圆的知识点归纳总结大全

一、圆的定义。

1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素。

1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。

（1）劣弧：小于半圆周的弧。

（2）优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质。

1、圆的对称性。

（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

（2）推论：

Ø  平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

Ø  平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。

（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙O的半径为r，OP=d。

 

7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

  （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

      （直角三角形的外心就是斜边的中点。）

8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。

  直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；

  直线与圆没有交点，直线与圆相离。

2

9、平面直角坐标系中，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）。

   则AB=

10、圆的切线判定。

（1）d=r时，直线是圆的切线。

    切点不明确：画垂直，证半径。

（2）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。

    切点明确：连半径，证垂直。

11、圆的切线的性质（补充）。

（1）经过切点的直径一定垂直于切线。

（2）经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。

12、切线长定理。

（1）切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。

（2）切线长定理。

∵ PA、PB切⊙O于点 A、B

∴ PA=PB，∠1=∠2。

13、内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）如图，△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，⊙O切△ABC三边于点D、E、F。

     求：AD、BE、CF的长。

    分析：设AD=x，则AD=AF=x，BD=BE=5－x，CE=CF=7－x.

          可得方程：5－x＋7－x=6，解得x=3

（3）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c。

    求内切圆的半径r。

分析：先证得正方形ODCE，

得CD=CE=r

          AD=AF=b－r，BE=BF=a－r

          b－r＋a－r=c

          得r=

14、（补充）

（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。

     如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。

（2）相交弦定理。

     圆的两条弦AB与CD相交于点P，则PA·PB=PC·PD。

（3）切割线定理。

如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，则PA²=PB·PC。

（4）推论：如图，PAB、PCD是⊙O的割线，则PA·PB=PC·PD。

 

15、圆与圆的位置关系。

（1）外离：d>r₁＋r₂，     交点有0个； 

     外切：d=r₁＋r₂，     交点有1个；

     相交：r₁－r₂<d<r₁＋r₂，交点有2个；

     内切：d=r₁－r₂，     交点有1个；

     内含：0≤d<r ₁－r ₂，   交点有0个。

 （2）性质。

      相交两圆的连心线垂直平分公共弦。

      相切两圆的连心线必经过切点。

16、圆中有关量的计算。

（1）弧长有L表示，圆心角用n表示，圆的半径用R表示。

     L=

（2）扇形的面积用S表示。

    S=      S=

（3）圆锥的侧面展开图是扇形。

     r为底面圆的半径，a为母线长。

²  扇形的圆心角α=

²  S_侧=ar       S_全=ar＋r²

 

第二篇：统计概率知识点归纳总结大全

统计概率知识点归纳总结大全

1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．

2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.

3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．

4．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．

5． 掌握离散型随机变量的分布列.

6．掌握离散型随机变量的期望与方差.

7．掌握抽样方法与总体分布的估计.

8．掌握正态分布与线性回归.

考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率

解此类题目常应用以下知识:

(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝＝;

等可能事件概率的计算步骤：

（1）      计算一次试验的基本事件总数;

（2）      设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数;

（3）      依公式求值;

（4）      答，即给问题一个明确的答复.

(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);

   特例：对立事件的概率：P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.

(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);

  特例：独立重复试验的概率：P_n(k)＝.其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]ⁿ展开的第k+1项.

 (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：

①      求概率的步骤是：

第一步，确定事件性质

即所给的问题归结为四类事件中的某一种.

第二步，判断事件的运算

即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.

第三步，运用公式求解

第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.

考点2离散型随机变量的分布列

1.随机变量及相关概念

①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.

②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

①离散型随机变量的分布列的概念和性质

一般地，设离散型随机变量可能取的值为，，……，，……，取每一个值（1，2，……）的概率P（）=，则称下表.

为随机变量的概率分布，简称的分布列.

由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：

（1），1，2，…;（2）…=1.

②常见的离散型随机变量的分布列：

（1）二项分布

次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n，并且，其中，，随机变量的分布列如下：

称这样随机变量服从二项分布，记作，其中、为参数，并记： .

（2） 几何分布

在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.

随机变量的概率分布为：

考点3  离散型随机变量的期望与方差

随机变量的数学期望和方差

                                       (1)离散型随机变量的数学期望：…；期望反映随机变量取值的平均水平.

⑵离散型随机变量的方差：……；

方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

⑶基本性质：；.

(4)若～B(n，p)，则   ;  D =npq（这里q=1-p） ; 

如果随机变量服从几何分布，，则，D =其中q=1-p.

考点4  抽样方法与总体分布的估计

抽样方法

1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.

2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.

3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.

总体分布的估计

由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.

总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.

当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.

当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.

总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.

考点5  正态分布与线性回归

1.正态分布的概念及主要性质

（1）正态分布的概念

如果连续型随机变量 的概率密度函数为     ，x  其中、为常数，并且＞0，则称服从正态分布，记为（，）.

