一、等差数列与等比数列

二、等差数列的性质：

1若等差等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.

2数列的项数为2，则；

3若等差数列的项数为，则，且，

4若等差数列、的前和分别为、，则=

如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：）

三、数列通项  数列{}的前项和与通项的关系：

1） 把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解

。

如已知数列满足，，则=________

在数列中，， ，则                 

2）已知求，用累乘法：。

如已知数列中，，前项和，若，求（答：）设{an}的首项为1的正项数列，且求它的通项公式。

3）（为p,q为常数且）的数列

（Ⅰ）可化为，利用等比数列求出的表达式，进而求出

（Ⅱ）可由得两式相减可得：，利用成等比数列求出，再利用迭代或迭加求出

（Ⅲ） ,先用累加法求再求

如已知，求（答：）；

数列中，，求  （.）

已知，求（答：）；

4）（）（为常数且）的递推数列都可以用倒数法求通项。可化为=求出的表达式，再求．

如（１）已知，求（答：）；

（２）已知数列满足=1，，求（答：）

四、例题讲解：

1、 

2、数列满足，求

3、已知数列中，，且是递增数列，求的取值范围（）；

4、设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为                .     （答案：-2）

5、数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列｛｝是等比数列。

6、在数列中，

（I）设，求数列的通项公式

（II）     求数列的前项和

7、已知=2，点在函数的图像上，证明数列是等比数列；求；

 

第二篇：高中数学数列方法题型总结

一、 数列

数列基本方法

1、求数列通项公式的一般方法（累乘法、累加

法、迭代法）。目的都是为了消项。消去中间项，寻找末项和首项之间的关系。 1.1 累乘法：

例1、已知数列{an}满足a1?3,an?1?2an，求数列{an}的通项公式。

解析：形如an?1?Aan，此类相邻两项等比的数列，都可以用累乘法解决。这就是我们学的等比数列。

变型1 已知数列{an}满足a1?3,an?1?2an?1，求数列

{an}的通项公式。

解析：形如an?1?Aan?B的递推公式求通项，首先进行变型为an?1???A(an??)然后展开后与原递推公式类比，求出?。

注意一：其实本题变形后即可构造新的等比数列，先求等比数列，再求原数列。

注意二：变型为我们新关系式后，用累乘法也可求出解，且此方法是基础方法。

变型2：已知数列{an}满足a1?1,an?1?2an?2n，求数列{an}的通项公式。

解析：此类乃是上述变型1的又一个变形，形如

an?1?Aan?f(n)，首先进行变型为

an?1??f(n?1)?A(an??f(n)）

，然后展开类比，求出?。

1.2 累加法。

例1、已知数列{an}满足a1?3,an?1?an?3，求数列

{an}的通项公式。

解析：形如an?1?an?b的这种邻项等差的数列，可用累加法求通项。

变型1、已知数列{an}满足a1?3,an?1?an?2n，求数列

{an}的通项公式。

解析：形如an?1?an?f(n)的这种邻项等差的数列，依然可以用累加法求通项。 1.3 迭代法

例：已知数列{an}的通项公式为an?2n?1，数列{bn}，且b1?a1，当n?2时，bn?abn?1，求数列{bn}的通项。 解析：多写几项找规律，将前一项逐渐一次代入，达到销项的目的。

注意：上述两种累加累乘法的题都可以用迭代法求解。

1.4 综合练习

例1、在数列{an}、{bn}中，a1?1,b1，且an?1?8an?6bn,

bn?1?6an?4bn，求an?bn,，an和bn。

解析：an?bn,通过上述两等式相减得到an?bn,的关系式，求解即可。

求an，bn，将an?bn,的通项公式代入上述两个等式找关系即可。

1.5 a?S1

n???Sn

?S

n?1例：数列{an}中，Sn?n2?n?2，求an。

2、数列前n项和。

数列求和的一般方法有：倒序相加法、错位相减法、裂项相消法。

2.1倒序相加法。

例1、数列{an}通项为an?3n?2，求前n项和Sn。 例2、若数列{an}的通项公式为an?4n?1，

b1?a2???an

n?

an

，求数列bn的前n项和。

2.2 运用错位相减法。

例1、求Sn?1?2?4?8???2n。 公比是2，所以2Sn?Sn错位相消。 2.3 裂项相消法。 例1、求数列{

1

n2

?n

的前n项和。 例2、

已知数列的前n项和。

例3、已知数列{a2

n}满足an?1?an?an，a1?a(a??1)，

数列{bn}满足bn?

1

a1，设Pan?1a，Sn是数列{bn}n?n?1

的前n项和，求证：aSn?Pn?1。

3、组合数列的求和。

两种类型：数列和构成新数列、数列积构成新数列。 数列和数列求和的分别求数列和，然后相加。 数列积数列求和的用kSn?Sn。

3.1 求数列{5n?2n?6}的前n项和Sn。 3.2 求数列{n2n

}的前n项的和Sn。

3.3 已知S1211

n?2n?2

n，求通项公式an。

3.4 求和Sn

n??1?3?5?7???(?1)(2n?1)。

3.5 求数列{n(n?2)

?2n2

}的前n项和。 3.6 求x?3x2

?5x3

???19x10

。

3.7 数列{an}中，a1?1，an?an?1?n，求数列

2an

n?1

?1}的前10项的和。 3.8 数列{aan

n}中，a1?1,?3nana，

求数列{12?3}

n?1

3

2n?n2

?1的前10项和。

3.9 （1）1?2?2?3?3?4???n?(n?1)

（2）1?2?3?2?3?4?3?4?5???n(n?1)(n?2)

数列拓展

1、an?1?an?f(n)问题。

1.1 在数列{an}中，a1?1,an?an?1?4n(n?2)，求an。 1.2在数列{an}中，a15,an?11?

a?2nan?1?12an?2)，求n1?n

an。

1.3在数列{an}中，an?0，且对任意的正整数n有

S11

n?2(an?a)，求通项公式。

n

1.4 已知数列{an}的前n项和为Sn，且对于任意的正整数n有Sn?6?an?

