函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

（1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果y?kx?b（k，b是常数，k?0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数y?kx?b中的b为0时，y?kx（k为常数，k?0）。这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数y?kx?b的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数y?kx的图像是经过原点（0，0）的直线。（如下图）

4. 正比例函数的性质

一般地，正比例函数y?kx有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数y?kx?b有下列性质：

（1）当k>0时，y随x的增大而增大

（2）当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y?kx（k?0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y?kx?b（k?0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

 

第二篇：初二数学下学期重点知识点总结

初二下数学正比例、反比例、一次函数

知识点回顾

分式

正比例、反比例、一次函数

    第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)第三象限(－、－)第四象限(＋，－)；

    x轴上的点的纵坐标等于0，反过来，纵坐标等于0的点都在x轴上，y轴上的点的横坐标等于0，反过来，横坐标等于0的点都在y轴上，

    若点在第一、三象限角平分线上，它的横坐标等于纵坐标，若点在第二，四象限角平分线上，它的横坐标与纵坐标互为相反数；

若两个点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标都是互为相反数。

1、 一次函数，正比例函数的定义

（1）如果y=kx+b(k,b为常数，且k≠0),那么y叫做x的一次函数。

（2）当b＝0时，一次函数y=kx+b即为y=kx(k≠0).这时，y叫做x的正比例函数。

注：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。

2、正比例函数的图象与性质

（1）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过（0，0）（1，k）的一条直线。

（2）当k>0时y随x的增大而增大直线y=kx经过一、三象限从左到右直线上升。

当k<0时y随x的增大而减少直线y＝kx经过二、四象限从左到右直线下降。

3、一次函数的图象与性质

（1）   一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过（0，b）（－，0）的一条直线。

注：（0,b）是直线与y轴交点坐标，（－，0）是直线与x轴交点坐标.

（2）当k>0时y随x的增大而增大直线y=kx+b(k≠0)是上升的

当k<0时y随x的增大而减少直线y＝kx+b(k≠0)是下降的

4、一次函数y=kx+b(k≠0, k  b 为常数)中k 、b的符号对图象的影响

（1）k>0,  b>0直线经过一、二、三象限

（2）k>0,  b<0直线经过一、三、四象限

（3）k<0,  b>0直线经过一、二、四象限    

（4）k<0,  b<0直线经过二、三、四象限

5、对一次函数y=kx+b的系数k, b 的理解。

（1）k(k≠0)相同，b不同时的所有直线平行，即直线:y=kx+b；直线:y=kx+b( k，k均不为零，k，b，k， b为常数)

k=k                                   k=k

           ∥                                与重合

b≠b                                  b=b

（2）k(k≠0)不同，b相同时的所有直线恒过y轴上一定点（0,b），例如：直线y=2x+3, y=-2x+3, y=x+3均交于y轴一点（0，3）

6、直线的平移：所谓平移，就是将一条直线向左、向右（或向上，向下）平行移动，平移得到的直线k不变，直线沿y轴平移多少个单位，可由公式︱b－b︱得到，其中b，b是两直线与y轴交点的纵坐标，直线沿x轴平移多少个单位，可由公式︱x－x︱求得，其中x，x是由两直线与x轴交点的横坐标。

7、直线y=kx+b(k≠0)与方程、不等式的联系

（1）一条直线y=kx+b(k≠0)就是一个关于y的二元一次方程

（2）求两直线:y=kx+b(k≠0)，:y=kx+b(k≠0)的交点，就是解关于x，y的方程组　　y=kx+b   　y=kx+b

(3)若y>0则kx+b>0。若y<0，则kx+b<0

(4)一元一次不等式，y≤kx+b≤y( y，y都是已知数，且y<y)的解集就是直线y=kx+b上满足y≤y≤y那条线段所对应的自变量的取值范围。

（5）一元一次不等式kx+b≤y(或kx+b≥y)( y为已知数)的解集就是直线y=kx+b上满足y≤y(或y≥y)那条射线所对应的自变量的取范围。

8、确定正比例函数与一次函数的解析式应具备的条件

（1）由于比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数k，故只要一个条件（如一对x,y的值或一个点）就可求得k的值。

(2) 一次函数y=kx+b中有两个待定系数k,b，需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程，求得k,b的值，这两个条件通常是两个点，或两对x,y的值。

9、反比例函数   

    (1) 反比例函数及其图象

    如果,那么，y是x的反比例函数。

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象

    （2）反比例函数的性质

    当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y随x的增大而减小；

当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。

(3)由于比例函数中只有一个待定系数k，故只要一个条件（如一对x,y的值或一个点）就可求得k的值。

１、函数中，自变量x的取值范围为                .

