第一章：有理数

一、

1、正数

2、0 不是正数也不是负数

3、负数

二、有理数（能写成分数形式的数称为有理数）

1、数轴：用直线上的一点表示一个数，这条直线叫做数轴（0为原点）

2、相反数：符号（+、—）不同的两个绝对值相等的数互为相反数。

3、绝对值：

（1）在数轴上的数的点与原点的距离叫这个数的绝对值。

（2）一个正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

（3）正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

三、有理数的加减法。

1、同号两个数相加，取相同符号，并把绝对值相加。

2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把绝对值大的减去较小的绝对值，互 为相反数的两个数相加得0。

3、一个数同0相加，仍得这个数。

4、两数相加，交换加数位置，和不变。（a+b=b+a）

5、三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

[（a+b)+c=a+(b+c)]

6、减去一个数，等于加上这个数的相反数。[a-b=a+(-b)]

四、有理数的乘除法。（两个数相乘同号得正异号得负）

1、

（1）乘积是1的两个数互为相反数。（a×1\a=1）

（2）两个数相乘，交换因数的位置，积相等。（a×b=b×a）

（3）三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等。[（a×b)c=a(b×c)]

（4）一个数同两个数的和相乘，等于把这两个数分别相乘，再把积相加，

[a(b+c)=ab+ac]

（5）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。[a/b=a×1/b]

五、有理数的乘方。

1、求N个相同的数的运算，叫做乘方，结果叫幂。an，a叫做底数，n叫做指数，读a的n次方幂。

2、负数的奇次晕是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂是正数，0的任何正数次幂都是0.

3、运算顺序：

（1）先乘方，再乘除，再加减。

（2）同级运算，从左到右进行。

（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次运算。

六、科学计数法。

1、把一个大于0的数表示成a×10n的形式。（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数）

2、近似数。（从左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字）

第二章 整式的加减

（一）整式

1、单项式。（数字和字母的积）

2、单项式的系数。（单项式的数字就是单项式的系数）

3、单项式的次数。（所有字母的指数的和叫做这个单项式的系数）

4、多项式。（多个单项式的和的形式叫做多项式）

5、常数项。（不含字母的项就是常数项）

6、多项数的次数。（多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数）

（二）整式有加减

1、同类项。（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项）

2、合并同类项。（把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。）

3、合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。

4、如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。

5、如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

第三章 一元一次方程

1、一元一次方程。（只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程）

2、等式的性质。

（1）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

（2）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍为相等。

3、解一元一次方程——合并同类项与移项

（1）合并同类项。

（2）移项。（把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项）

4、解一元一次方程——去括号与去分母

5、实际问题与一元一次方程

第四章 图形认识初步

1、几何图形。（我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形）

2、立体图形。

3、有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面，它们是平面图形。

4、展开图。

5、点、线、面、体（几何体也称体，包围着体的是面。）

6、直线、射线、线段

（1）经过两点有且只有一条直线。

（2）两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。

（3）两点之间线段最短。

7、角

（1）角的度数。（1度=60分。1分=60秒）

（2）角的比较与运算。

（3）把一个角分成两个相同的角的射线，叫做这个角的平分线。

8、余角和补角

（1）如果两个角的和等于90度（直角），就说这两个角互为余角，其一个角是另一个角的余角。

（2）如果两个角的和等于180度（平角），就说这两个角互为补角，其一个角是另一个角的补角。

（3）等角的补角相等，等角的余角相等。

9、课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒。

第五章 相交线与平行线

1、相交线

（1）邻补角。（有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角）

（2）对顶角。（有一个公共点，并且两角的两两边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。 对顶角相等）

2、垂线

（1）两条直线相互垂直，其中一条直线叫做别一条直线的垂线，它们的交点叫做垂点。

（2）过一点，有且只的一条直线与已知直线垂直。

（3）连接直线一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（垂线段最短）

3、同位角、内错角、同旁内角

4、平行线及其判定

（1）平行线

A.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

B如果两条直线都与三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。

（2）平行线的判定

A两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（同位角相等，两直线平行）

B两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（内错角相等，两直线平行）

C两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行）

5、平等线的性质

（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（两直线平行，同位角相等）

（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。（两直线平行，内错角相等）

（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（两直线平行，同旁内角互补）

6、平移

第六章 平面直角坐标系

1、有序数对

2、平面直角坐标系（在平面内画两条相互垂直，原点重合的数轴，组成平面直角坐标系，水平的数轴称为X轴，右方向为正方向，竖直的数轴称为轴Y轴，向上为正方向，两交点为平面坐标系的原点。）

