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函数
附:一、函数的定义域的常用求法:
1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数中;余切函数中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法:
1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法
三、函数的值域的常用求法:
1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法
四、函数的最值的常用求法:
1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法
五、函数单调性的常用结论:
1、若均为某区间上的增(减)函数,则在这个区间上也为增(减)函数
2、若为增(减)函数,则为减(增)函数
3、若与的单调性相同,则是增函数;若与的单调性不同,则是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论:
1、如果一个奇函数在处有定义,则,如果一个函数既是奇函数又是偶函数,则(反之不成立)
2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。
4、两个函数和复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。
5、若函数的定义域关于原点对称,则可以表示为,该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函数的和。
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高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ ? } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
1) 列举法:{a,b,c??}
2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示
集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一
集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A??B或B?
?A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 ? 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是 ( )
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有 个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x?R},N={x|x≥0},则M与N的关系是 . 4.设集合A=?x?x?2?,B=?
xx?a?,若A?B,则a的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= .
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x|
x2-mx+m2
-19=0}, 若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? ①表达式相同(与表示自变量和函数值的字
母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法
常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间
(3)区间的数轴表示. 5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)?B(象)” 对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。 二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:
○
1 任取x1,x2∈D,且x1<x2; ○
2 作差f(x1)-f(x2); ○
3 变形(通常是因式分解和配方); ○
4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ○
5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤:
○
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○
2确定f(-x)与f(x)的关系; ○
3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法
2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
○
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○
2 利用图象求函数的最大(小)值 ○
3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题:
1.求下列函数的定义域:
⑴y?
⑵y?2.设函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(x2)的定义域为_ _
3.若函数f(x?1)的定义域为[?2,3],则函数f(2x?1)的定义域是 4.函数
?f(x)??x?2(x??1)?x2(?1?x?2)
,若f(x)?3,则x= ??
2x(x?2)5.求下列函数的值域:
⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x2?2x?3 x?[1,2]
(3)y?x
y?6.已知函数f(x?1)?x2?4x,求函数f(x),f(2x?1)的解析式 7.已知函数f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4,则f(x)= 。
8.设f(x)是R上的奇函数,且当x?[0,??)时
,f(x)?x(1,则当x?(??,0)时f(x) f(x)在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间:
⑴ y?x2?2x?3
⑵y? ⑶ y?x2?6x?1 10.判断函数y??x3?1的单调性并证明你的结论.
11.设函数2
f(x)?1?x2判断它的奇偶性并且求证:f(1)??f(x).
1?xx
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果xn
?a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
? 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作?0。 当n是奇数时,an
?a,当n是偶数时,an
?|a|???a(a?0)
a(a?0)
??2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
man
?am(a?0,m,n?N*,n?1)
,
a
?mn
?
1m?
1
a
n
am
(a?0,m,n?N*,n?1)
? 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)ar
·ar?ar?s
(a?0,r,s?R);
(2)(ar)s?ars
(a?0,r,s?R);
(3)
(ab)r?aras
(a?0,r,s?R). (二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,f(x)?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)];
(2)若x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R; (3)对于指数函数f(x)?ax
(a?0且a?1),总有f(1)?a; 二、对数函数 (一)对数
1.对数的概念:一般地,如果ax
?N(a?0,a?1),那么数
x叫做
以.a为底..N的对数,记作:x?logaN(a— 底数,N— 真数,
logaN— 对数式)
说明:○1 注意底数的限制a?0,且a?1; ○
2 a
x?N?logaN?x; ○
3 注意对数的书写格式. 两个重要对数:
○
1
常用对数:以10为底的对数lgN; ○
2 自然对数:以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN. ? 指数式与对数式的互化 幂值 真数
指数 对数 (二)对数的运算性质
如果a?0,且a?1,M?0,N?0,那么: ○
1 loga(M·N)?logaM+logaN; ○
2 logM
aN
?logaM-logaN; ○
3 logaMn?nlogaM (n?R). 注意:换底公式
loglogcb
ab?
log (a?0,且a?1;c?0,且c?1;b?0).
ca
利用换底公式推导下面的结论 (1)logn
ambn?
mlog1ab;(2)logab?
log. ba
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数y?logax(a?0,且a?1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:y?2log2x,y?logx5 都不是对数函数,而只能称其为对数型
5
函数.
○
2 对数函数对底数的限制:(a?0,且a?1).
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数,其中?为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+
∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)??0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,??)上是增函数.特别地,当??1时,幂函数的图象下凸;当0???1时,幂函数的图象上凸;
(3)??0时,幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于??时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. 例题:
1. 已知a>0,a0,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )
2.计算: ①log1
322
;log527?2log?②24?log3= 52
= ;
log2764
③0.064?
1
?(?7)0?[(?2)3]?4
1?16?0.75?0.01 =
8
3.函数y=log1(2x2-3x+1)的递减区间为
2
4.若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a=
5.已知f(x)?log1?x(a?0且a?1),(1)求f(x)的定义域(2)求使f(x)?0的x的取值范围
a
1?x
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数y?f(x)(x?D),把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。
2、函数零点的意义:函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根,亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即:方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点. 3、函数零点的求法:
○
1 (代数法)求方程f(x)?0的实数根; ○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点:
二次函数y?ax2?bx?c(a?0). (1)△>0,方程ax2
?bx?c?0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程ax2
?bx?c?0有两相等实根,二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程ax2
?bx?c?0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点. 5.函数的模型 不 符合
实际
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