一、双曲线的定义

1、第一定义：（>0））。注意：（1）距离之差的绝对值。（2）2a＜|F₁F₂|当|MF₁|－|MF₂|=2a时，曲线仅表示焦点F₂所对应的一支；

当|MF₁|－|MF₂|=－2a时，曲线仅表示焦点F₁所对应的一支；

当2a=|F₁F₂|时，轨迹是一直线上以F₁、F₂为端点向外的两条射线；

当2a＞|F₁F₂|时，动点轨迹不存在。   当a=0时，轨迹为两定点连线中垂线。

2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)

二、双曲线的标准方程（，其中||=2c，焦点位置看谁的系数为正数）

焦点在x轴上：（a＞0，b＞0）；焦点在y轴上：（a＞0，b＞0）

焦点不确定时：；与椭圆共焦点的双曲线系方程为：

与双曲线共焦点的双曲线系方程是（）

与双曲线共渐进线（）的双曲线系方程是

三、特殊双曲线：

等轴双曲线：（实虚轴相等，即a=b）

1、形式：（）；  2、离心率； 3、两渐近线互相垂直，为y=；；

4、等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。

共轭双曲线：（以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线）

1、有共同的渐近线；2、共轭双曲线的四个焦点共圆； 3、离心率倒数的平方和等于1。

四、几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、渐近线

五、相关性质：

1、点与双曲线的位置关系：    2、中点弦的存在性

3、以PF₁为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

4\若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的切线方程是.

若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P₁、P₂，则切点弦P₁P₂的直线方程是.

5、双曲线（a＞0,b＞o）的焦点角形的面积为

6、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7、点P处的切线PT平分△PF₁F₂在点P处的内角.

8、设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F₁、F₂,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF₁F₂中，记, ,，则有

9、已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.（1）;（2）|OP|²+|OQ|²的最小值为;（3）的最小值是

1，F₁、F₂是－=1的焦点，其上一点P到F₁的距离等于9则P到焦点F₂的距离. 17  

2．双曲线x²-y²=8的左焦点F₁有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F₂是双曲线的右焦点，则

△PF₂Q的周长是       .

3．过点（2，－2）且与双曲线－y²=1有公共渐近线的双曲线方程是－=1

4．已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,那么双曲线的离心率为 

5．过点A（0，2）可以作_4__条直线与双曲线x²－＝1有且只有一个公共点

6．过点P(4,4)且与双曲线－＝1只有一个交点的直线有3条

7．若上点P满足（），求

8．动点与两定点连线斜率之积为正常数时，动点的轨迹为？

9．若是三角形ABC的顶点，且，求顶点A的轨迹

10．圆M与圆外切，与圆内切，求M轨迹

11．已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 

12．求与有公共焦点的双曲线，使它们交点为顶点的四边形面积最大为  

13求与有公共焦点，且渐近线为的双曲线为 

14．左支一点P到左准线l距离为d，若d, 成等比，求e范围

15．C：右顶点为A，x轴上一点Q（2a,0），若C上一点P使，求e范围

16. 渐近线方程为，则该双曲线的离心率为或

16. 已知双曲线的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e=2

17. 设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为2

18．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．

解析： (1)设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．双曲线C的方程为－y²＝1.

(2)联立整理得(1－3k²)x²－6kmx－3m²－3＝0.

∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴，

可得m²＞3k²－1且k²≠   ①

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，MN的中点为B(x₀，y₀)．

则x₁＋x₂＝，x₀＝＝，y₀＝kx₀＋m＝.

由题意，AB⊥MN，∵k_AB＝＝－(k≠0，m≠0)．   整理得3k²＝4m＋1  ②

将②代入①，得m²－4m＞0，∴m＜0或m＞4.

又3k²＝4m＋1＞0(k≠0)，即m＞－.     ∴m的取值范围是∪(4，＋∞)．

19．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）. 求k的取值范围.

19直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值。若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）将直线

……① 依直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得

……②    假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.  则由FA⊥FB得：

整理得……③

把②式及代入③式化简得

解得

可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.

