因式分解知识总结归纳

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

  1. 因式分解的对象是多项式；

  2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

  3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

  4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

  5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

  6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

  7. 因式分解的一般步骤是：

    （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

    （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

一、提公因式法

①概念：公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式

②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.  如 am＋bm＋cm＝m（a+b+c） 

③具体方法：

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.

（4）所有这些因式的乘积即为公因式.

二、运用公式法。

    ①平方差公式：   a²－b²＝(a＋b)(a－b) 

    ②完全平方公式： a²±2ab＋b²＝(a±b)² 

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.  （运用完全平方公式也叫配方法）

   ③立方和公式：a³+b³＝ (a+b)(a²-ab+b²). 

     立方差公式：a³-b³＝ (a-b)(a²+ab+b²). 

④完全立方公式： a³±3a²b＋3ab²±b³＝(a±b)³ 

三、十字相乘法：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

例4、在多项式分解时，也可以借助画十字交叉线来分解。分解为，常数项2分解，把它们用交叉线来表示：

所以                      

                         

同样：=可以用交叉线来

表示：其中，                                

四、 通过基本思路达到分解多项式的目的

1.用分组分解法分解因式。

（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

=，

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

例：分解因式

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

 解一：原式=                            解二：原式=

           =                                      =

           =                                      =

           =                                      =

 2. 通过变形达到分解的目的

 例1. 分解因式

    解一：将拆成，则有

   

    解二：将常数拆成，则有

   

一、因式分解（简单）

1、         2、    3、

4、   5、      6、

7、                8、          9、

10、    11、     12、

13、           14、         15、

16、         17、        18、

19、          20、           21、

22、         23、   24，

2,5、     26、    27、

二、因式分解（难）

1、     2、   3、

4、          5、           6、

7、     8、

9、        10、    11、

12、    13、     14、        

三、证明(求值)：

1、已知，，求 的值。

2、已知，求的值

3、已知，求的值。

4、已知a＋b=0，求a³－2b³＋a²b－2ab²的值．

5、已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a²＋b²＋c²＋2ab－2bc－2ac的值

6、若x、y互为相反数，且，求x、y的值

7、若x²＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)²的值．

8、当a为何值时，多项式x²＋7xy＋ay²－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．

9、若x，y为任意有理数，比较6xy与x²＋9y²的大小．

四、说明：

1、（1）对于任意自然数n，都能被动24整除。

（2）设n为整数，用因式分解说明能被4整除。

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。

3、求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数。

4、两个连续偶数的平方差是4的倍数．

五、在证明题中的应用

例：求证：多项式的值一定是非负数

分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：

六、 因式分解中的转化思想

例：分解因式： 

分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

例1.在中，三边a,b,c满足

 求证：

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。

1、已知a, b, c为三角形的三边，且满足，试说明该三角形是等边三角形。

2、已知：a、b、c为三角形的三边，比较的大小。

例2. 已知：__________

1. 若x为任意整数，求证：的值不大于100。

2. 将

模拟练习

1. 分解因式：

           

2. 矩形的周长是28cm，两边x,y使，求矩形的面积。

3. 已知：a、b、c是非零实数，且，求a+b+c的值。

 

第二篇：因式分解归纳总结

因式分解知识总结归纳

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

  1. 因式分解的对象是多项式；

  2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

  3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

  4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

  5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

  6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

  7. 因式分解的一般步骤是：

    （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

    （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

一、提公因式法

①概念：公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式

②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.  如 am＋bm＋cm＝m（a+b+c） 

③具体方法：

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.

（4）所有这些因式的乘积即为公因式.

二、运用公式法。

    ①平方差公式：   a²－b²＝(a＋b)(a－b) 

    ②完全平方公式： a²±2ab＋b²＝(a±b)² 

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.  （运用完全平方公式也叫配方法）

   ③立方和公式：a³+b³＝ (a+b)(a²-ab+b²). 

     立方差公式：a³-b³＝ (a-b)(a²+ab+b²). 

④完全立方公式： a³±3a²b＋3ab²±b³＝(a±b)³ 

三、十字相乘法：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

例4、在多项式分解时，也可以借助画十字交叉线来分解。分解为，常数项2分解，把它们用交叉线来表示：

所以                      

                         

同样：=可以用交叉线来

表示：其中，                                

四、 通过基本思路达到分解多项式的目的

1.用分组分解法分解因式。

（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

=，

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

例：分解因式

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

 解一：原式=                            解二：原式=

           =                                      =

           =                                      =

           =                                      =

 2. 通过变形达到分解的目的

 例1. 分解因式

    解一：将拆成，则有

   

    解二：将常数拆成，则有

   

一、因式分解（简单）

    3、

4、   5、      6、

7、                8、          9、

10、    11、     12、

13、           14、         15、

16、                 18、

19、          20、           21、

22、         23、   24，

2,5、         27、

二、因式分解（难）

1、     2、   3、

4、          5、           6、

7、     8、

9、        10、    11、

12、      14、        

三、证明(求值)：

1、已知，，求 的值。

2、已知，求的值

3、已知，求的值。

4、已知a＋b=0，求a³－2b³＋a²b－2ab²的值．

5、已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a²＋b²＋c²＋2ab－2bc－2ac的值

6、若x、y互为相反数，且，求x、y的值

7、若x²＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)²的值．

8、当a为何值时，多项式x²＋7xy＋ay²－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．

四、说明：

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。

3、求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数。

4、两个连续偶数的平方差是4的倍数．

五、在证明题中的应用

例：求证：多项式的值一定是非负数

分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：

六、 因式分解中的转化思想

例：分解因式： 

分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

例1.在中，三边a,b,c满足

 求证：

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。

1、已知a, b, c为三角形的三边，且满足，试说明该三角形是等边三角形。

2、已知：a、b、c为三角形的三边，比较的大小。

例2. 已知：__________

1. 若x为任意整数，求证：的值不大于100。

2. 将

模拟练习

1. 分解因式：

           

2. 矩形的周长是28cm，两边x,y使，求矩形的面积。