集合

           一、集合有关概念

1.   集合的含义

2.   集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性如：世界上最高的山

(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3．元素与集合的关系——（不）属于关系

（1）集合用大写的拉丁字母A、B、C…表示

元素用小写的拉丁字母a、b、c…表示

（2）若a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作a∈A;

若不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作aA;

4.集合的表示方法：列举法与描述法。

（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法

格式：{ a,b,c,d }

适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示

（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

格式：{x |x满足的条件}

例如：{xÎR| x-3>2} 或{x| x-3>2}

适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示

u  注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N={0,1,2,3，…}

正整数集  N*或 N+ = {1,2,3，…}

整数集Z {…，-3，-2，-1，0,1,2,3，…}

有理数集Q

实数集R

有时，集合还用语言描述法和Venn图法表示

例如：语言描述法： {不是直角三角形的三角形}

      Venn图:

4、集合的分类：

(1)有限集   含有有限个元素的集合

(2)无限集   含有无限个元素的集合

(3)空集     不含任何元素的集合　　例：{x∈R|x²=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

定义：若对任意的x∈A，都有x∈B，则称集合A是集合B的子集，

记为（或BA）

注意：①有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

②符号∈与的区别

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系：A=B 

定义：如果AÍB  同时 BÍA 那么A=B

实例：设  A={x|x²-1=0}  B={-1,1}   “元素相同则两集合相等”

3.真子集:如果AÍB,且存在元素x∈B,但xA,那么就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

4.性质

① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA

②如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC

③ 如果AÍB  同时 BÍA 那么A=B

5. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

u  有n个元素的集合，含有2ⁿ个子集，2^n-1个真子集

三、集合的运算

1.1集合的含义与表示

1.1.1集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。元素a属于集合A，记做a∈A，反之，元素a不属于集合A，记做aA。

1.1.2集合中的元素的特征：

①确定性：如世界上最高的山；

②互异性：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}；

③无序性：如集合{a、b、c}和集合{b、a、c}是同一个集合。

1.1.3集合的表示方法：①列举法；②描述法；③Venn图；④用数轴表示集合。

1.1.4集合的分类：

①根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。

②根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。

本节精讲：

一. 如何判断一些对象是否组成一个集合：判断一组对象能否组成集合，主要是要看这组对象是否是确定的，即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么，这组对象就能够组成一个集合。

例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。

（1）大于等于1，且小于等于100的所有整数；

（2）方程x²=4的实数根；

（3）平面内所有的直角三角形；

（4）正方形的全体；

（5）∏的近似值的全体；

（6）平面集合中所有的难证明的题；

（7）著名的数学家；

（8）平面直角坐标系中x轴上方的所有点。

练习：

考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：

（1）   平面直角坐标系内x轴上方的一些点；

（2）   平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的园内的所有的点；

（3）   一元二次方程x²+bx-1=0的根；

（4）   平面内两边之和小于第三边的三角形

（5）   y=x,y=x+1,y=ax²+bx+c(a≠0)；

（6）   2x²+3x-8=0,x²-4=0,x²-9=0；

（7）   新华书店中有意思的小说全体。

二．有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。

例：集合A={y|y=x²+1},集合B={(x,y)| y=x²+1},(A、B中x∈R,y∈R)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（  ）

A、2∈A，且2∈B            B、（1,2）∈A，且（1,2）∈B

C、2∈A，且（3,10）∈B      D、（3,10）∈A，且2∈B

解：C

练习：

3.1415     Q；  ∏     Q；  0     R⁺；    1     {（x,y）|y=2x-3}；     -8     Z；

三．有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质:分别是①确定性②互异性③无序性

例：集合A是由元素n²-n，n-1和1组成的，其中n∈Z，求n的取值范围。

解：n是不等于1且不等于2的整数。

练习:

1.  已知集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq²},a≠0,且M与N中的元素完全相同，求d和q的值。

2.  已知集合A={x，,1},B={x²,x+y,0}，若A=B，则x²⁰⁰⁹+y²⁰¹⁰的值为       ，A=B=       .

3.  (1)若-3∈{a-3,2a-1,a²-4}求实数a的值；  (2)若 ∈{m},求实数m的值。

4.已知集合M={2，a,b},N={2a,2,b²}，且M=N,求a,b的值。

5.已知集合A={x|ax²+2x+1=0,a∈R}，(1)若A中只有一个元素，求a的值； (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围。

四．集合的表示法：三种表示方法

练习；

1.  用列举法表示下列集合。

（1）   方程  x²+y²=2d的解集为        ；

             x-y=0

（2）集合A={y|y=x²-1,|x|≤2,x∈Z}用列举法表示为       ；

（3）集合B={∈Z|x∈N}用列举法表示为       ；

（4）集合C={x|=+，a，b是非零实数}用列举法表示为       ；

2.用描述法表示下列集合。

（1）大于2的整数a的集合；

（2）使函数y=有意义的实数x的集合；

（3）{1、2²、3²、4²、…}

3.用Venn图法表示下列集合及他们之间的关系：

（1）A={四边形}，B={梯形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={矩形},F={正方形}；

（2）某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为       ，用Venn图表示为：       。

五．有关集合的分类：

六．集合概念的综合问题：

练习

1.       若，则t的值为  _____________；

2.       设集合A={y|y=x²+ax+1，x∈R},B={(x,y)|y= x²+ax+1, x∈R },试求当参数a=2时的集合A和B；

3.       已知集合A={x|ax²-3x+2=0,a∈R},求（1）若集合A为空集，则a的取值范围；（2）若集合A中只有一个元素，求a的值，并写出集合A；（3）若集合A中至少有一个元素，则a的取值范围。

