高中数学必修1知识点总结

第一章  集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

  （1）集合的概念

   集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

（2）常用数集及其记法

表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.

（4）集合的表示法

     ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

（1）含绝对值的不等式的解法

（2）一元二次不等式的解法

〖1.2〗函数及其表示

【1.2.1】函数的概念

（1）函数的概念

①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作．

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．

（2）区间的概念及表示法

①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做．

注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须

．

（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①是整式时，定义域是全体实数．

②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．

⑤中，．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零．

⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．

⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．

（4）求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：

     ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．

②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．

⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．

⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．

⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．

⑧函数的单调性法．

【1.2.2】函数的表示法

（5）函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．

     解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．

（6）映射的概念

①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．

②给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．

〖1.3〗函数的基本性质

【1.3.1】单调性与最大（小）值

（1）函数的单调性

①定义及判定方法

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减．

（2）打“√”函数的图象与性质

分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．

（3）最大（小）值定义

     ①一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；

      （2）存在，使得．那么，我们称是函数       的最大值，记作．

【1.3.2】奇偶性

（4）函数的奇偶性

①定义及判定方法

②若函数为奇函数，且在处有定义，则．

③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．

〖补充知识〗函数的图象

（1）作图

利用描点法作图：

①确定函数的定义域；                        ②化解函数解析式；

③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；         ④画出函数的图象．

利用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．

①平移变换

②伸缩变换

 

③对称变换

             

           

（2）识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．

（3）用图

     函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．

 

第二篇：高中数学：集合与函数基本性质知识点分析新课标人教A版必修1

集合与函数基本性质知识点分析

一、集合

一）集合的有关概念

1.   关于集合的元素的特征

（1）元素的确定性：（2）元素的互异性：（3）元素的无序性：

2.   元素与集合的关系；属于a∈A，不属于aA

二）集合的表示方法：列举法；描述法；图示法；符号简记法。

三）集合的基本关系：

1、集合与集合之间的“包含”关系；

2、集合与集合之间的 “相等”关系；

，则中的元素是一样的，因此

即 

3、真子集的概念

4、空集的概念：不含有任何元素的集合称为空集，记作：

     规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

5、结论：

1）、1    2，且，则

2）、点集与数集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1}  B={y|y =x²+1}  则A∩B =）

一般地，含n(n≠0)个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集的个数是-1，非空真子集的个数为

四）集合的基本运算：

1.   并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集

记作：A∪B；A∪B={x|x∈A，或x∈B}

Venn图表示：

 

2.   交集：

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。

记作：A∩B；A∩B={x|∈A，且x∈B}

交集的Venn图表示

3.   补集：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集，

记作：C_UA；C_UA={x|x∈U且x∈A}   说明：补集的概念必须要有全集的限制

补集的Venn图表示

4.   集合基本运算的一些结论：

交集：A∩BA，    A∩BB，     A∩A=A，     A∩=,      A∩B=B∩A

并集：AA∪B，    BA∪B，     A∪A=A，     A∪=A,       A∪B=B∪A

补集（C_UA）∪A=U，              （C_UA）∩A= 

若A∩B=A，则AB，反之也成立               若A∪B=B，则AB，反之也成立

若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B                 若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B

6．摩根反演律：（A∩B）∪C = （A∪C）∩（A∪C）

（A∪B）∩C = （A∩C）∪（A∩C）

二、函数相关概念和性质：

1、 函数概念、解析式、分段函数、复合函数概念：

1）映射

2)函数

3）函数的表示

    列表法：用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．

    图象法：用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法．

    解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来，这种方法称为解析法．

4）分段函数

    （1)分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数称为分段函数．

    （2)分段函数的定义域和值域：分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．

5）复合函数:若y是u的函数，u又是x的函数，即，那么y关于x的函数，叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，u的取值范围是的值域。

2、 函数定义域：

（1）   确定函数定义域的原则（四条）

（2）  复合函数定义域的求法：

①若已知的定义域为，求的定义域，其方法是：利用，求得的范围，此即的定义域。

②若已知的定义域为，求的定义域，其方法是：利用，求得的范围，此即的定义域

3、函数值域求解方法：

一、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。

二、配方法（二次函数法）：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法

三、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

四、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以用反函数法。

五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。

六、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

八、利用函数的导数求最值：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值。

九、利用重要的不等式：基本不等式求值域。

十、图像法（数形结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。

注：求函数的值域没有通性解法，只有根据函数解析式的结构特征来确定相应的解法。但不论哪种方法，都应遵循一个原则：定义域优先的原则。

4、反函数：

1）反函数的定义：

2）原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.

求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.

注意：①，，，但.

②函数的反函数是，而不是.

4、函数的单调性：

1）定义；特征：增（减）函数的y值，随自变量x值的增大而增大（减小），即从左边往右边看增函数的图象是上升的，减函数图象是下降的．

2）若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

3）判断证明函数单调性的一般步骤是：

⑴设,是给定区间内的任意两个值，且<；⑵作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断－的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据－的符号确定其增减性.

4）复合函数单调性的判断

对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

5、函数奇偶性：

1、定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；

如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

2 确定f(－x)与f(x)的关系；

3 作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

2、函数奇偶性的几个性质：

（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；

（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；

（3）是偶函数，

是奇函数；

（4）①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；

一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

（5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

注：任何函数均可表示为一个奇函数与一个偶函数之和，即：

    

    

6、周期性

（1）定义：如果存在使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)的非零常数T，则称f(x)为周期函数；

（2）性质：

①f(x+T)= f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为。

7、最值

（1）定义：

最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x₀∈I，使得f(x₀) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x₀∈I，使得f(x₀) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x₀∈I，使得f(x₀) = M；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。

（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；

2 利用图象求函数的最大（小）值；

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

二、函数的分类

三、基本初等函数