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高中数学必修3知识点总结

第一章 算法初步

1.1.1 算法的概念

1、算法概念：在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。

2. 算法的特点:

(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.

(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.

(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.

(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.

(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

1.1.2 程序框图

1、程序框图基本概念：

（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。

（二）程序框图的三要素：程序框、流程线、文字说明。

其中构成程序框的图形符号及其作用：

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（三）、程序框图的规则：

1、使用标准的图形符号。

2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。

3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。

4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。

5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

（四）算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

1、顺序结构：有若干个依次执行的步骤组成，是任何一个算法都离不开的一种基本结构。

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而

下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B

框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执

行B框所指定的操作。

示例：

2、条件结构：

条件结构是指在算法中通过对条件的判断,根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。

3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：

（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

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（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

当型循环结构 直到型循环结构

注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。

2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。

1.2.1 输入、输出语句和赋值语句

小结总括

1、输入语句

（1）输入语句的一般格式

注意：

（1）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；

（2）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量指程序在运行时其值是可以变化的量；

（3）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；

（4）提示内容与变量之间用“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用“，”隔开。

2、输出语句

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（1）输出语句的一般格式

注意：

（1）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；

（2）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；

（3）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。

3、赋值语句

（1）赋值语句的一般格式

其中：

（1）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；

（2）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）

（3）赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。

（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；如：2=X是错误的。

（5）对于一个变量可以多次赋值。

1．

2．2条件语句

1、条件语句的一般格式有两种：

（1）IF—THEN—ELSE语句；（2）IF—THEN语句。

2、IF—THEN语句、

IF—THEN语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。

注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN后边的

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语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。

3、IF—THEN—ELSE语句

IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。

图3 图4

分析：在IF—THEN—ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，

则执行ELSE

后面的语句2。

1．2．3循环语句

循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（

UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。

1、WHILE语句

（1）WHILE语句的一般格式是

（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。

2、UNTIL语句

（1）UNTIL语句的一般格式是 对应的程序框图是

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（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。

分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）

当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；

在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环

1.3.1辗转相除法与更相减损术

1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

（1）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商

大公约数；若S0和一个余数R0；（2）：若R0＝0，则n为m，n的最R0≠0，则用除数n除以余数R0得到一个商S1和一个余数R1；RR（3）：若1＝0，则1为m，n的最大公约数；若

直至R1≠0，则用除数R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2；?? 依次计算Rn＝0，此时所得到的Rn?1即为所求的最大公约数。

2、更相减损术

我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 翻译为：（1）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。

（2）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.

分析：（略）

3、辗转相除法与更相减损术的区别：

（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到

1.3.2秦九韶算法与排序

1、秦九韶算法概念：

f(x)?anxn?an-1xn-1???a1x?a0求值问题

将上式变形为：

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求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即：

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即：

这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。

1.3.3进位制

1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。 一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：

anan?1...a1a0(k)(0?an?k,0?an?1,...,a1,a0?k)，

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数

 

第二篇：高中数学必修3知识点总结1

第二章     统计

简单随机抽样

1.  简单随即抽样的含义

   一般地,设一个总体有N个个体, 从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）, 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做简单随机抽样.

  ⑴每个个体每次被抽到的概率是        ；

⑵每个个体被抽到的概率是        ；

●根据你的理解，简单随机抽样有哪些主要特点？

⑴总体的个体数有限；

⑵样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；

⑶抽取的样本不放回，样本中无重复个体；

⑷每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性.

2．简单随机抽样常用的方法：

⑴抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。

★抽签法的操作步骤？

第一步，将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上.

第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀

第三步，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.

●抽签法有哪些优点和缺点？

   优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性.

   缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大；误差相比其它抽样也比较大。

★利用随机数表法从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其抽样步骤如何？

     第一步，将总体中的所有个体编号.

    第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数.

    第三步，从选定的数开始依次向右（向左、向上、向下）读，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满n个号码为止，就得到一个容量为n的样本.

系统抽样：

1. 系统抽样的定义：

一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样.

●由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特征：

⑴当总体容量N较大时，采用系统抽样。

    ⑵将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，间隔一般为k＝.

    ⑶预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号

★系统抽样的一般步骤

⑴用系统抽样从总体中抽取样本时，首先要做的工作是什么？将总体中的所有个体编号.

如果用系统抽样从605件产品中抽取60件进行质量检查，由于605件产品不能均衡分成60部分，⑵应先从总体中随机剔除5个个体，再均衡分成60部分.

一般地，用系统抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其操作步骤如何？

第一步，将总体的N个个体编号.