（2）期望E =μ，方差.

（3）正态分布的性质

正态曲线具有下列性质:

①曲线在x轴上方，并且关于直线x＝μ对称.

②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.

③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.

（4）标准正态分布

当=0，=1时服从标准的正态分布，记作（0，1）

（5）两个重要的公式

①,② .

（6）与二者联系.

（1）若，则  ;

②若，则.

2.线性回归

简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.

变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.

具体说来，对n个样本数据（），（），…，（），其回归直线方程，或经验公式为：.其中，其中分别为||、||的平均数.

 

第三篇：小学六年级圆的知识点总结

一、圆的认识

1、日常生活中的圆

2、画图、感知圆的基本特征

（1） 实物画图

（2） 系绳画图

3、对比，感知圆的特征：我们以前学过的长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形等，都是曲线段围成的平面图形，而圆是由曲线围成的一种平面图形。

【归纳】：圆是由一条曲线围成的封闭图形

二、圆的各部分名称

1、圆心：用圆规画出圆以后，针尖固定的一点就是圆心，通常用字母O表示，圆心决定圆的位置

2、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

3、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。 直径是一个圆内最长的线段

三、圆的主要特征

1、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。

2、在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的1/2。

用字母表示为：d=2r或r=d/2

3、 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。圆是轴对称图形且有无数条对称轴

一、 圆的周长的认识

1、 围成圆的曲线的长叫做圆的周长

2、 周长与圆的直径有关，圆的直径越长，圆的周长就越大

二、 圆周率的意义及圆的周长公式

1、 圆周率实验：在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。

3、 圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π(pai) 表示。

4、 一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。

5、 在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

6、 圆的周长公式： C= πd —→ d = C ÷π或C=2π r —→ r = C ÷ 2π

7、 区分周长的一半和半圆的周长：

（1）周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法：2π r ÷ 2 即 π r

(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：πr+2r 即 5.14 r

8、正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径；圆的面积=78.5%正方形的面积

画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以

边长为直径画圆。

9、长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径

画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以

宽为直径画圆。

10、常用的3.14的倍数：

3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7

3.14×6＝18.84 3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26

3.14×12＝37.68 3.14×14＝43.96 3.14×16＝50.24 3.14×18＝

56.52 3.14×24＝75.36 3.14×25＝78.5 3.14×36＝113.04

3.14×49＝153.86 3.14×64＝200.96 3.14×81=254.34

四、圆的面积与以它的半径为边长的正方形的面积的关系

以正方形的边长为半径画的圆，正方形的面积实际就是这个圆半径的平方，因此得出“圆的面积是它半径平方的3倍多一些”圆的面积大约等于半径×半径×3

五、圆的面积公式

1、把圆拼成近似的长方形，知识形状改变了，图形的大小并没有发生变化，因此圆的面积=拼成的近似长方形的面积

2、圆的面积推导：

圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面积相等（即S长方形＝S圆）；

长方形的宽是圆的半径（即b＝r）；

长方形的长是圆周长的一半（即a＝C÷2=πr）。

即：S长方形＝ a × b

↓ ↓

S圆＝ πr × r

＝ πr2 所以，S圆 ＝ π r2

注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。C长方形＝2πr＋2r =C圆＋d

一、圆环的意义及面积的计算

1、 圆环的意义：以同一点为圆心，半径不相等的两个圆组成的图形，两元之间的部分就是圆环。

2、 圆环中半径较大的圆叫做外圆，半径较小的圆叫做内圆。外圆半径与内圆半径的差叫做环宽，两圆中间的部分大大小叫做圆环的面积

3、 外圆的半径=内圆半径+1个环宽；外圆的直径=内圆直径+2个环宽

4、 求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法分配律 进行简便计算。

S圆环=S外圆—S内圆=πR2-πr2= π（R2－r2）

5、几个直径和为n的圆的周长=直径为n的圆的周长（如图）

几个直径和为n的圆的面积<直径为n的圆的周长

6、常用的平方数：112＝121 122＝144 132＝169 142＝196 152＝225 162＝256 172＝289 182＝324 192＝361 202＝400

7、周长相等的平面图形中，圆的面积最大；

面积相等的平面图形中，圆的周长最短。

随堂练习

1、一种钟表的分针长5厘米，3小时分针扫过的面积是多少？

2、一个花坛，直径8米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？

3、一个圆桶的底面周长是62.8厘米，它的底面面积是多少平方厘米？

4、杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为40厘米，要骑过100米长的钢丝，车轮大约转动多少周？

5、在长10厘米，宽8厘米的长方形纸上剪一个最大的半圆，这个半圆的面积是多少？周长是多少？

6、用一根铁丝围成一个正方形，边长正好是6.28米。如果围成一个圆，这个圆的半径是多少？