbn收敛条件的分析而得到Dilichlet判别法和Abel判别法的相关条件深感佩服，尤其是分析得丝丝入扣。

第五讲 函数项级数与含参变量反常积分的一致收敛

一致收敛性无疑是《数学分析》中的一个重要概念。陈教授对“点点收敛”与“一致收敛”的剖析是非常到位的，学生在学习时如果是只能注意到在定义的陈述“?x”的位置不相同，而不明其所以时，这样的教学肯定是失败的。陈教授例子选择精当，语言使用精辟，问题分析精准。

请注意陈教授的这句话：“毛病出在点态收敛的情况下，在某些点附近，N无法控制”（类似的话在第九讲中说过）。

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第六讲 Weierstrass函数：处处连续处处不可导的函数

陈教授分析了为何在Weierstrass之前的数学家不能构造出这样的函数。原来在此之前，数学家们所掌握的函数是不足以构造出这样的函数的。

Weierstrass在18xx年构造出了如下处处连续处处不可导的函数：

?ansin(bnx) 0<a<1<b, ab>1

陈教授选用19xx年Van Der Waerden给出的例子进行了剖析。所讲自是精当，本人很是受益。

第七讲 条件极值问题与Lagrange乘数法

本讲陈教授从一个几何问题入手，得到一个条件极值问题。考虑了条件极值的必要条件，引入Lagrange乘数法，化条件极值问题为无极条件极值问题。这部分内容中，本人认为几何解释最有启发性。

对于具体使用Lagrange乘数法的例子中，如何解方程组，陈教授给了很好的建议。第二个例子，即求平面x+y+z=0与椭球面x2+y2+4z2=1相交而成的椭圆面积。这个例子我很喜欢，只可惜不能用来做期末考题（不要问我为什么！）。

第八讲 重积分的变量代换

本讲陈教授从定积分的换元的计算公式分析入手，对二重积分的相应的代换公式作出类比猜想（在教学中注重渗透数学思想方法，如此妙哉！）再作分析，然后得出代换公式。

为证明代换公式，陈教授引入本原映射，化“矩形”为“梯形”，化变换T为两个本原变换的复合，实现了化复杂为简单，化困难为容易。

第九讲 《数学分析》课程中的否定命题

《数学分析》教学中，说说“反话”很重要！（请不要误解！）

两个命题A与B如果既不能同时成立，也不能同时不成立，就称A与B互为否定命题。

若A与B互为否定命题，则A与B一定满足：一个成立，另一个必然不成立；一个不成立，另一个必定成立。（废话！）

有界与无界、收敛于a与不收敛于a、收敛与不收敛、（注意前边两对的区别！）、可导与不可导、Cauchy收敛准则及其否定命题，等等。这些“反话”不说，大量的题做不了。

我在讲《数学分析》(1)时会有一讲（几个概念的否定叙述）就是来讲否定命题的。

陈教授在这部分的例子非常好，分析得也清楚！

陈教授的九讲，给了我们太多的启示：

一、在我们的教学中，不仅要教其所以然，而且要教其所以然。陈教授的这九讲，

应该是我们讲授《数学分析》的经典案例，当然，我们不一定是讲这一些内容！正确的思想从哪里来，是从天上掉下来的吗？不是！

二、在我们的教学，不仅要传授知识，而且要传授思想方法，也就是教学中要注

重思想方法的渗透。

三、在我们的教学中，不仅要传授知识，而且要培养学生的数学素养，让他们了

解数学的过去、现在，以便开创数学的将来。

四、在我们的教学中，或许会遇的许多困难：教学时数少，教学对象差等等，但

我们应从我们自身积极的寻找对策。陈教授就是这样的。

以上所述，仅凭个人听课记录，又仅凭个人理解。若是有误，请陈教授见谅并斧正。

最后，向陈纪修教授致以崇高的敬意！

滇源后学：周兴伟

 

第二篇：数学分析学习心得

数学分析学习心得

学院：理学院

专业：计算科学1001

姓名：郭宏岩

数学分析内容简介

数学分析内容有实数集与函数、数列极限函数极限、函数连续性、导数、微分等。书中内容大都以证明为主，计算部分较少。

课前预习

课本中每节的内容构架都是相似的，大都为引言、定理、定理的证明、例题、课后习题。了解了构架。那么我们就应该预习重点部分，在时间充足的的情况下，再看其他未看内容。

引言，不重要，可以浏览一下，也可以不看；定理，是核心的内容，不仅看而且要详细的记住它，所谓详细的记住是指：把定理的条件不要记错，这个对证明很有用；接下来是证明，证明影响你对定理的理解程度和运用的熟练程度。可先了解证明思路证明中的计算可以忽略，这样在老师的讲解下就可以明白；最后是例题和习题，例题是对定理最简单最贴切的应用，所以课前掌握最好，习题可看可不看。

记录笔记

在紧张的课堂学习中，要记好自己的笔记让它清晰工整是不容易的。因为你还在用心听老师讲课，所以要有方法。

首先，学会省略。减轻课堂负担，在课后补充。比如：定理，你可以把定理的内容在课本上画下来，在笔记中留出空白。用这段时间理解并记忆定理。计算也可以省略，留到课下自己计算。

其次，学会缩写。在数学分析中，有很多符号语言，比如：∑（加和）∞（无穷大）∵（因为）th(定理)等。

最后，抓住重点记录。重点可以分为两部分：一部分是老师上课所说的重点部分，那一定是精华，所以不要错过；另一部分是自己不懂或难懂的部分，记录下来，课下反复思考，复习。

课后复习

课后复习要从两方面出发：

一方面是老师要求掌握的内容，这些内容是考试内容，对期末复习打下良好的基础。

另一方面是自己难以掌握的内容，这些内容是最容易忘记的也是应用熟练程度最差的。所以也要作为重点复习。

复习要有一定的周期性，不能本周看了，之后就让它冬眠，这样大脑会一片空白的。可以根据自己的记忆能力，一星期或两星期看一次。

读书方法

读书要有侧重点，数学分析中的定理，有的要着重看它的证明方法，他的方法是独特的，可以给自己以借鉴；有的要着重看定理的内容，它的定理应用，推广会更多一些；有的当做了解内容，因为它可能是为其它定理作铺垫的。

其中的例题一定要看，这个会是定理的浅显应用，对于初学者来说，能够为以后做难题提供思路和方法。

数学分析中的创新与应用

在创新方面，一般是定理推广，它的推广会被现实生活中应用的更加广泛。

在应用方面，这个很多，一般是竞赛中的应用，比如数学建模。在计算机程序中也有很多应用。

学好数学分析，其天赋是一方面，另一方面就是自己的不断努力下所积累的做题经验和逻辑性思维。只有努力才有收获！