集合小结与复习课

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知识网络

 

1．以集合为中心的知识网络概述

　　集合是高中数学的基础，也是高考中常考的内容之一．集合思想及集合语言可以渗透到高中数学的各个分支，它可与函数、方程和不等式等许多知识综合起来进行考查．在解题时首先需要我们能读懂集合语言，将集合语言转换为数学语言，再用相关的知识解决问题．

2．对集合中元素三大性质的理解

（1）确定性

　　集合中的元素，必须是确定的．对于集合和元素，要么，要么，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合．

（2）互异性

　对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由，组成一个集合，则的取值不能是或1．

（3）无序性

　　集合中的元素的次序无先后之分．如：由组成一个集合，也可以写成组成一个集合，它们都表示同一个集合．

3．学习集合表示方法时应注意的问题

（1）注意与的区别．是集合的一个元素，而是含有一个元素的集合，二者的关系是．

（2）注意与的区别．是不含任何元素的集合，而是含有元素的集合．

（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或来表示实数集这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思．

　　用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：

　　集合中的元素是，这个集合表示二元方程的解集，或者理解为曲线上的点组成的点集；

　　集合中的元素是，这个集合表示函数中自变量的取值范围；

　　集合中的元素是，这个集合表示函数中函数值的取值范围；

　　集合中的元素只有一个（方程），它是用列举法表示的单元素集合．

4．集合间的关系及集合运算问题点评

（1）要注意与间的区别：“”表示元素与集合间的关系，如．“”表示集合与集合间的关系，如．

（2）理解与的含义：“”包含“”，“”两种情况，其中必有一种且只有一种情况成立；而“”等价于“且”．

（3）尝试用Venn图表示两个集合间的关系，并逐步形成用集合的观点去认识问题、思考问题的思维方式．学会分类写出给定集合的所有子集的解题技巧，并通过对教材“探索与研究”中习题的探究，找出集合中元素的个数与它的所有子集个数的关系规律．

（4）交集、并集、全集、补集的定义及其运算是本部分的重点，可以结合Venn图去理解并且应当重视Venn图的直观作用．

（5）应重视利用空集的特性．空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，利用空集的这一特性，可使一些题设中隐含有空集条件的问题得以正确解决．

（6）补集思想在集合运算中的作用也是不可忽视的．对于一个问题，如果正面去求解比较困难，则可以从这个问题的反面入手，也就是采用补集的思想．

自学评价

1．对于集合的问题：要确定属于哪一类集合（数集，点集，或某类图形集），然后再确定处理此类问题的方法.

2．关于集合中的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，然后再进行运算.

3．含参数的集合问题，多根据集合的的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想.

4.集合问题多与函数、方程有关，要注意

各类知识的融会贯通.

【精典范例】

例1．      设U={1，2，3，4，5}，且A∩B={2}，

={4}，

={1，5}，则下列结论正确的是

                       （     ）

      A．3∈A，3∈B  

B．2∈，3∈B

C．3∈，3∈A

D．3∈，3∈

分析：按题意画出Venn图即可找出选择

的分支.

【解】

 画出满题意足Venn图：

 

 由图可知：3∈A且3B，即3∈A且

3∈，     ∴  选C.

点评:

   本题可用排除法来解，若选A，则3∈

   A∩B，与已知A∩B={2}矛盾，……显然这种方法没有Venn图形象直观，这也突出数形集结合的思想在集合中的运用.

追踪训练一

1．  设U={x|0+}，若A∩B={3}，

={1，5，7}，

={9}，求集合A，B.

 【解】

      A={1，3，5，7}，

B={2，3，4，6，8}.

2．某校有A、B两项课外科技制作小组，50名学生中报名参加A组的人数是全体学生人数的3/5，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名的人数的1/3还多1人，求同时报名参加A、B两组人数及两组都没有报名的人数.

 【解】

   同时报名参加A、B组的人数为21人，

两组都没有报名的人数为8人.

例2：已知全集U=R，集合A={x|x2-x-6＜0}，

     B={x|x2+2x-8＞0}，C={x|x2-4ax+3a2＜0}，

    (1)试求a的取值范围，使A∩BC；

    (2)试求a的取值范围，使

分析：

  U=R，A=（-2，3），B=（-，-4）∪（2，+），故A∩B=（2，3），

  （-，-2]∪[3，+），[-4，2]，

=[-4，-2]，

    x2-4ax+3a2＜0即(x-3a)(x-a)＜0，

∴当a＜0时，C=（3a，a），

    当a=0时，C=，

    当a＞0时，C=（a，3a），

(1)    要使A∩BC，集合数轴知，     

      解得 1≤a≤2；

(2)    类似地，要使必有

     解得  

  【解】

     解答过程只需要将上面的分析整理一下

     即可.

点评:

①研究不等式的解集的包含关系或进行集

合的运算时，充分利用数轴的直观性，便

于分析与转化.

②注意分类讨论的思想在解题中的运用，在

 分类时要满足不重复、不遗漏的原则.

追踪训练二

1． 设A={x|x2-x-2＜0}，B={x||x|=y+1，y∈A}，

求：

  ，A∪B，A∩，

  ∩

【解】

=（-，-3]∪[3，+）∪{0}；

   A∪B=（-3，3）；

   A∩={0}；

   =（-，-3]∪[3，+）.

2．  已知A={x|-x2+3x+10≥0}，

B={x|m≤x≤2 m -1}，若BA,

   求实数m的取值范围.

【解】

  实数m的取值范围：（-， 3） .

例3： 已知集合A={x|x2+4ax-4a+3=0}，

 B={x|x2+(a-1)x+a2=0}，C={x|x2+2ax-2a=0}，

 其中至少有一个集合不是空集，求实数a

的取值范围.

分析：

  此题若从正面入手，要对七种可能情况逐

 一进行讨论，相当繁琐；若考虑其反面，则

 只有一种情况，即三个集合全是空集.

【解】 当三个集合全是空集时，所以对应的三个方程都没有实数解，

   即

 

    解此不等式组，得

   

  ∴所求实数a的取值范围为：

     a≤,或a≥-1.

 点评:

  采用“正难则反”的解题策略，具体地说，

  就是将所研究的对象的全体视为全集，求

  出使问题反面成立的集合，那么这个集合

的补集便为所求.

 

第二篇：高一数学集合知识点总结

一．知识归纳：

1．集合的有关概念。

1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件

2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

4）常用数集：N，Z，Q，R，N*

2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；

2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或 ，且 ）

3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}

4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}

5）补集：CUA={x| x A但x∈U}

注意：①? A，若A≠?，则? A ；

②若 ， ，则 ；

③若 且 ，则A=B（等集）

3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。

4．有关子集的几个等价关系

①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；

④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。

5．交、并集运算的性质

①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A； ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；

6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

二．例题讲解：

【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系

A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于集合M：{x|x= ,m∈Z}；对于集合N：{x|x= ,n∈Z}

对于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。

分析二：简单列举集合中的元素。

解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，

= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以选B。

点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

变式：设集合 ， ，则（ B ）

A．M=N B．M N C．N M D．

解：

当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为

A）1 B）2 C）3 D）4

分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。

变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为

A）5个 B）6个 C）7个 D）8个

变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}. 评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .