函数的周期性与函数的图象总结

函数的周期性

㈠ 主要知识：   

周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得

恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，

则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.
几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,

①  ，则是以为周期的周期函数；

  ②，则是以为周期的周期函数；

③，则是以为周期的周期函数；

  ④，则是以为周期的周期函数；

  ⑤，则是以为周期的周其函数；                   

⑥，则是以为周期的周期函数；

⑦，则是以为周期的周期函数.

⑧函数满足（）

  若为奇函数，则其周期为，

  若为偶函数，则其周期为.

⑨函数的图象关于直线和都对称，则函数是以

为周期的周期函数；

⑩函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；

⑾函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；

图象的对称性

一个函数的对称性：

1、函数的图象关于点对称

特殊的有：

①  函数的图象关于点对称。

②  函数的图象关于原点对称（奇函数）。

③  函数是奇函数关于点 对称。

④  ，函数关于点 对称

2、两个函数的对称性：

①与关于X轴对称。

②与关于Y轴对称。

③与关于直线对称。

函数与函数的图象关于直线对称.

函数与函数关于直线对称。

特殊地: 与函数的图象关于直线对称

⑤  与关于直线对称。

⑥  关于点(a,b)对称。

⑦  关于直线对称

例1  定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（    ）

A. 是偶函数，也是周期函数

B. 是偶函数，但不是周期函数

C. 是奇函数，也是周期函数

D. 是奇函数，但不是周期函数

解：因为为偶函数，所以。

所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。

例2  设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________

解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；

又因为的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以

例3  函数的图像的一条对称轴的方程是（    ）

解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以，显然取时的对称轴方程是，故选（A）。

例4  设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则：_____________

解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以

例5、函数对于任意实数满足条件，若则__________。

例6（08湖北卷6）已知在R上是奇函数，且A

  A.-2                 B.2                 C.-98            D.98

例7（08四川卷）函数满足，若，则( C )

（Ａ）　　     （Ｂ）　　       （Ｃ）　　      （Ｄ）

例8 （2010安徽理数）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2则的值为（    ）A、       B、1         C、       D、2

例9 （09江西卷）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为 ( C    )

A．　　　     B．　　     　C．　　　   　D．

例10 2009广东三校一模）定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则等于    (B)

A.-1              B.0              C.1          D.4    

例11 （2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则(D)          

A、2009      B、-2009        C 、-2            D.、2

例12 的定义域是，且,若

求 f(2008)的值。

解：

周期为8，

例13 已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：

①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；

②若f（x+2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称；

③函数y＝f（2+x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称；

④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.

其中正确的命题序号是  ④  .

【解析】  ①是错误的，由于f（x－2）是偶函数得f（－x－2）＝f（x－2），所以f（x）的图象关于直线x＝－2对称；

②是错误的，由f（x+2）＝－f（x－2）得f（x+4）＝－f（x），进而得f（x+8）＝f（x），所以f（x）是周期为8的周期函数；

③是错误的，在第一个函数中，用－x代x，y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；

④是正确的，令x－2＝t，则2－x＝－t，函数y＝f（t）与y＝f（－t）的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f（x－2）与y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.

例14（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）＝0，则方程f（x）＝0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 ( D )

A．2                        B．3                      C．4                         D．5

【解析】  ∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，又函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0，∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝0，f（3）＝0，f（5）＝0，∴在区间（0，6）内的解有1，2，3，4，5.故选D.

练习12、对函数f（x），当x∈（－∞，∞）时，f（2－x）＝f（2+x），f（7－x）＝f（7+x），在闭区间［0,7］上，只有f（1）＝f（3）＝0.

（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性；

（2）试求方程f（x）＝0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论.

【分析】  由已知f（2+x）＝f（2－x），f（7－x）＝f（7+x）知f（x）的图象有两条对称轴x＝2和x＝7，从而知f（x）是周期为10的周期函数，又在区间［0，7］上，只有f（1）＝f（3）＝0，画图易知，它是非奇非偶函数，且在一个周期［0，10］上只有2个根，故易求得方程f（x）＝0在的根的个数.

【解】  （1）由已知得f（0）≠0，∴f（x）不是奇函数，又由f（2－x）＝f（2+x），得函数y＝f（x）的对称轴为x＝2，∴f（－1）＝f（5）≠0，∴f（－1）≠f（1），∴f（x）不是偶函数.

