高中数学必修五等差等比数列

基础知识点

（一）知识归纳：

1．概念与公式：

①等差数列：1°.定义：若数列称等差数列；

2°.通项公式：

3°.前n项和公式：公式：

②等比数列：1°.定义若数列（常数），则称等比数列；2°.通项公式：3°.前n项和公式：当q=1时

2．简单性质：

①首尾项性质：设数列

1°.若是等差数列，则

2°.若是等比数列，则

②中项及性质：

1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且

2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且

③设p、q、r、s为正整数，且

1°. 若是等差数列，则

2°. 若是等比数列，则

④顺次n项和性质：                                        

1°.若是公差为d的等差数列，组成公差为n²d的等差数列；

2°. 若是公差为q的等比数列，组成公差为qⁿ的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）

⑤若是等比数列，

则顺次n项的乘积：组成公比这的等比数列.

⑥若是公差为d的等差数列,

1°.若n为奇数，则而S奇、S_偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；

2°.若n为偶数，则

二、巩固习题

一、  选择题

1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列                                                    （   ）

（A）为常数数列        （B）为非零的常数数列      （C）存在且唯一       （D）不存在

2.、在等差数列中，,且,,成等比数列，则的通项公式为                              （   ）

（A）   （B）     （C）或     （D）或

3、已知成等比数列，且分别为与、与的等差中项，则的值为                        （   ）

（A）        （B）        （C）       （D） 不确定

4、互不相等的三个正数成等差数列，是a,b的等比中项，是b,c的等比中项，那么，，三个数（   ）

（A）成等差数列不成等比数列              （B）成等比数列不成等差数列

（C）既成等差数列又成等比数列            （D）既不成等差数列，又不成等比数列

5、已知数列的前项和为,,则此数列的通项公式为                                  （   ）

（A）      （B）    （C）      （D）

6、已知，则                                                                  （   ）

（A）成等差数列   （B）成等比数列   （C）成等差数列   （D）成等比数列

7、数列的前项和，则关于数列的下列说法中，正确的个数有                         （   ）

①一定是等比数列，但不可能是等差数列   ②一定是等差数列，但不可能是等比数列   ③可能是等比数列，也可能是等差数列     ④可能既不是等差数列，又不是等比数列    ⑤可能既是等差数列，又是等比数列

（A）4         （B）3         （C）2        （D）1

8、数列1,前n项和为                                                                  （   ）

（A）    （B）    （C）   （D）

9、若两个等差数列、的前项和分别为 、，且满足，则的值为       （   ）

（A）         （B）         （C）        （D）

10、已知数列的前项和为,则数列的前10项和为                               （   ）

（A）56       （B）58       （C）62        （D）60

11、已知数列的通项公式为, 从中依次取出第3，9，27，…3ⁿ, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为                                                                                     （   ）

（A）      （B）       （C）      （D）

12、下列命题中是真命题的是                                                                                 (     )

A．数列是等差数列的充要条件是()

B．已知一个数列的前项和为,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

C．数列是等比数列的充要条件

D．如果一个数列的前项和,则此数列是等比数列的充要条件是

二、填空题

13、各项都是正数的等比数列，公比,成等差数列，则公比=     

14、已知等差数列，公差,成等比数列，则=      

15、已知数列满足,则=      

16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为     

二、  解答题

17、已知数列是公差不为零的等差数列，数列是公比为的等比数列， ，求公比及。

18、已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且都等于 , ，,,求。

19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。

20、已知为等比数列，，求的通项式。

21、数列的前项和记为

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求

22、已知数列满足

         （I）求数列的通项公式；

         （II）若数列满足，证明：是等差数列；

 

第二篇：等差等比数列基础知识点

一、等差等比数列基础知识点

（一）知识归纳：

1．概念与公式：

①等差数列：1°.定义：若数列称等差数列；

2°.通项公式：

3°.前n项和公式：公式：

②等比数列：1°.定义若数列（常数），则称等比数列；2°.通项公式：3°.前n项和公式：当q=1时

2．简单性质：

①首尾项性质：设数列

1°.若是等差数列，则

2°.若是等比数列，则

②中项及性质：

1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且

2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且

③设p、q、r、s为正整数，且

1°. 若是等差数列，则

2°. 若是等比数列，则

④顺次n项和性质：

1°.若是公差为d的等差数列，组成公差为n²d的等差数列；

2°. 若是公差为q的等比数列，组成公差为qⁿ的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）

⑤若是等比数列，

则顺次n项的乘积：组成公比这的等比数列.

⑥若是公差为d的等差数列,

1°.若n为奇数，则而S奇、S_偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；

2°.若n为偶数，则

（二）学习要点：

1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数a_n=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数S_n=an²+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“S_n=a(1-qⁿ)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.

3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq²(或，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“”④四数成等比数列，可设四数为“”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.

[例1]解答下述问题：

（Ⅰ）已知成等差数列，求证：

（1）成等差数列；

（2）成等比数列.

[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，

（Ⅱ）设数列

（1）求证：是等差数列；

（2）若数列

求证：{}是等比数列.

[解析]（1）

②－①得

1）当

2）

由1）、2）知，

[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明.