3、坐标方法的简单应用。

（1）用坐标表示地理位置

（2）用坐标表示平移

第七章 与三角形有关的线段

1、三角形的边

（1）三角形。（三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形）

（2）三角形的两边的和大于第三边，两边之差小于第三边。

（3）三角形的高、中线、角平分线

（4）三角形的稳定性

2、与三角形有关的角

（1）三角形三个内角的和等于180度。

（2）三角形的外角（三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角） A三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

B三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

3、多边形及其内角和

（1）由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

（2）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

（3）多边形的内角和[n边形内角和等于(n—2)×180度]

（4）多边形的外角和等于360度。

4、课题学习 镶嵌

第八章 二元一次方程组

1、二元一次方程组

2、消元——二元一次方程组的解法

（1）代入消元法

（2）加减消元法

3、实际问题与二元一次方程组

4、三元一次方程组解法举例（消元法）

第九章 不等式与不等式组

1、不等式及其解集

2、不等式的性质

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

3、实际问题与一元一次不等式

4、一元一次不等式组

第十章 数据的收集、整理与描述

1、统计调查

（1）全面调查

（2）抽样调查

2、直方图

3、从数据谈节水

 

第二篇：初中七年级数学下册知识要点

             初中七年级数学下册知识要点

第一章　相交线与平行线

一、知识网络结构

二、知识要点

1、在同一平面内，两条直线的位置关系有  两  种：相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况。

2、在同一平面内，不相交的两条直线叫 平行线 。如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交；如果两条直线没有公共点，称这两条直线平行。

3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有 一条公共边的两个角是图

邻补角。邻补角的性质： 邻补角互补 。如图1所示，     与     互为邻补角，

     与     互为邻补角。     +     =180°；     +     =180°；     +     =180°；

     +     =180°。

4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线 ，这样的两个角互为 对顶角 。对顶角的性质：对顶角相等。如图1所示，    与    互为对顶角。     =     ；

     =     。

5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是 直角或90°时，称这两条直线互相垂直，

其中一条叫做另一条的垂线。如图2所示，当     = 90°时，      ⊥      。

垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

性质3：如图2所示，当a ⊥  b时，     =       =       =       = 90°

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。

6、同位角、内错角、同旁内角基本特征：

①在两条直线(被截线)的同一方，都在第三条直线(截线)的同一侧，这样

的两个角叫同位角。图3中，共有   对同位角：      与      是同位角；

      与      是同位角；      与      是同位角；      与      是同位角。

②在两条直线(被截线)之间，并且在第三条直线(截线)的两侧，这样的两个角叫内错角。图3中，共有    对内错角：    与    是内错角；    与    是内错角。

③在两条直线(被截线)的之间，都在第三条直线(截线)的同一旁，这样的两个角叫同旁内角。图3中，共有    对同旁内角：     与     是同旁内角；     与     是同旁内角。

7、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。如图4所示，如果a∥b，

则     =     ；     =     ；     =     ；     =     。

性质2：两直线平行，内错角相等。如图4所示，如果a∥b，则     =     ；     =     。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。如图4所示，如果a∥b，则     +     =180°；

     +     =180°。

性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果a∥b，a∥c，则　　　∥　　　。

8、平行线的判定：

判定1：同位角相等，两直线平行。如图5所示，如果     =     　

或     =     　或      =     　或      =     ，则a∥b。

判定2：内错角相等，两直线平行。如图5所示，如果     =     　或      =     ，则a∥b 。

判定3：同旁内角互补，两直线平行。如图5所示，如果     +     =180°；

     +     =180°，则a∥b。

判定4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果a∥b，a∥c，则　　　∥　　　。

9、判断一件事情的语句叫命题。命题由 题设 和 结论 两部分组成，有 真命题 和 假命题 之分。如果题设成立，那么结论一定 成立，这样的命题叫真命题 ；如果题设成立，那么结论 不一定 成立，这样的命题叫假命题。真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。

10、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

平移后，新图形与原图形的 形状 和 大小 完全相同。平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

平移性质：平移前后两个图形中①对应点的连线平行且相等；②对应线段相等；③对应角相等。

第二章　二元一次方程组

一、知识网络结构

二、知识要点

1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。

2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为(为常数，并且)。使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。

