第二章 2.3 双曲线

① 当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点M在双曲线右支上； 当MF?MF?2a时，则表示点M在双曲线左支上；

2

1

② 注意定义中的“（小于F1F2）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。

若2a=2c时，即MF?MF

1

2

?F1F2

2

,当MF

1

?MF2?F1F2

，动点轨迹是以F2为端点向

右延伸的一条射线；当MF

?MF1?F1F2

时，动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一

条射线；

若2a＞2c时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：

如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上； 如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.

对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点P(x0,y0)在双曲线 (2)点P(x0,y0)在双曲线

xaxa

2222

??

ybyb

2222

?1(a?0,b?0)的内部??1(a?0,b?0)的外部?

x0aax0

2222

??

y0bby0

2

22

?1. ?1.

2

4. 形如Ax?By?1(AB?0)的方程可化为

2

2

x

2

1A

?

y

2

1B

?1

当当

1A1A

?0,?0,

1B1B

?0，双曲线的焦点在y轴上； ?0，双曲线的焦点在x轴上；

5.求双曲线的标准方程，

应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

6. 离心率与渐近线之间的关系

e?

2

ca

22

?

a?ba

2

22

?1?

2

ba

22

ba

22

1）e?

?b?1???

?a?

2）

?

e?1

2

7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为

xa

22

?

ba

yb

22

?1?渐近线方程：

xa

?

yb

22

?0?y??xa

22

ba

x.

(2)若渐近线方程为y??(3)若双曲线与

2222

x?

xa

?

yb

?0?双曲线可设为

xaxax

222

?

yb

22

??.

xa

22

?

yb

22

?1有公共渐近线，可设为

?

ybyb

22

??（??0，焦点在x

轴上，??0，焦点在y轴上）. (4)与双曲线(5)与双曲线

xaxa??yb

2222

222

22

?1共渐近线的双曲线系方程是?1共焦点的双曲线系方程是

?

??(??0yb

a?k

?

y

2

2

b?k

?1

(6)当a?b时?离心率e?2?两渐近线互相垂直，分别为y=?x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为x2?y2??； 8. 双曲线的切线方程

22

22

(1)双曲线

xa

?

ybxa

?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是

x0xa

2

?

y0yb

2

?1.

22

（2）过双曲线是

x0xa

2

?

yb

22

?1(a?0,b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程

?

y0yb

2

?1.

（3）双曲线

Ax?

B?y

xa

22

?

yb

22

?1(a?0,b?0)与直2

2

2

2

2

相切的条件是Aa?Bb?c0?C.

9. 直线与双曲线的位置关系

直线l：y?kx?m(m?0) 双曲线C：

?y?kx?m?2

2 ??xy

?2?2?1

b?a

xa

22

?

yb

22

?1（a＞0，b＞0）

(b?ak)x?2amkx?am?ab?0

ba

222222222

1) 当b2?a2k2?0，即k??曲线C相交于一点； 2) 当b2-a2k2≠0，即k

??

ba

时，直线l与双曲线的渐进线__，直线与双

时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)

① ??0时，直线l与双曲线相交，有两个公共点

② ??0时，直线l与双曲线相切，有且仅有一个公共点 ③ ??0时，直线l与双曲线相离，无公共点

3) 直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么?（不一定）

10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法 直线l：y?kx?m(m?0) 双曲线C：

① 联立方程法：

?y?kx?m?2

2 ??xy

?2?2?1

b?a

xa

22

?

yb

22

?1（a＞0，b＞0）

(b?ak)x?2amkx?am?ab?0

222222222

设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有??0,以及x1?x2,x1x2，还可进一步求出

y1?y2?kx1?m?kx2?m?k(x1?x2)?2m

y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m

2

2

，

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a. 相交弦AB的弦长

222

AB??kx1?x2??k(x1?x2)?4x1x2??k2

?a

或 AB??

1k

2

y1?y2?

1?

1k

2

(y1?y2)?4y1y2?

2

?k

2

?a

b. 中点M(x0,y0), x0?

② 点差法：

x1?x2

2

， y0?

y1?y2

2

设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入双曲线方程，得

x1a

2

2

?

y1b

2

2

?1

x2a

2

2

?

y2b

2

2

?1

将两式相减，可得

(x1?x2)(x1?x2)

a

2

?

(y1?y2)(y1?y2)

b

2

y1?y2x1?x2

?

b(x1?x2)a(y1?y2)

2

2

b(x1?x2)a(y1?y2)

22

a. 在涉及斜率问题时，kAB?

AB

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段

y1?y2x1?x2

?

b2x0a2y0

2

的中点为M(x0,y0)，

2

2

?

bx0ay0

2

2

，

即kAB?

bx0ay0

2

，

btan

2

11. 焦点三角形面积公式：S?FPF

1

2

?

?

2

,(???F1PF2)。

 

第二篇：抛物线知识点归纳总结

 抛物线知识点总结

1. 直线与抛物线的位置关系
直线，抛物线，，消y得：
（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，

      Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；

      Δ=0， 直线与抛物线相切，一个切点；

      Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线：   抛物线，

①　联立方程法：

 

设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出， 

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a.  相交弦AB的弦长

   

或 

b. 中点, ，

②　点差法：

设交点坐标为，，代入抛物线方程，得

               

将两式相减，可得

a.   在涉及斜率问题时，

b.   在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，

   即，

同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）