3

2

n?1

，求通项公式。 ??Sn??2、?n?、 Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…也成等差数列。 3、在等差数列

{an}中，当项数为偶数2n时，S奇

S－S?

an

(n?2,n?N*偶奇?nd

，

S欧

a)n?1

；项数为奇数

2n?1时，S奇?S偶?a中，

S2n?1

?(2n?1)?a中

（这

里

a中

即

an

）；S奇:S偶?(k?1):k

。

例1、（1）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；

（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

4、若等差数列

An

?f(n)Bn

{an}

、

{bn}

的前n和分别为An、Bn，且

，则

anan(2(2nn??1)1)aanAA2?nn1?1

???2n?f(2fn(2?n1)?1)bnbn(2(2nn??1)1)bbnBBn2n2?n1?1

.

例1：设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若

6n?2

8n?7

Sn3n?1

?Tn4n?3

，那么

an

（答：?___________

bn

）

an

?f(n)a5、n?1问题。

此类问题解法单一，累乘法。 6、等比数列的性质：

6.1若{an}是等比数列，且公比

q??1

，则数列

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…也是等比数列。当q??1，且n为

偶数时，数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…是常数数列0，它不是等比数列.

6.2 Sm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm.

6.3 在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶?qS奇；项数为奇数2n?1时，S奇?a1?qS偶. 6.4 形如an?1?

1an?1

?

man

可采用取倒数方法转化成为pan?q

m1m

?形式解决 qanp

7、几种数列求和

1?2?3???n?

11n(n?1)，12?22???n2?n(n?1)(2n?1)，26

n(n?1)2

]. 2

13?23?33???n3?[

 

第三篇：高中数学方法总结

数学学习方法

高中学生学数学靠的也是一个字：悟！

1.先看笔记后做作业。每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

2.做题之后加强反思。学生一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思，总结一下自己的收获。要总结出：这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串。日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。俗话说：“有钱难买回头看”。我们认为，做完作业，回头细看，价值极大。这个回头看，是学习过程中很重要的一个环节。要看看自己做对了没有；还有什么别的解法；题目处于知识体系中的什么位置；解法的本质什么；题目中的已知与所求能否互换，能否进行适当增删改进。

3.主动复习总结提高。进行章节总结是非常重要的。初中时是教师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也没有明确指出做总结的时间。我们进行章节总结的过程也是大体如此。1，要把课本，笔记，区单元测验试卷，校周末测验试卷，都从头到尾阅读一遍。要一边读，一边做标记，标明哪些是过一会儿要摘录的。要养成一个习惯，在读材料时随时做标记，告诉自己下次再读这份材料时的阅读重点。长期保持这个习惯，学生就能由博反约，把厚书读成薄书。积累起自己的独特的，也就是最适合自己进行复习的材料。这样积累起来的资料才有活力，才能用的上。2，把本章节的内容一分为二，一部分是基础知识，一部分是典型问题。要把对技能的要求（对“锯，斧，凿子?”的使用总结），列进这两部分中的一部分，不要遗漏。3，在基础知识的疏理中，要罗列出所学的所有定义，定理，法则，公式。要做到三会两用。即：会文字表述，会图象符号表述，会推导证明。同时能从正反两方面对其进行应用。4，把重要的，典型的各种问题进行编队。（怎样做“板凳，椅子，书架?”）要尽量地把他们分类，找出它们之间的位置关系，总结出问题间的来龙去脉。就象我们欣赏一场团体操表演，我们不能只盯住一个人看，看他从哪跑到哪，都做了些什么动作。我们一定要居高临下地看，看全场的结构和变化。不然的话，陷入题海，徒劳无益。这一点，是提高高中数学水平的关键所在。5，总结那些尚未归类的问题，作为备注进行补充说明。6，找一份适当的测验试卷，例如北京四中的本章节测试试卷，电脑网校的本节试卷，我校去年此时所用的试卷。一定要计时测验。然后再对照答案，查漏补缺。

4.积累资料随时整理。要注意积累复习资料。把课堂笔记，练习，区单元测验，各种试卷，都分门别类按时间顺序整理好。每读一次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。这样，复习资料才能越读越精，一目了然。

6.精挑慎选课外读物。

7.配合老师主动学习。高一新生的学习主动性太差是一个普遍存在的问题。小学生，常常是完成了作业就可以尽情地欢乐。初中生基本上也是如此，听话的孩子就能学习好。高中则不然，作业虽多，但是只知做作业就绝对不够；老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明。因此，高中新生必须提高自己学习的主动性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。

8.合理规划步步为营。高中的学习是非常紧张的。每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。要想能迅速进步，就要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划，例如第一学期的期末，自己计划达到班级的平均分数，第一学年，达到年级的前三分之一，如此等等。此外，还要给自己制定学习计划，详细地安排好自己的零星时间，并及时作出合理的微量调整。