3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。

4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。

5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。

6、解三元一次方程组的一般步骤：①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。

　二元一次方程组

1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是一次，两边

都是关于未知数的整式的方程叫二元一次方程。

2、二元一次方程的解：

使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值叫做二元一次方程的解。

注意：一个二元一次方程有无数多个解。

3、二元一次方程组：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是一次，

两边都是关于未知数的整式的方程组叫二元一次方程组。

4、二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程的左右两边的

值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的一个解。

5、解二元一次方程组、三元一次方程组的基本思想是消元；

二元一次方程组的基本解法：代入法和加减法。

6、代入法解二元一次方程组的一般步骤：变形、代入、求解、代入、结论。

（1）把其中一个方程变形，用一个未知数表示另一个未知数；

（2）把表示出的未知数代入另一个方程消去被表示的未知数，得到一

元一次方程；

（3）解所得到的一元一次方程求得一个未知数的值；

（4）把求得的未知数的值代入第（1）步变形得到的式子，求出另一个

未知数的值；

（5）得出结论。

注意：适当应用整体代入会使问题变简单。

7、加减法解二元一次方程组的一般步骤：变形、加减、求解、代入、结论。

（1）在一个方程或两个方程的两边同乘以一个恰当的数，使某个未知

数的系数相等或互为相反数；

（2）把所得的两个方程左右两边分别相加或相减消去一个未知数；（某未

知数的系数相等时相减，某未知数的系数互为相反数时相加；相减时注意符号）；

（3）解所得到的一元一次方程，得一个未知数的值；

（4）把求得的未知数的值代入原方程组其中的一个方程，求另一个未

知数的值；

（5）得出结论。

注意：解二元一次方程组时应先把它化为一般形式。

8、三元一次方程组的解法：从原方程组中选择其中一个方程分别与另

两个方程结合消去同一个未知数转化为二元一次方程组求解。

积累与应用

1、解二元一次方程组时，适当运用整体思想会更简便。

如解方程    和 

2、已知二元一次方程或二元一次方程组的解时，常把它代入原方程或

方程组中。

3、求二元一次方程的特殊解：先用一个未知数表示另一个未知数，再

由一个未知数的值代入求另一个未知数的值。

4、二元一次方程组解的个数问题

对于关于x、y的方程组      ,      当≠时，有唯一解；                 当时，有无数多个解；当=≠时，无解。

5、当方程组中方程的个数少于未知数的个数时，常把多出的未知数看作已知数来求解。

6、已知几个非负数的和等于零，一般根据每个非负数同时等于零列出方程组。已知同类项时，常根据相同字母的指数分别相等列方程或方程组。

          第三章       整式的运算
一. 整式
※1. 单项式
①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。
②单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号,如果一个单项式只是字母的积,并非没有系数.
③一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
※2.多项式
①几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项叫做常数项.一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.
②单项式和多项式都有次数,含有字母的单项式有系数,多项式没有系数.多项式的每一项都是单项式,一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数.多项式中每一项都有它们各自的次数,但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数,一个多项式的次数只有一个,它是所含各项的次数中最高的那一项次数.
※3.整式单项式和多项式统称为整式.

二. 整式的加减
¤1. 整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.
¤2. 括号前面是“－”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都要相乘.
三. 同底数幂的乘法
※同底数幂的乘法法则: (m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；
②指数是1时，不要误以为没有指数；
③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；
④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为 （其中m、n、p均为正数）；
⑤公式还可以逆用： （m、n均为正整数）
四．幂的乘方与积的乘方
※1. 幂的乘方法则： (m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.
※2. .
※3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，
如将（-a）3化成-a3

※4．底数有时形式不同，但可以化成相同。
※5．要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。
※6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 （n为正整数）。
※7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
五. 同底数幂的除法
※1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 (a≠0,m、n都是正数,且m>n).
※2. 在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1,即 ,如 ,(-2.50=1),则00无意义.
③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即 ( a≠0,p是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的; 当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如 ,
④运算要注意运算顺序.
六. 整式的乘法
※1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
※2．单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序。
※3．多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到
七．平方差公式
¤1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，
※即 。
¤其结构特征是：
①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；
②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
八．完全平方公式
¤1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，
¤即 ；
¤口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；
¤2．结构特征：
①公式左边是二项式的完全平方；
②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
¤3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现 这样的错误。
九．整式的除法
¤1．单项式除法单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；
¤2．多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。

