一、等差数列

1、数列的概念

例1．根据数列前4项，写出它的通项公式：

（1）1，3，5，7……；（2），，，；（3），，，。

解析：（1）=2；   （2）= ；  （3）= 。

如（1）已知，则在数列的最大项为__             ；

（2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___；

（3）已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围；

2、等差数列的判断方法：定义法或。

例2．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=n²，则{a_n}是（    ）

A.等比数列，但不是等差数列                               B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列                            D.既非等比数列又非等差数列

答案：B；解法一：a_n=，∴a_n=2n－1（n∈N）

又a_n+1－a_n=2为常数，≠常数，∴{a_n}是等差数列，但不是等比数列.

解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列。

练一练：设是等差数列，求证：以b_n= 为通项公式的数列为等差数列。

3、等差数列的通项：或。

4、等差数列的前和：，。

例3：等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，若a₂＋a₄＋a₁₅的值是一个确定的常数，则数列{a_n}中也为常数的项是(　　)

A．S₇　　　　  B．S₈        C．S₁₃           D．S₁₅

解析：设a₂＋a₄＋a₁₅＝p(常数)，∴3a₁＋18d＝p，解a₇＝p.∴S₁₃＝＝13a₇＝p.   答案：C

例4．等差数列{a_n}中，已知a₁＝，a₂＋a₅＝4，a_n＝33，则n为(　　)

A．48       B．49       C．50      D．51

解析：∵a₂＋a₅＝2a₁＋5d＝4，则由a₁＝得d＝，令a_n＝33＝＋(n－1)×，可解得n＝50.故选C.

如(1)等差数列中，，，则通项　　　　；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______   ；

例5：设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，a₁₂＝－8，S₉＝－9，则S₁₆＝________.

解析：S₉＝9a₅＝－9，∴a₅＝－1，S₁₆＝8(a₅＋a₁₂)＝－72.  答案：－72

例6：已知数列{a_n}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和S_n有最大值，则使S_n>0的n的最大值为(　　)