第二步，确定分段间隔k，对编号进行分段.

第三步，在第1段用简单随机抽样确定起始个体编号l.

第四步，按照一定的规则抽取样本.

分层抽样

1.  分层抽样的定义:

   若总体由差异明显的几部分组成，抽样时，先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，再将各层取出的个体合在一起作为样本，这样的抽样叫做分层抽样. 所以分层抽样又称类型抽样.

●应用分层抽样应遵循以下要求及具体步骤：

    ⑴分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。

⑵分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。

★一般地，分层抽样的操作步骤如何？

第一步，计算样本容量与总体的个体数之比.

第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数.

第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体.

第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本

2. 简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样的类比学习

练习题：

一、选择题：

1．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是(    )．

A．简单随机抽样                   B．系统抽样

C．分层抽样                       D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样

2．某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级2007名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（    ）

A. 不全相等    B. 均不相等     C. 都相等    D. 无法确定

3．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所

抽的编号为(      )

A.5，10，15，20     B.2，6，10，14     C.2，4，6，8     D.5，8，11，14

4．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公

司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是（    ）

A.分层抽样法，系统抽样法         B.分层抽样法，简单随机抽样

C.系统抽样法，分层抽样法        D.简单随机抽样法，分层抽样法

5. 某校1000名学生中，O型血有400人，A型血有250人，B型血有250人，AB型血有100人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则O型血、A型血、B型血、AB型血的人要分别抽的人数为（    ）

A.16、10、10、4        B.14、10、10、6      C.13、12、12、3      D.15、8、8、9                                                                      

6. 为了了解广州地区初三学生升学考试数学成绩的情况，从中抽取50本密封试卷，每本30份试卷，这个问题中的样本容量是（    ）

A.30       B.50         C.1500          D.150           

7. 某单位有技工18人、技术员12人、工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，则样本容量n为（    ）

A.4        B.5         C.6         D.无法确定

二、填空题

8.（2008·安庆模拟）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高

三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为           .

9.某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数

学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②.那么①，②分别为          .

10.下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是            （填序号）.

①某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样；

②某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样；

③从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样；

④从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样；

11.（2008·重庆文）某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情

况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是           .

12.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生200人，学校团委欲用分层抽样的

方法抽取18名学生进行问卷调查，则下列判断不正确的是           （填序号）.

①高一学生被抽到的概率最大

②高三学生被抽到的概率最大

③高三学生被抽到的概率最小

④每名学生被抽到的概率相等

13.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、

30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是         .

14.（2008·天津文，11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45

岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工             人.

15.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取

一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为          .

16．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘。10天后，又从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2条。根据以上数据可以估计该池塘内共有         条鱼。

17.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185

的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有__   __学生。

用样本的频率分布估计总体分布

一、我们把样本抽取后，要对样本进行分析来研究总体的分布情况，对样本进行分析常采取两种

方式：⑴列频率分布表；   ⑵做频率分布直方图.

●列频率分布表的步骤：

⑴求极差（即样本中的最大值与最小值的差）；

⑵决定组距与组数（）；

⑶将数据分组；

⑷列频率分布表.

●根据频率分布表做频率分布直方图应注意两点：

⑴纵轴的意义：

⑵横轴的意义：样本内容（每个矩形下面是组距）.

二、典例精析

例1：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位ｃｍ)

(1)列出样本频率分布表﹔

(2)一画出频率分布直方图;

(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。

例2：为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.

(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？

(2)若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？

(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由。

分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。

1．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图如下．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（    ）

A．48米                        B．49米          C．50米                  D．51米

2．常用的抽样方法有：                                   。

3．(20##年新课程卷文第13题)据新华社

20##年3月12日电，1985年～20##年我      25.0

国农村人均居住面积如图所示，其中，从        20.0

      年到      年的五年间增长最快．        15.0

                                                   1985  1990  1995  2000

4  已知辆汽车通过某一段公路时的时速

的频率分布直方图如右图所示，则时速在

的汽车大约有_________辆.

]

                                                 

    5．(12分)为了解某地初三年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身

高)，分组情况如下：

(1)求出表中a，m的值．          (2)画出频率分布直方图和频率折线图

答案：一、选择题：1.D  2.C  3.A  4.B  5.A  6.C  7.C

    二、填空题：8.15，10，20    9.系统抽样，简单随机抽样    10.③   11.分层抽样法

  12.①②③    13.6   14.10    15.0795    16.750    17.3700

解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，

因此第二小组的频率为：

又因为频率=

所以  

（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为

（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。