高一数学必修1各章知识点总结

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果xn?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．

? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0?0。

?a(a?0)

当n是奇数时，an?a，当n是偶数时，an?|a|??

??a(a?0)

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

a?am(a?0,m,n?N*,n?1)，a

mn

?

mn

?

1

mn

?

1

a

? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

rr?sr

（1）a〃a?a

rsrs

(a)?a（2）

r

r

s

am

(a?0,m,n?N*,n?1)

(a?0,r,s?R)；

(a?0,r,s?R)；

（3）(ab)?aa (a?0,r,s?R)． （二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，f(x)?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]； （2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R； （3）对于指数函数f(x)?ax(a?0且a?1)，总有f(1)?a； 二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果ax?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：x?logaN（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式） 说明：○1 注意底数的限制a?0，且a?1； 2 ax?N?logaN?x； ○3 注意对数的书写格式． ○

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数lgN； ○

2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN． ○

? 指数式与对数式的互化

幂值 真数

对数

（二）对数的运算性质

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么： 1 loga(M〃N)?logaM＋logaN； ○

M2 loga?logaM－logaN； ○N

3 logaMn?nlogaM (n?R)． ○

注意：换底公式

logcb （a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）． logab?logca

利用换底公式推导下面的结论

1n（1）logabn?logab；（2）logab?． mlogba

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数，其中x是自m变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y?2log2x，y?log5x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 5

2 对数函数对底数的限制：(a?0，且a?1)． ○

2

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数，其中?为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）??0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数．特别地，当??1时，幂函数的图象下凸；当0???1时，幂函数的图象上凸；

（3）?

?0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 例题： 1. 已知a>0，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )

2.计算： ① 4?log23log32= ；log527?2log52= ; ?②2

log2764

1

17?4?(?)0?[(?2)3]?16?0.75?0.01 =

81③0.064?

3.函数y=log1(2x2-3x+1)的递减区间为

2

4.若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=

5.已知f(x)?loga1?x(a?0且a?1)，（1）求f(x)的定义域（2）求使f(x)?0的x的取值范围

1?x

 

第二篇：高中高一数学必修1各章知识点总结(3)

高中高一数学必修1各章知识点总结（3）

第一章 集合与函数（3）

一、函数表示法

1、三种表示方法

（1）解析法：必须注明函数的定义域；

（2）列表法：选取的自变量的值要有代表性，应能反映定义域的特征．

（3）图象法：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。注意判断一个图形是否是函数图象的依据；解析法便于算出函数的精确值。列表法便于查出函数值。图象法便于了解函数的性质。 2、关于函数的解析式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

2、函数的图像

1、定义：

在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上，即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }。图象C常常是一条光滑的连续曲线(或直线),但也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 2、画法：

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换。 3、常用的函数的图像

应熟悉并熟练地作出一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数及三个三角函数的图像。 4、作用：

1、直观的看出函数的性质；

2、利用数形结合的方法分析解题的思路，提高解题的速度。 3、往往可由图像发现解题中的错误。

二、分段函数和复合函数 1、分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

注意：

（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

2、复合函数

如果函数y=f(u) (u∈M),u=g(x) (x∈A),则函数y=f[g(x)]=F(x)（定义域为{x?Ag(x)?M} ） 称为f、g的复合函数。

两个函数能复合成为一个复合函数的充要条件是：外层函数的定义域与内层函数的值域之交集非空。

三、函数的几何性质 1、函数的单调性 (1)概念

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1) >f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增（减）函数，区间D称为y=f(x)的单调增（减）区间。

注意：

① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ② 必须是对于区间D内自变量的任意两个值x1，x2；当x1<x2时，都有．．f(x1)<f(x2) 。

(2)几何意义

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3)函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：

步骤：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④ 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤定论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法

从图象上看升降，从左到右上升者为增函数，下降者为减函数。

(C)复合函数的单调性

两个函数复合而成的复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)．．．．的单调性之间的关系是：同增异减。

注意：

函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.