1.2集合间的基本关系

1.2.1子集：一般地，两个集合A和B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记做AB（或BA）,读作“A包含于B”（或“B包含A”） 。比如说，集合A={1、2、3}，集合B={1、2、3、4、5}，那么，集合A中的元素1、2、3都属于集合B，所以，集合A为集合B的子集，记做AB（或BA）。

1.2.2集合相等：如果集合AB且BA时，集合A中的元素与集合B中的元素是一样的，因此，集合A             与集合B相等，记做A=B。或AB。

1.2.3真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集。记作：AB（或BA） 也可记作：（或）

1.2.4空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做，并规定：空集是任何非空集合的子集（当然         是真子集）

本节精讲：

一． 集合间的包含与相等的问题:对于集合相等，我们要从以下三个方面入手：

①  若集合AB且BA时，则A=B；反之，如果A=B，则集合AB且BA。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，即欲要证明A=B，只需要证明AB和BA都成立就行了。

②  两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。

③  要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合中的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。

例：若集合，，且满足，求实数的取值范围.

练习：

1.已知，且，求实数p、q所满足的条件.

2. 若，则（    ）.

   A.     B.

   C.     D.

3. 已知集合P＝｛x|x²＋x－6＝0｝与集合Q＝｛x|ax＋1＝0｝，满足QP，求a的取值组成的集合A。

二． 有关子集以及子集个数的问题：

例1：判定以下关系是否正确

      (2){1，2，3}＝{3，2，1}       

(4)0∈{0}      （5）={0}                （6）∈{0}

解  根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．

例2：列举集合{1，2，3}的所有子集．

分析：子集中分别含1，2，3三个元素中的0、1、2或者3个．

解：含有0个元素的子集有：

含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；

含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；

含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．

例3：已知{a、b}A{a、b、c、d},则满足条件集合A的个数为________．

分析：A中必含有元素a，b，又A是{a，b，c，d}子集，所以满足条件的A有：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a、b、c、d}。

解：共3个．

例4：设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系式中正确的是           。   

解：A

例5：已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C．

练习：

1.已知集合A={1,3，a},B={1,a²-a+1},且AB，求a的值。

2．已知集合A={x∈R|x2＋3x＋3=0}，B={y∈B|y2－5y＋6=0}，

3．已知集合A={x|x=a2＋1，a∈N}，B={x|x=b2－4b＋5，b∈N}，求证：A=B。

1.3集合的基本运算

1.3.1并集：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,(读作“A并B”).即 A∪B={x|x∈A,或x∈B}。如图1-3-1所示。

例如，设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B.

解: A∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}

再比如说，设集合A={ x|-1<x<2},集合B={ x|1<x<3}，求A∪B.

解: A∪B={x|-1<x<2} ∪ {x|1<x<3}={x|-1<x<3}

                                                        

      图1-3-1                     图1-3-2                          图1-3-3

1.3.2交集：一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。如图1-3-2所示。

例如，设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∩B.

解: A∩B.={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5 ,8}

再比如说，新华中学开运动会,设A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}

B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},求A∩B.

解:A∩B={x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.

1.3.3补集：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集.                             ，如图1-3-3所示。

例如，设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3}，B={3,4,5,6},求CuA,CuB

解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以 CuA={4,5,6,7,8}； CuB={1,2,7,8} .

1.3.5集合中，一些常用的运算性质：

本节精讲

一．             有关两个集合的并集、交集的问题

11．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x²}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.

12．已知A＝{x|x²＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)²＋p(x－1)＋q＝x＋1}，当A＝{2}时，集合B＝________.

13．(胶州三中2009～2010高一期末)设A＝{x|x²－px＋15＝0}，B＝{x|x²＋qx＋r＝0}且A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，则p＝______；q＝______；r＝______.

三、解答题

14．已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}

(1)若A∩B＝?，求a的取值范围．

(2)若A∪B＝B，a的取值范围又如何？

15．设集合M＝{1,2，m²－3m－1}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，求m.

16．已知A＝{1，x，－1}，B＝{－1,1－x}．

(1)若A∩B＝{1，－1}，求x.

(2)若A∪B＝{1，－1，}，求A∩B.

(3)若B?A，求A∪B.

当x＝时，A∪B＝{1，，－1}．

17．某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？

18．已知集合A＝{x|3x－7>0}，B＝{x|x是不大于8的自然数}，C＝{x|x≤a，a为常数}，D＝{x|x≥a，a为常数}．

(1)求A∩B；

(2)若A∩C≠?，求a的取值集合；

(3)若A∩C＝{x|<x≤3}，求a的取值集合；

(4)若A∩D＝{x|x≥－2}，求a的取值集合；

(5)若B∩C＝?，求a的取值集合；

(6)若B∩D中含有元素2，求a的取值集合．

二．             有关全集、补集、空集的问题

例1  判定以下关系是否正确

；(2){1，2，3}＝{3，2，1}；；(4)0∈{0}

例2  列举集合{1，2，3}的所有子集．

________．

[    ]

例5  设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系式中正确的是

[    ]

M与P的关系是

[    ]

A．M＝UP　　B．M＝P   

例7  下列命题中正确的是

[    ]

A．U(UA)＝{A}

例8  已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C．

例9  设S＝{1，2，3，4}，且M＝{x∈S|x2－5x＋p＝0}，若SM＝{1，4}，则p＝________．

例10  已知集合S＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|，2}，SA＝{a＋3}，求a的值．

[    ]

A．M＝N

D．M与N没有相同元素

三．有关集合综合运算的问题

四．学习利用Venn图求解集合的运算

五．有关集合新定义运算的问题