故函数y＝f（x）是非奇非偶函数；

（2）由  f（4－x）＝f（14－x） f（x）＝f（x+10），

从而知y＝f（x）的周期是10.

又f（3）＝f（1）＝0，f（11）＝f（13）＝f（－7）＝f（－9）＝0，

故f（x）在［0，10］和［－10，0］上均有两个解，从而可知函数y＝f（x）在［0，2005］上有402个解，在上［－2005，0］有400个解，所以函数y＝f（x）在［－2005，2005］上有802个解.

函数的图象

1．描绘函数图象的基本方法有两种：描点法与图象变换法。

2．描点法：通过      、      、        三步，画出函数的图象，有时可利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性）以利于更简便的画出函数的图象。

3．函数图象变换：

.图象变换法

(1)平移变换

①水平平移：y=f(x±a)(a＞0)的图象，可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位而得到.

②竖直平移：y=f(x)±b(b＞0)的图象，可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移a个单位而得到.

(2)对称变换

①y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称.

②y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称.

③y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.

④y=f-1(x)与y=f(x)关于直线y=x对称.

⑤y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴作y=f(x)的图象的对称部分，其余部分不变.

⑥y=f(|x|)的图象可将y=f(x),x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0的图象.

(3)伸缩变换

①y=Af(x)(A＞0)的图象，可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的A倍，横坐标不变而得到.

②y=f(ax)(a＞0)的图象，可将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩小原来的倍，纵坐标不变而得到.

1.作出下列函数的图象：

⑴；⑵；⑶；⑷；

⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；

⑽；⑾；⑿；⒀；⒁；⒂

 

第二篇：函数周期性总结

函数的周期性

1．周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非．零．常．数．T，使得当x取定义域内的每．一．个．值．时，都有f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说f(x?T)?f(x)必须对定义域内的任意x都成立。

问题1 ①若常数T（≠0）为f (x)周期，问nT( n∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？

2 常见函数的最小正周期

正弦函数 y=sin（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

y=cos（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= 2π2π?

y=tan（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= ?π

π?y=|sin（ωx+φ）|（w>0）最小正周期为T= ?

f(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？

y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题

结论：有的周期函数没有有最小正周期

3抽象函数的周期总结

1、f(x?T)?f(x) ?y?f(x)的周期为T

2、f(x?a)?f(b?x) (a?b) ?y?f(x)的周期为T?b?a 3、f(x?a)??f(x) ?y?f(x)的周期为T?2a 4、f(x?a)?c

f(x) (C为常数) ?y?f(x)的周期为T?2a 5 f(x?a)?1?f(x)

1?f(x) ?y?f(x)的周期为T?2a

7、 f(x?a)??1

f(x)?1 ?y?f(x)的周期为T?4a

8、f(x?a)?1?f(x)

1?f(x) ?y?f(x)的周期为T?4a

9、f(x?2a)?f(x?a)?f(x) ?y?f(x)的周期为T?6a

10、f(x?n?2)?f(x?n)?f(x?n?1)；（它是周期函数，一个周期为6） 11、y?f(x)有两条对称轴x?a和x?b（a?b) ?y?f(x) 周期T?2(b?a) 12、y?f(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0) ?y?f(x) 周期T?2(b?a) 13、y?f(x)有一条对称轴x?a和一个对称中心(b,0)?y?f(x) 周期T?4(b?a)

14、奇函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x) ?y?f(x) 周期T?4a。

15、偶函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x) ?y?f(x) 周期T?2a。 练习：①f(x+a)=－f(x) ②f(x+a)=1

f(x) ③f(x+a)=－1

f(x)

④f(x+a)=f(x)?1

f(x)?1 ⑤f(x+a)=f(x-a) T= ⑥ f(x)= f(x-a) -f(x-2a) T=6a 十一 对称性加奇偶性得到周期

f(x)为偶函数f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)则T=2a f(x)为奇函数f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)则T=4a eg：练1：（07天津7）在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)是减函数，则f(x)( )

A.在区间[?2,?1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[?2,?1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[?

2,?1]D.在区间[?

2,?1]上是减函数，在区间[3,

4]上是减函数，在区间[3,

4]?f(2?x).若f(x)在区间[1,2]上上是增函数 上是增函数

相关推荐

专栏推荐