常用逻辑用语知识点总结

一、命题的定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

  二、充分条件、必要条件、充要条件的判断

 

 

第二篇：常用逻辑用语总结

常用逻辑用语

复习目标

1.理解命题的逆命题, 否命题与逆否命题及四种命题的相互关系；

2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的关系。

3.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；

4.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

基础知识

一．命题及其关系

1. 命题：可以判断真假的语句；

命题的分类 ―真命题、假命题的定义．

真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．

假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．

例1．判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。

（1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

（3）求证：，方程无实根.（4）（5）人类在20##年登上火星.

2.分类二：①简单命题：不含有逻辑联结词的命题；

②复合命题：由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题；

构成复合命题的形式：或 (记作)；且 (记作)；非（记作)

3.命题的四种形式与相互关系

原命题：若则；

逆命题：若则；

否命题：若则；

逆否命题：若则

练习1、将下列命题改写成“若，则”的形式；并判断真假。

①垂直于同一条直线的两条直线平行。②负数的立方是负数。

③对顶角相等。 ④已知为正整数，当时。。

问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．   （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

归纳总结

问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。

小结：

(1) 交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：

(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；

(3) 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．

强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

注：（1）互为逆否关系的两个命题同真假．

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

二．充分条件和必要条件

1.命题“若则”为真，记作“”；“若则”为假，记作“”

2.条件与结论的关系：

①若，且，即则是的充要条件； ②若，且，则是的充分不必要条件；③若，且，则是的必要不充分条件；④若，且，则是的既不充分又不必要条件。        注：解题时要注意条件和结论分别是什么。

练习：例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x ＝1，则x² － 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；

（3）若x为无理数，则x²为无理数．

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．

解（1）充分不必要条件 （2）充分不必要条件（3）必要不充分条件

三．逻辑联结词    1.“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词

2.复合命题

（1）定义：由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题；

（2）构成形式：或 (记作)；且 (记作)；非（记作)

注：①不是所有的“或”、“且”、“非”都是逻辑联结词。如“方程的解是或”

    ②命题的否定与否命题的区别：命题的否定只需对结论否定；否命题要对条件和结论同时否定。

 ③命题的否定中的一些关键词的否定

例2．写出“若或，则”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定，并判其真假。

［剖析］由定义写分别写出其逆命题、否命题、逆否命题与命题的否定，然后判断其真假；也可利用命题间的等价性来判断.

［解］逆命题：若，则或，是真命题；

　　　否命题：若且，则，是真命题；

　　　逆否命题：若，则且，是真命题。

　　　命题的否定：若或，则，是假命题。

（3）“或”、“且”、“非”形式的复合命题的真假性的判断

①“非”形式复合命题的真假与的真假相反（真假相反）；

②“且”形式复合命题当与同为真时为真，其他情况时为假（一假必假）；

③“或”形式复合命题当与同为假时为假，其他情况时为真（一真必真）．

注：①“或”，“且”，“非”命题中的“”、“”是两个命题；

而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“”,“”是一个命题的条件和结论两个部分；

2．（05江苏卷）命题“若，则”的否命题是　　　　　.

3可以用下表来判断：（即真值表）

四．全称量词与存在量词

1.全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等；

全称命题:      否定为:   

2.存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；

存在性命题:    否定为:  

判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？

（1）所有的矩形都是平行四边形；   （2）每一个素数都是奇数；

（3）"x∈R,  x²－2x＋1≥0。    （4）有些实数的绝对值是正数；

（5）某些平行四边形是菱形；   （6）$ x∈R,  x²＋1＜0。

解其中命题（1）的否定是“存在一个矩形不都是平行四边形“；

命题（2）的否定是“存在一个素数不是奇数；”

命题（3）的否定是“$x∈R,   x²－2x＋1＜0；“

其中命题（4）的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”；

命题（5）的否定是“每一个平行四边形都不是菱形“

命题（6）的否定是“"x∈R,   x²＋1≥0；”

练习1（07年全国100所名校）命题“所有的奇数的立方是奇数”的否定是　　　　　.

五 当利用直接证法或分析法证明命题较为困难时，可以从命题的反面出发，利用“反证法”探求解题思路。

例．已知，求证：，，三式中至少有一个不大于.

［剖析］本题若从正面入手，难以找到思路，故可以采用反证法。

［证明］（用反证法）若，，三式中都大于.则有

　　（＊）

而，，，三式相加得，此与（＊）式矛盾，故假设错误，从而原命题成立。

练习．若为互不相等的实数，证明：，，

这三个方程不可能都有等根。