高二圆锥曲线知识点总结与例题分析

一、椭圆

1、椭圆概念

平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）

或（）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中的大小，其中；

②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。

例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

2、椭圆的性质

①范围：

由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；

②对称性：

椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③四个顶点： ，，，

线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

3、点与椭圆的关系

点和椭圆（）的关系：

（1）点在椭圆外；

（2）点在椭圆上＝1；

（3）点在椭圆内

二、双曲线

1、双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线。

注意：

①        式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；

②        当时，表示两条射线；

③     当时，不表示任何图形；

④     两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

椭圆和双曲线比较：

注意：

要分清焦点的位置，由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上

2、双曲线的性质

①范围：

从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。

②对称性：

坐标轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③两个顶点：

实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。

⑤        渐近线：，围成的矩形的两条对角线，称为双曲线的渐近线。

双曲线渐近线为。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；

2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直（3）离心率为。

3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在轴，当时焦点在轴上。

三、抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

说明：

（1）焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；

（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。

四、直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：直线与椭圆相交；

 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；

直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切：直线与椭圆相切；

直线与双曲线相切；

直线与抛物线相切；

（3）相离：直线与椭圆相离；

直线与双曲线相离；

直线与抛物线相离。

特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。

五、弦长公式

直线与圆锥曲线相交所得的弦长

直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长

注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算.

当直线斜率不存在是,则.

六、圆锥曲线的中点弦问题：

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；

在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；

在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。

高二圆锥曲线例题分析

例1、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是        ．

解：. ≤

例2、 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为，由，得，

∴，，

，∴，

∴为所求．

例3 设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2），求直线AB方程；

解：方法一：

显然AB斜率存在设AB：y-2=k(x-1) 由得：(2-k²)x²-2k(2-k)x-k²+4k-6=0

当△>0时，设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂） 则∴ k=1，满足△>0

∴ 直线AB：y=x+1

 法二：设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）则两式相减得：(x₁-x₂)(x₁+x₂)=(y₁-y₂)(y₁+y₂)

 ∵ x₁≠x₂∴ ∴  ∴ AB：y=x+1代入得：△>0

评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。

例4. 椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，e=，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，|PQ|=，且OP⊥OQ，求此椭圆的方程.

解:设椭圆方程为+=1,(a>b>0)

⑴PQ⊥x轴时，F(-c,0)，|FP|=，又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，∴|OF|=|FP|,即c=∴ac=a²-c²,∴e²+e-1=0,∴e=与题设e=不符,所以PQ不垂直x轴.

⑵PQ∶y=k(x+c),P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),∵e=,∴a²=c²,b²=c²,

所以椭圆方程可化为:3x²+12y²-4c²=0,将PQ方程代入，

得(3+12k²)x²+24k²cx+12k²c²-4c²=0,∴x₁+x₂=,x₁x₂=

由|PQ|=得·=①

∵OP⊥OQ,∴·= -1即x₁x₂+y₁y₂=0,∴(1+k²)x₁x₂+k²c(x₁+x₂)+c²k²=0②

把，代入，解②得k²=，把代入①解得c²=3

∴a²=4,b²=1，则所求椭圆方程为+y²=1.

例5. 双曲线3x²-y²=1上是否存在关于直线y=2x对称的两点A、B?若存在，试求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.

解：设AB：y=-x+m,代入双曲线方程得11x²+4mx-4(m²+1)=0,

这里△=(4m)²-4×11［-4(m²+1)］=16(2m²+11)＞0恒成立，

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB的中点为M(x₀,y₀),则x₁+x₂=-，∴x₀=-,y₀=-x₀+m=,

若A、B关于直线y=2x对称，则M必在直线y=2x上，

∴=-得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=-x与双曲线的交点的A、B必关于直线y=2x对称.

∴存在A、B且求得A(，-)，B(-，)

例6、求椭圆上的点到直线的距离的最小值．

解：方法一：

方法二：

设椭圆上的点为，

则距离为．

当时，．

例7、设，，，求的最大值和最小值．

分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程与椭圆方程的结构一致．

设，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．

在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，

例8、已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．

求的最大值、最小值及对应的点坐标；  

由，∴，

等号仅当时成立，此时、、共线．建立、的直线方程，

解方程组得两交点   、．

综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，取最大值

例9、设椭圆ax²＋by²＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．

解：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，那么A、B的坐标是方程组的解．

由ax＋by＝1，ax＋by＝1，两式相减，得

a(x₁＋x₂)(x₁－x₂)＋b(y₁＋y₂)(y₁－y₂)＝0，

因为＝－1，

所以＝，

即＝，＝＝，所以b＝a.①

再由方程组消去y得(a＋b)x²－2bx＋b－1＝0，

由|AB|＝＝

＝＝2，

得(x₁＋x₂)²－4x₁x₂＝4，即()²－4·＝4.②

由①②解得a＝，b＝，

故所求的椭圆的方程为＋＝1.

例10、给定抛物线C：y²＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，记O为坐标原点．

(1)求·的值；

(2)设＝λ，当△OAB的面积S∈[2， ]时，求λ的取值范围．

解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F(1,0)，

设直线l的方程为x＝my＋1，

将其与C的方程联立，消去x可得y²－4my－4＝0.

设A，B点的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)(y₁>0>y₂)，

则y₁y₂＝－4.

因为y＝4x₁，y＝4x₂，

所以x₁x₂＝yy＝1，

故·＝x₁x₂＋y₁y₂＝－3.

(2)因为＝λ，

所以(1－x₁，－y₁)＝λ(x₂－1，y₂)，

即

又y＝4x₁，                                    ③

y＝4x₂，                                      ④

由②③④消去y₁，y₂后，得到x₁＝λ²x₂，将其代入①，注意到λ>0，解得x₂＝.从而可得y₂＝－，y₁＝2，

故△OAB的面积S＝|OF|·|y₁－y₂|＝＋，

因＋≥2恒成立，所以只要解＋≤即可，

解之得≤λ≤.

例11、已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|＝8，动点P满足＝，设点P的轨迹为曲线C，定点为M(4,0)，直线PM交曲线C于另外一点Q.

(1)求曲线C的方程；

(2)求△OPQ面积的最大值．

解：(1)设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，

则＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，

∵＝，∴∴a＝x，b＝y.

又|AB|＝＝8，∴＋＝1.

∴曲线C的方程为＋＝1.

(2)由(1)可知，M(4,0)为椭圆＋＝1的右焦点，

设直线PM方程为x＝my＋4，

由消去x得

(9m²＋25)y²＋72my－81＝0，

∴|y_P－y_Q|＝

＝.

∴S_△OPQ＝|OM||y_P－y_Q|＝2×

＝＝＝

≤＝，

当＝，

即m＝±时，△OPQ的面积取得最大值为，此时直线方程为3x±y－12＝0.

 

第二篇：圆锥曲线知识点总结副图示

一．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中的大小，其中；

②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

图示：

韦达定理：                               中点坐标：

点斜式：                                 两点求k：         

别忘了：                                

二．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

椭圆和双曲线比较：

（2）双曲线的性质

①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。

②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。

令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；

2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在轴，当时焦点在轴上。

⑥注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

图示：

韦达定理：                               中点坐标：

点斜式：                                 两点求k：         

别忘了：

三．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.       

说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。

图示：

韦达定理：                               中点坐标：

点斜式：                                 两点求k：         

别忘了：