20.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线ｙ＝kx－1与曲线E交于A、B两点。

（Ⅰ）求ｋ的取值范围；  （Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求。

（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知，       故曲线的方程为

   设，由题意建立方程组

 消去，得，又已知直线与双曲线左支交于两点，有

       解得

∵ =

整理后得  ∴或，但 

 ∴ 故直线的方程为

设，由已知，得

∴，

又，

∴点，将点代入的方程，得得，

但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴，点的坐标为

到的距离为      ∴的面积

 

第二篇：双曲线简单几何性质知识点总结

北安一中高二数学导学案   主备人：陈叔彤     审阅人：高二数学组   备课日期 ：20##-10-17                      

课题：§双曲线简单几何性质知识点总结

课时：     课时          班级：          姓名：

【学习目标】

知识与技能：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质

2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念

3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念

过程与方法：进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育

情感态度与价值观：辨证唯物主义世界观。

【学习重点】双曲线的几何性质及其应用。

【学习难点】双曲线的知识结构的归纳总结。

【学法指导】 1.课前依据参考资料，自主完成，有疑问的地方做好标记.

             2.课前互相讨论交流，课上积极展示学习成果.

【知识链接】双曲线的定义：_________________________________________________

【学习过程】   

1．范围： 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大。

X的取值范围________   y的取值范围______

2. 对称性： 对称轴________对称中心________

3．顶点：(如图)   顶点：____________

特殊点：____________

实轴：长为2a,  a叫做半实轴长

虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，       这是两者的又一差异

4．离心率：

双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率

范围：___________________

双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔   

5．双曲线的第二定义：

到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线  其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线  常数e是双曲线的离心率．

准线方程：

对于来说，相对于左焦点对应着左准线，

相对于右焦点对应着右准线；

对于来说，相对于上焦点对应着上准线；

相对于下焦点对应着下准线

6．渐近线

过双曲线的两顶点，作Y轴的平行线，经过作X轴的平行线，四条直线围成一个矩形  矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（），这两条直线就是双曲线的渐近线

双曲线无限接近渐近线，但永不相交。

7．等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线   

性质：（1）渐近线方程为：；

（2）渐近线互相垂直；

（3）离心率 

8．共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为，

那么此双曲线方程就一定是：或写成 

9．共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线

 区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同

共用一对渐近线  双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上

确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1

10.双曲线的焦半径

定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径

焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，

设双曲线 ，是其左右焦点

则由第二定义：，

 

同理

即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：

同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：

        （ 其中分别是双曲线的下上焦点）

点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号）

11．通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦

直接应用焦点弦公式，得到 

【达标检测】  

双曲线与（a>0,b>0）的区别和联系

【小结】  

【学后反思】______________________________________________________________________

        

            ______________________________________________________________________

        

            ______________________________________________________________________

 

第三篇：双曲线知识点总结(题)

双曲线知识点总结

1.双曲线的定义

   如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线

   若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支

F₁，F₂为两定点，P为一动点，(1)若||PF₁|-|PF₂||=2a

①0<2a<|F₁F₂|则动点P的轨迹是                                

②2a=|F₁F₂|则动点P的轨迹是                                

③2a=0则动点P的轨迹是                                

(2) 若|P F₁|-|PF₂|=2a

①0<2a<|F₁F₂|则动点P的轨迹是                                

②2a=|F₁F₂|则动点P的轨迹是                                

③2a=0则动点P的轨迹是                                

2.双曲线的标准方程

                                                      

3.双曲线的性质

 （1）焦点在x轴上的双曲线

标准方程                         

 x,y的范围                                  

 顶点           焦点                对称轴               对称中心            

实半轴的长             虚半轴的长                 焦距                

 离心率e=      范围              e越大双曲线的开口越    e越小双曲线的开口越        

 准线            渐近线              焦半径公式|PF₁|=                  |PF₂|=                   (F₁，F₂分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)

（1）    焦点在y轴上的双曲线

标准方程                         

 x,y的范围                                  

 顶点           焦点                对称轴               对称中心            

实半轴的长             虚半轴的长                 焦距                

 离心率e=      范围              e越大双曲线的开口越    e越小双曲线的开口越        

 准线            渐近线              焦半径公式|PF₁|=                  |PF₂|=                          (F₁，F₂分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)

1.      等轴双曲线：特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直③离心率为    

2.      共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线

特点①有共同的渐近线②四焦点共圆

双曲线的共轭双曲线是                      

6.双曲线系

（1）    共焦点的双曲线的方程为(0<k<c²,c为半焦距)

（2）    共渐近线的双曲线的方程为