[例2]解答下述问题：

（Ⅰ）等差数列的前n项和为

求

[解析]选择公式做比较好，但也可以考虑用性质完成.

[解法一]设

①－②得：

[解法二]不妨设

（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为

，求项数n.

[解析]设公比为

（Ⅲ）等差数列{a_n}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：

求数列

[解析]

[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.

[例3]解答下述问题：

（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.

[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，

设等差数列的三项分别为a－d, a, a+d，则有

（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.

[解析]设此四数为,

解得所求四数为47，57，67，77

[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.

二、等差等比数列复习题

一、            选择题

1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列   （   ）                                                

（A）为常数数列（B）为非零的常数数列（C）存在且唯一  （D）不存在

2.、在等差数列中，,且,,成等比数列，则的通项公式为（   ）                             

（A）  （B） （C）或  （D）或

3、已知成等比数列，且分别为与、与的等差中项，则的值为（   ）                      

（A）        （B）        （C）       （D） 不确定

4、互不相等的三个正数成等差数列，是a,b的等比中项，是b,c的等比中项，那么，，三个数（   ）

（A）成等差数列不成等比数列    （B）成等比数列不成等差数列

（C）既成等差数列又成等比数列  （D）既不成等差数列，又不成等比数列

5、已知数列的前项和为,,则此数列的通项公式为  （   ）                               

（A）      （B）    （C）      （D）

6、已知，则（   ）                                                                 

（A）成等差数列   （B）成等比数列  

（C）成等差数列   （D）成等比数列

7、数列的前项和，则关于数列的下列说法中，正确的个数有（   ）                       

①一定是等比数列，但不可能是等差数列   ②一定是等差数列，但不可能是等比数列   ③可能是等比数列，也可能是等差数列     ④可能既不是等差数列，又不是等比数列    ⑤可能既是等差数列，又是等比数列

（A）4         （B）3         （C）2        （D）1

8、数列1,前n项和为（   ）                                                                 

（A）    （B）    （C）   （D）

9、若两个等差数列、的前项和分别为 、，且满足，则的值为（   ）

（A）         （B）         （C）        （D）

10、已知数列的前项和为,则数列的前10项和为（   ）                             

（A）56       （B）58       （C）62        （D）60

11、已知数列的通项公式为, 从中依次取出第3，9，27，…3ⁿ, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为（   ）                                                                                    

（A）      （B）       （C）      （D）

12、下列命题中是真命题的是(     )                                                                                

A．数列是等差数列的充要条件是()

B．已知一个数列的前项和为,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

C．数列是等比数列的充要条件

D．如果一个数列的前项和,则此数列是等比数列的充要条件是

二、填空题

13、各项都是正数的等比数列，公比,成等差数列，则公比=     

14、已知等差数列，公差,成等比数列，则=      

15、已知数列满足,则=      

16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为     

二、            解答题

17、已知数列是公差不为零的等差数列，数列是公比为的等比数列， ，求公比及。

18、已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且都等于 , ，,,求。

19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。

20、已知为等比数列，，求的通项式。

21、数列的前项和记为

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求

22、已知数列满足

       （I）求数列的通项公式；

       （II）若数列满足，证明：是等差数列；

答案:

第九单元  数列综合题

一、            选择题

二、       填空题

13.      14.     15.     16. 6

三、解答题      

17.a=a₁,a=a₁₀=a₁+9d,a=a₄₆=a₁+45d

由{a_bn}为等比数例，得（a₁+9d）²=a₁(a₁+45d)得a₁=3d,即a_b1=3d,a_b2=12d,a_b3=48d.

∴q=4   又由{a_bn}是{a_n}中的第b_na项，及a_bn=a_b1·4^n-1=3d·4^n-1,a₁+(b_n-1)d=3d·4^n-1 

∴b_n=3·4^n-1-2

18.∴ a₃=3b₃ , a₁+2d=3a₁d²  ,a1(1-3d²)=-2d   ① 

 a₅=5b₅, a₁+4d=5a₁d₄ , ∴a₁(1-5d⁴)=-4d      ②

 ,得=2，∴ d²=1或d²=,由题意，d=,a₁=-。∴a_n=a₁+(n-1)d=(n-6)   b_n=a₁d^n-1=-·()^n-1

19.设这四个数为

则     由①，得a³=216,a=6   ③

③代入②，得3aq=36,q=2   ∴这四个数为3，6，12，18

20.解: 设等比数列{a_n}的公比为q, 则q≠0, a₂= = , a₄=a₃q=2q

所以 + 2q= , 解得q₁= , q₂= 3,

当q₁=, a₁=18.所以 a_n=18×()^n－1= = 2×3^3－n. 

当q=3时, a₁= , 所以a_n=×3n－1=2×3^n－3.

21.解：(I)由可得，两式相减得

又 ∴

   故是首项为，公比为得等比数列

   ∴

（Ⅱ）设的公差为

由得，可得，可得

故可设

又

由题意可得

解得

∵等差数列的各项为正，∴

∴

∴

22（I）：

      

       是以为首项，2为公比的等比数列。

      

       即　

       （II）证法一：

      

       　　　　　　　　　　　　　①

       　　　　　　②

       ②－①，得

       即                 ③

                            ④

　   ④－③，得　

       即　

      

       是等差数列。