         第四章                          因式分解

概述

　　定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

　　意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

　　分解因式与整式乘法互为逆变形。

因式分解的方法

　　因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

　　注意三原则

　　1 分解要彻底

　　2 最后结果只有小括号

　　3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）

基本方法

⑴提公因式法

　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

　　　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

　　          a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

　　注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式

⑵公式法

　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

　　平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；

　　完全平方公式：a²±2ab＋b²＝(a±b) ²；

　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

　　立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)；

　　立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)；

　　完全立方公式：a³±3a²b＋3ab²±b³=(a±b) ³．

　　公式：a³+b³+c³ =(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

　　例如：a² +4ab+4b² =(a+2b) ²。

　　（3）分解因式技巧

　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

　　2.分解因式技巧掌握：

　　①等式左边必须是多项式；

　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

　　注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

　　3.提公因式法基本步骤：

　　（1）找出公因式；

　　（2）提公因式并确定另一个因式：

　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

第五章  分式知识点和典型例习题

【知识网络】

【思想方法】

　　1．转化思想

　　转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．

　　2．建模思想

　　本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．

　　3．类比法

　　本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．

第一讲 分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则

3.分式的化简求值(通分与约分)

4.幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则:

2.异分母加减法则:;

3.分式的乘法与除法:,

4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5.同底数幂的乘法与除法;a^m●  aⁿ =a^m+n; a^m÷ aⁿ =a^m－n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)^m= a^m bⁿ , (a^m)ⁿ= a^mn

7.负指数幂: a^-p=    a⁰=1

8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)= a²- b² ;(a±b)²= a²±2ab+b²

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

【例1】下列代数式中：，是分式的有：               .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当有何值时，下列分式有意义

（1）    （2）  （3）   （4）  （5）

题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当取何值时，下列分式的值为0.

（1）           （2）         （3）

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当为何值时，分式为正；

（2）当为何值时，分式为负；

（3）当为何值时，分式为非负数.

练习：

1．当取何值时，下列分式有意义：

（1）             （2）          （3）

2．当为何值时，下列分式的值为零：

（1）            （2）

3．解下列不等式

（1）           （2）

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：

2．分式的变号法则：

题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）            （2）

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）        （2）        （3）

题型三：化简求值题

【例3】已知：，求的值.

提示：整体代入，①，②转化出.

【例4】已知：，求的值.

【例5】若，求的值.

练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）        （2）

2．已知：，求的值.

3．已知：，求的值.

4．若，求的值.

5．如果，试化简.

（三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分.

（1）；               （2）；

（3）

题型二：约分

【例2】约分：

（1）；（3）；（3）.

题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

（1）；                        （2）；

（3）；                        （4）；

（5）；    

（6）；

（7）

题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值

（1）已知：，求分子的值；

（2）已知：，求的值；

（3）已知：，试求的值.

题型五：求待定字母的值

【例5】若，试求的值.

练习：

1．计算

（1）；                  （2）；

（3）；           （4）；

（5）；                  （6）；

（7）.

2．先化简后求值

（1），其中满足.

（2）已知，求的值.

3．已知：，试求、的值.

4．当为何整数时，代数式的值是整数，并求出这个整数值.

（四）、整数指数幂与科学记数法

题型一：运用整数指数幂计算

【例1】计算：（1）                （2）

（3）                                 （4）

题型二：化简求值题

【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值.

题型三：科学记数法的计算

【例3】计算：（1）；（2）.

练习：

1．计算：（1）

（2）

（3）

（4）

2．已知，求（1），（2）的值.

第二讲 分式方程

【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;

2.分式方程产生增根的原因

3.分式方程的应用题 

【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;

          2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.

          3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.

（一）分式方程题型分析

题型一：用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程

（1）；（2）；（3）；（4）

提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.

题型二：特殊方法解分式方程

【例2】解下列方程

（1）；      （2）

提示：（1）换元法，设；（2）裂项法，.

【例3】解下列方程组

题型三：求待定字母的值

【例4】若关于的分式方程有增根，求的值.

【例5】若分式方程的解是正数，求的取值范围.

提示：且，且.

题型四：解含有字母系数的方程

【例6】解关于的方程

提示：（1）是已知数；（2）.

题型五：列分式方程解应用题

练习：

1．解下列方程：

（1）；            （2）；

（3）；             （4）

（5）            （6）

（7）

2．解关于的方程：

（1）；（2）.

3．如果解关于的方程会产生增根，求的值.

4．当为何值时，关于的方程的解为非负数.

5．已知关于的分式方程无解，试求的值.

（二）分式方程的特殊解法

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：

一、交叉相乘法

例1．解方程：

二、化归法

例2．解方程：

三、左边通分法

例3：解方程：

四、分子对等法

例4．解方程：

五、观察比较法

例5．解方程：