高一数学集合知识点总结 一.知识归纳:
1.集合的有关概念。
1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类:有限集,无限集,空集。
4)常用数集:N,Z,Q,R,N*
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集:若对x∈A都有x∈B,则A B(或A B);
2)真子集:A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或 ,且 )
3)交集:A∩B={x| x∈A且x∈B}
4)并集:A∪B={x| x∈A或x∈B}
5)补集:CUA={x| x A但x∈U}
注意:①? A,若A≠?,则? A ;②若 , ,则 ;③若 且 ,则A=B(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;
④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。
5.交、并集运算的性质
①A∩A=A,A∩? = ?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪? =A,A∪B=B∪A;
③Cu (A∪B)= CuA∩CuB,Cu (A∩B)= CuA∪CuB;
6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。
二.例题讲解:
【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z},则M,N,P满足关系
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一:从判断元素的共性与区别入手。
解答一:对于集合M:{x|x= ,m∈Z};对于集合N:{x|x= ,n∈Z}
对于集合P:{x|x= ,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以M N=P,故选B。
分析二:简单列举集合中的元素。
解答二:M={…, ,…},N={…, , , ,…},P={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
= ∈N, ∈N,∴M N,又 = M,∴M N,
= P,∴N P 又 ∈N,∴P N,故P=N,所以选B。
点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。 变式:设集合 , ,则( B )
A.M=N B.M N C.N M D.
解:当 时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B
【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为
A)1 B)2 C)3 D)4
分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。
解答:∵A*B={x|x∈A且x B}, ∴A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。
变式1:已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?a∈M,那么集合M的个数为
A)5个 B)6个 C)7个 D)8个
变式2:已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解:由已知,集合中必须含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 .
【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。 解答:∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,
∴ ∴
变式:已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值.
解:∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足:A∪B={x|x>-2},且A∩B={x|1
分析:先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。
解答:A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B,而(-∞,-2)∩B=ф。
综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}
变式1:若A={x|x3+2x2-8x>0},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)
点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。
变式2:设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,求所有满足条件的a的集合。
解答:M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M
①当 时,ax-1=0无解,∴a=0 ②
综①②得:所求集合为{-1,0, }
【例5】已知集合 ,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q,若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围。 分析:先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解,再利用参数分离求解。
解答:(1)若 , 在 内有有解
令 当 时,
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式:若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答:
点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
三.随堂演练
选择题
1. 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
2.集合{1,2,3}的真子集共有
(A)5个 (B)6个 (C)7个 (D)8个
3.集合A={x } B={ } C={ }又 则有
(A)(a+b) A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一个
4.设A、B是全集U的两个子集,且A B,则下列式子成立的是
(A)CUA CUB (B)CUA CUB=U
(C)A CUB= (D)CUA B=
5.已知集合A={ }, B={ }则A =
(A)R (B){ }
(C){ } (D){ }
6.下列语句:(1)0与{0}表示同一个集合; (2)由1,2,3组成的集合可表示为
{1,2,3}或{3,2,1}; (3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1,1,2}; (4)集合{ }是有限集,正确的是
(A)只有(1)和(4) (B)只有(2)和(3)
(C)只有(2) (D)以上语句都不对
7.设S、T是两个非空集合,且S T,T S,令X=S 那么S∪X=
(A)X (B)T (C)Φ (D)S
8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式 ,则不等式ax2+bx+c 0的解集为
(A)R (B) (C){ } (D){ }
填空题
9.在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为
10.若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B,则x=
11.若A={x } B={x },全集U=R,则A =
12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根,则k的取值范围是
13设集合A={ },B={x },且A B,则实数k的取值范围是。
14.设全集U={x 为小于20的非负奇数},若A (CUB)={3,7,15},(CUA) B={13,17,19},又(CUA) (CUB)= ,则A B=
解答题
15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3},求实数a。
16(12分)设A= , B= ,
其中x R,如果A B=B,求实数a的取值范围。
四.习题答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C C B C B C D D
填空题
9.{(x,y) } 10.0, 11.{x ,或x 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
解答题 15.a=-1 ;
16.提示:A={0,-4},又A B=B,所以B A
(Ⅰ)B= 时, 4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1
(Ⅱ)B={0}或B={-4}时, 0 得a=-1
(Ⅲ)B={0,-4}, 解得a=1
综上所述实数a=1 或a -1
高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性,如:世界上最高的山
(2)元素的互异性,如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性, 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ … } 如:{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用大写字母表示集合:A ={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法
(3)元素与集合的关系:
◆注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集):N ;正整数集:N*或 N+ ;
整数集:Z ;有理数集:Q ;实数集:R
(1)列举法:{a,b,c……},元素有限个
(2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
如:{xÎR| x-3>2},{x| x-3>2}
(3)语言描述法,如:不是直角三角形的三角形组成的集合
(4)Venn图:
4.集合的分类:
(1)有限集:含有有限个元素的集合
(2)无限集:含有无限个元素的集合
(3)空集:不含任何元素的集合,记为Φ。如:{x|x2= -5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:有两种可能(1)A是B的一部分;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系:A=B
实例:设A={x|x2-1=0},B={-1,1},“元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集,AÍA
②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
或者说,如果AÍB,且存在元素,且
③如果AÍB,BÍC ,那么AÍC
④如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
◆有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,2n-1个非空子集。
三、集合的运算
例题讲解:
1.下列四组对象,能构成集合的是 ( )
A.某班所有高个子的学生 B.著名的艺术家 C.一切很大的书 D.倒数等于它自身的实数
2.集合{a,b,c }的真子集共有 个.
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},则M与N的关系是 .
4.设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确
得有40人,化学实验做得正确得有31人,两种实验都做错得
有4人,则这两种实验都做对的有 人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集
合M= .
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ,
A∩C=Φ,求m的值.
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