2、若函数y= -2x^m+2是正比例函数，则m的值是           .

3、已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k=          。

4、已知点A（3，m）与点B（n，-2）关于y轴对称，则m=         ，n=       .

5、点 P（3，－4）关于X轴对称的点是__________。

6、一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标是         ，与y轴交点坐标是         ,

图象与坐标轴所围成的三角形面积是           .

7、将直线 y＝3x + 4 向下平移6个单位，得到直线________________。

8、点 P（a，a－2）在第三象限，则 a 的取值范围是___          _ .

9、已知-2与成反比例，当=3时，=1，则与间的函数关系式为            ；

10、 设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是___________

11、已知点在第二、四象限夹角的平分线上，且到轴的距离为，则点的坐标为_________________。

12.函数中，自变量x的取值范围是      (      )

A. x < 1    B. x ≤ 1   C. x > 1    D. x ≥1  

13.若点在第二象限，且到轴的距离分别为4，3，则点的坐标为（     ）

A、（4，－3）          B、（3，－4）          C、（－3，4）       D、（－4，3）

14．点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（   ）

A、（－1，2）    B、（－1，－2）  C、（1，－2）    D、（2，－1）

15.一次函数y=－2x+3的图像不经过的象限是（   ）.

A 第一象限  B 第二象限  C 第三象限  D 第四象限

16．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米．小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(米)与登山所用的时间t（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（     ）

A．爸爸登山时，小军已走了50米       

B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面

C．小军比爸爸晚到山顶

D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快

17、如果反比例函数的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（　　　）

A、第一、三象限　 B、第一、二象限 　 C、第二、四象限　 D、第三、四象限

18、若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（　  　）

A、－1或1  　  B、小于 的任意实数     C、－1　　　Ｄ、不能确定

19、正比例函数 - k例函数 在同一坐标系内的图象为（      ）

 

A               B               C           D

20、如右图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直轴于B点，若S_△AOB＝3，则的值为（     ）  A、6   B、3    C、   D、不能确定   

21、已知反比例函数的图象和一次函数的图象都经过点。  ⑴求这个一次函数的解析式；⑵如图，梯形的顶点在这个一次函数的图象上，顶点在已知反比例函数的图象上，两底与轴平行，且点的横坐标分别为2和4，求梯形的面积。

22、如图，矩形的边分别在轴和轴上，且点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，距离轴3个单位，有一直线经过点，且把矩形分成两部分。

⑴若直线又经过轴上一点，且把矩形分成的两部分面积相等，求和的值；

⑵若直线又经过线段上一点，且把矩形分成的两部分的面积比为，求点坐标。

23、如图所示，直线PA是一次函数y=x+n(n>0)的图象，直线PB是一次函数y=-2x+m(m>n)的图象

（1）用m,n表示A，B，P的坐标

（2）若点D是PA与y轴的交点，且四边形PDOB的面积是，AB＝2，试求P点坐标并写出直线PA·PB的解析式

24、已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，A、B两点的坐标分别为A（12，0）、B（0，9）若点N在直线AB上，且S：S＝1：3,求直线ON的解析式。

25.已知反比例函数y=和一次函数y=2x－1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点。（1）求反比例函数的解析式

（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求A点的坐标。

（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

26．如图，直线y＝x＋2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S_△ABP＝9．

　　（1）求点P的坐标；

　　（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.

27．已知在坐标平面内原点为O,锐角⊿OAB的顶点A在x轴的正半轴上，在第一象限sin∠AOB=,tg∠BAO=3,OB=10

(1)若反比例函数的图象经过点B，求反比例函数的解析式

（2）试判断⊿AOB的形状

28、某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD. 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米. 设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB的长为x米，修建健身房的总投入为y元.

（1）求y与x的函数关系式；

（2）为了合理利用大厅，要求自变量x必须满足8≤x≤12. 当投入资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少米？