中考复习二次函数知识点总结

中考复习专题——二次函数知识点总结

一、二次函数的有关概念：

1、二次函数的定义：

一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。

2、二次函数解析式的表示方法

（1）一般式：（，，为常数，）；

（2）顶点式：（，，为常数，）；

（3）两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

二、二次函数图象的画法

1.基本方法：描点法

注：五点绘图法。利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

2.画草图抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

三、二次函数的图像和性质

1.二次函数的性质

（1）. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；

当时，有最小值．

（2）. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；

当时，有最大值．

2.二次函数的性质：

四、二次函数图象的平移

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

五、二次函数与一元二次方程：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数：

① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.

② 当时，图象与轴只有一个交点；

③ 当时，图象与轴没有交点.

当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

六、二次函数中的符号问题

1. 二次项系数

决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数

在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

⑴ 在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

总结：“左同右异”

3. 常数项

⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

七、二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

八、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

2. 关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

3. 关于原点对称

关于原点对称后，得到的解析式是；

4. 关于顶点对称

关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

5. 关于点对称

关于点对称后，得到的解析式是

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。

第二篇：中考复习：一次函数知识点总结

一次函数知识点总结

【基本要点】

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

注：这是课本对于函数的定义，在理解与实际运用中我们要注意以下几点：

1、函数只能描述两个变量之间的关系，多一个少一个变量都是不对的；如：y=xz 中有三个变量，就不是函数；y=0中只有一个变量，也不是函数；而y=0（x＞0）却是函数，因为括号中标明了自变量的取值范围；

2、当自变量去每一个确定的值时因变量只能取唯一确定的值相对应，反之，当因变量取每一个确定的值时自变量可以去若干个值相对应；因为这两个变量有先变与后变的问题，让后变的先取一个值，先变的就不一定只取一个值；

3、我们只能说函数值是自变量的函数，或用自变量来表示函数值，如：a是b的函数就说明a是函数值，b是自变量；用y表示x就说明y是自变量，x是函数值；任何函数都要标明谁是谁的函数，不能随便说一个解析式是不是函数，如：

Y=x，只能说y是x的函数，就不能说x是y的函数；

4、函数解析式的表示：只有函数值写在等号左边，含有自变量的式子写在等号右边；注意不能写成2y=3x-3或y=3x-3的形式；

5、任何函数都包含自变量的取值范围，如果没指明说明自变量的取值范围是任意实数。自变量的取值范围从以下几个方面把握：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

例题：写出下列函数中自变量x的取值范围

y= ___________. y=___________. y=___________. y=·___________.

3、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

4、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

5、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

6、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

7、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）

(2) 必过点：（0，0）、（1，k）

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限

(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

例题：1、正比例函数，当m 时，y随x的增大而增大.

2、若是正比例函数，则b的值是（）

A.0 B. C. D.

3、函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )

A. B. C. D.

4、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______________．

平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________．

8、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)

（2）必过点：（0，b）和（-，0）

（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限

直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

例题：1、若关于x的函数是一次函数，则m= ，n .

2、函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）

3、将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线 .

4、若直线和直线的交点坐标为(),则____________.

5、已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（）

Ａ．3m+1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m－1

9、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），（-，0）.即横坐标或纵坐标为0的点.

例题：1、已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（） A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.无法确定

解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。

2、若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过（）

A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3、一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A .

10、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

11、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

12、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.

13、一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.

（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.

【考点指要】

一次函数常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法；为方便大家计算以及分析题目，现介绍一些解题过程中可以运用的公式与性质，希望大家能反复揣摩、理解、运用以期熟练地掌握，这样可以化繁为简！这里要强调的是以下这些公式不要随便外传！切记！

1、一次函数解析式的几种类型

①ax+by+c=0[一般式]

②y=kx+b[斜截式] （k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）

③y-=k(x-)[点斜式] （k为直线斜率,( , )为该直线所过的一个点）