一次函数的图像、性质总结（阅读+理解）

一、一次函数的图像 Name

1.正比例函数y=kx(k≠0,k是常数)的图像是经过O（0，0）和M（1，k）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k＜0时，图像经过原点和第二、四像限

.

2.一次函数y=kx+b(k是常数，k≠0)的图像是经过A（0,b）和B（-条直线，当kb≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：

（1）k＞0,b＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A （2）k＞0,b＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B （3）k＜0,b＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C （4）k＜0,b＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图

13-18D

bk

，0）两点的一

3.一次函数的图像的两个特征

（1）对于直线y=kx+b(k≠0),当x=0时,y=b即直线与y轴的交点为A（0,b）,因此b叫直线在y轴上的截距.

（2）直线y=kx+b(k≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A（0，b）和B（-0）.

4.一次函数的图像与直线方程

（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.

（2）与坐标轴平行的直线的方程.

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bk

，

①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）

②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图

13-20).

二、两条直线的关系

1.与坐标轴不平行的两条直线 l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b, 若l1与l2相交，则k1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解; 若l1与l2平行，则k1= k2.

三、一次函数的增减性

1.增减性 如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.

2.一次函数的增减性

一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质： （1）k＞0时，y随x的增加而增加； （2）k＜0时，y随x的增加而减小.

3.用待定系数法求一次函数的解析式：

若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：

（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)

（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b①

y2=kx2+b② （3）联立①②解方程组，从而求出k、b值.

这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.

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第二篇：一次函数题型总结(含答案)

求一次函数解析式常见题型解析

一次函数解析式的求法在初中数学内容中占有举足轻重的作用，如何把这一部分内容学得扎实有效呢，整理了一下材料，给大家提供一些题型及解题方法，期望对同学们有所帮助。

第一种情况：直接或间接已知函数是一次函数，采用待定系数法。（已知是一次函数或已知解析式形式或已知函数图象是直线都是已知了一次函数）

一、定义型       一次函数的定义：形如，k、b为常数，且k≠0。

例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。

解析：由一次函数定义知

，故一次函数的解析式为

注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证k≠0。如本例中应保证。

例2. 已知y-1与x＋1成正比例,且当x=1时,y=5.求y与x的函数关系式;

解析：  ∵y-1与x＋1成正比例，

∴可假设y-1=k（x＋1）

又当x=1时,y=5，代入求出k=2，

所以y-1=2（x＋1），变形为y=2x＋3

注意：“两个量成正比例”和“两个量是正比例函数关系”是完全一致的，题目中已知y-1与x＋1成正比例就可以假设y-1=k（x＋1）。

二. 平移型   两条直线：；：。当，时，∥，解决问题时要抓住平行的直线k值相同这一特征。

例1 .  把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

解析：直线向下平移得到的直线与直线平行

∴可设把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为

直线与y轴交点为（0，1）向下平移2个单位得到的点为（0，-1）

∴可代入求出b=-1     ∴所求解析式为

例2 . 已知直线与直线平行，且与x轴交点横坐标为1，则直线的解析式为___________。

解析： 直线与直线平行，∴。

又直线与x轴交点横坐标为1，即过点（1,0）

代入中可求出    故直线的解析式为

三. 两点型     从几何的角度来看，“两点确定一条直线”，所以两个点的坐标确定直线的解析式；从代数的角度来说，一次函数的解析式中含两个待定系数k和b，所以两个方程确定两个待定系数，因此想方设法找到两个点的坐标是解决问题的关键。

例1.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

解析：设一次函数解析式为

由题意得     

故这个一次函数的解析式为

例2 . 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

解析：设一次函数解析式为

由图可知一次函数的图象过点（1，0）、（0，2）

有        

故这个一次函数的解析式为

例3. 已知直线y=kx+b与直线关于y轴对称,求直线y=kx+b的解析式。

例4 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

 若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．

解析：（1）设此一次函数解析式为    

 由表中可知两对数值相当于两个点的坐标（15,25），（20,20）

则  解得k=1，b=40．    

即一次函数解析式为．      

（2）每日的销售量为y=-30+40=10件， 所获销售利润为（3010）×10=200元

例5. 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：

（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；

（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？

解析：（1）因为摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数关系，所以可设其函数关系式为．  

  由图可知：当时，；当时，．

  把它们分别代入上式，得  ，

解得，．∴ 一次函数的解析式是．

 (2)当时，．         

   即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm．

解题策略：以上各例看上去差别很大，但解题思路却是一致的，总是想方设法通过各种途径找到两个点的坐标，代入函数解析式中用待定系数法求出待定系数从而求出函数解析式。这类问题是见得最多的问题。

四、探索型      不直接已知函数类型，但可通过探索知其类型，再用待定系数法求解析式

例1．（2009白银）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：［注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］

（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上？

（2）求x、y之间的函数关系式；

（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？

解析：（1）通过描点推测这是一个一次函数。

（2）设函数解析式为

将（16,22）和（19,28）代入得

      求出，

所以函数解析式为，再用另两点代入解析式验证．

（3）当时，即，解得x=27

所以某人穿44号“鞋码”的鞋，他的鞋长是27（cm）

第二种情况：不已知函数类型（不可用待定系数法），通过寻找题目中隐含的实际问题之间数量关系，建立函数模型。

解题策略：首先要明确自变量和函数变量各自的含义，然后把自变量看成某个固定的已知值去求相应的函数变量值，就可以得到函数解析式。如果难以找到数量关系，可以先用特殊自变量值试探以探求思路。

例1.   某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。

解析：由题意得，即

故所求函数的解析式为（）     

注：本题隐含的数量关系是：油箱中剩油量Q（升）=存油20升-流出的油量。

例2. 甲车速度为20米/秒，乙车速度为为25米/秒。现在甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米，求y随x的变化的函数解析式，并画出函数图像

解析：设经过t秒两车相遇，则25t-20t=500，解得t=100

当时，甲车在乙车前，y=20x+500-25x=-5x+500

当x＞100时，   乙车在甲车前，y=25x-500-20x=5x-500

追问：1、150秒的时候两车相距多少?

2、什么时候两车相距200米？

通过下面两个问题让同学们自己感受两类问题的区别：

1. （2006）某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如右下图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线。

（1）当x30，求y与x之间的函数关系式；

（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？

（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？

 

本题是第一类型：从图像中可看出是一次函数（AC是射线），可以用待定系数法。但不可理解为超过30小时后每小时收费3元。

2.A、B两地打长途电话，通话三分钟以内收费2.4元，超过三分钟超过部分每分钟收费一元，求通话费用y元随通话时间x分钟的变化的函数关系式，有10元钱，打一次电话最多可以打多长时间？

本题是第二类型：不已知函数类型，只有根据题目隐含的数量关系建立函数关系式。