高一数学知识点期末大总结(人教版)
直线关系
1、直线的倾斜角和斜率:
(1)设直线的倾斜角为,斜率为,则.
当时,斜率不存在.
(2)当时,;当时,.
(3)过,的直线斜率.
2、两直线的位置关系:
两条直线斜率都存在,则:
(1);
(2);
(3).
3、直线方程的形式:
(1)点斜式:(定点,斜率存在)
(2)斜截式:(斜率存在,在轴上的截距)
(3)两点式:(两点)
(4)截距式:(在轴上的截距,在轴上的截距)
(5)一般式:
4、直线的交点坐标:
设,则联立方程组
(1)当方程组有惟一解时,两条直线相交,此解是交点的坐标;
(2)当方程组无解时,两条直线平行;
(3)当方程组有无数组解时,两条直线重合.
设,则:
(1)与相交;
(2);
(3)与重合.
5、两点,间的距离公式
原点与任一点的距离
6、点到直线的距离
(1)点到直线的距离
(2)点到直线的距离
(3)点到直线的距离
7、两条平行直线与间的距离
8、过直线与交点的直线方程为
9、与直线平行的直线方程为
与直线垂直的直线方程为
10、中心对称与轴对称:
(1)中心对称:设点关于点对称,则
(2)轴对称:设关于直线对称,则:
a、时,有且;
b、时,有且
c、时,有
11、圆的标准方程:(圆心,半径长为)
圆心,半径长为的圆的方程
12、点与圆的位置关系:
设圆的标准方程,点,则:
(1)当点在圆上时,;
(2)当点在圆外时,;
(3)当点在圆内时,.
13、圆的一般方程:
(1)当时,表示以为圆心,为半径的圆;
(2)当时,表示一个点;
(3)当时,不表示任何图形.
14、直线与圆的位置关系:
设直线与圆,圆心到直线的距离,方程组,为方程组消去一元后得到的方程的判别式,则:
(1)相交方程组有两组实数解;
(2)相切方程组有一组实数解;
(3)相离方程组无实数解.
15、圆与圆的位置关系:
设圆的半径为,圆的半径为,则:
(1)与相离;
(2)与相切;
(3)与相交;
(4)与内切;
(5)与内含.
16、过两圆与交点的圆的方程
当时,即两圆公共弦所在的直线方程.
17、点关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标:
(1)关于平面的对称点坐标为;
(2)关于平面的对称点坐标为;
(3)关于平面的对称点坐标为;
(4)关于轴的对称点坐标为;
(5)关于轴的对称点坐标为;
(6)关于轴的对称点坐标为;
(7)关于原点的对称点坐标为;
18点间的距离
点间的距离
空间几何知识点
1、圆柱是由矩形旋转得到,圆锥是由直角三角形旋转得到,圆台是由直角梯形旋转得到,球是由半圆旋转得到.
2、中心投影的投影线相交于一点,平行投影的投影线互相平行.
3、圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是圆;圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆和圆心;圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆;球的三视图都是圆.
4、空间几何体的表面积:
(1)直棱柱的侧面展开图是矩形;设棱柱的高为,底面多边形的周长为,则直棱柱的侧面积;
(2)正棱锥的侧面展开图是全等的等腰三角形;设正棱锥底面正多边形的边长为,底面周长为,斜高为,则正棱锥的侧面积;
(3)正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形;设正棱台的上底面、下底面边长分别为、,对应的周长分别为、,斜高为,则正棱台的侧面积;
(4)圆柱的侧面展开图是矩形;设圆柱的底面半径为,母线长为,则圆柱的底面面积为,侧面积为,圆柱的表面积;
(5)圆锥的侧面展开图是扇形;设圆锥的底面半径为,母线长为,则圆锥的侧面积为,表面积;
(6)圆台的侧面展开图是扇环;设圆台的两底面半径分别为、,母线长为,则圆台的侧面积为,表面积;
(7)设球的半径为,则球的表面积.
5、空间几何体的体积:
(1)设柱体(棱柱、圆柱)的底面积为,高为,则柱体的体积;
(2)设锥体(棱锥、圆锥)的底面积为,高为,则锥体的体积;
(3)设台体(棱台、圆台)的上、下底面积分别为、,高为,则台体的体积;
(4)设圆柱的底面半径为,高为,则圆柱的体积;
(5)设圆锥的底面半径为,高为,则圆锥的体积;
(6)设圆台的上、下底面半径分别为、,高为,则圆台的体积;
(7)设球的半径为,则球的体积.
6、平面的特征:平的,无厚度,可以无限延展.
7、平面的基本性质:
公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
数学符号表示:
公理2、过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
数学符号表示:
公理3、如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
数学符号表示:
公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.
数学符号表示:
推论1、经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面.
推论2、经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3、经过两条平行直线,有且只有一个平面.
8、等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
9、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
数学符号表示:
直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
数学符号表示:
10、平面与平面平行的判定定理:(1)一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
数学符号表示:
(2)垂直于同一条直线的两个平面平行.
数学符号表示:
(3)平行于同一个平面的两个平面平行.
数学符号表示:
平面与平面平行的性质定理:(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面.
数学符号表示:
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
数学符号表示:
11、直线与平面垂直的判定定理:(1)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
数学符号表示:
(2)如果两条平行直线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.
数学符号表示:
(3)如果一条直线垂直于两个平行平面中一个,那么该直线也垂直于另一个平面.
数学符号表示:
直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.
数学符号表示:
12、两个平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
数学符号表示:
平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
数学符号表示:
13、三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
数学符号表示:
三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它与这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.
数学符号表示:
14、求异面直线所成的角()的步骤:
(1)选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线.
(2)将这个角放入某一个三角形中.
(3)在这个三角形中,计算这个角的大小,若该三角形为直角三角形,等腰三角形等特殊三角形,便易求此角大小.
15、求直线与平面所成的角()的步骤:
(1)在斜线上找适当的点,过该点作平面的垂线,连结垂足和斜足,则斜线与射影的夹角就是直线与平面所成的角.
(2)将这个角放入某一个三角形中.
(3)在这个三角形中,计算这个角的大小,若该三角形为直角三角形,等腰三角形等特殊三角形,便易求此角大小.
16、求二面角的平面角()的步骤:
(1)在二面角的棱上找适当的点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角,即为二面角的平面角.
(2)将这个角放入某一个三角形中.
(3)在这个三角形中,计算这个角的大小,若该三角形为直角三角形,等腰三角形等特殊三角形,便易求此角大小.
数学必修一知识系统汇总
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ ? } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法:列举法与描述法。
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
1) 列举法:{a,b,c??}
2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
2(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同
一集合。
?B反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?
?A 或B?
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
2实例:设 A={x|x-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A;
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作A
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
nn-1? 有n个元素的集合,含有2个子集,2个真子集
三、集合的运算
第 1 页 共 8 页 B(或BA)
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法(3)代换法 3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .
(2) 画法A、描点法 B、图象变换法
常用变换方法有三种: 平移变换 伸缩变换 对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)?B(象)”
对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并
集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1 任取x,x∈D,且x<x; ○1212
2 作差f(x)-f(x); ○
3 变形(通常是因式分解和配方); ○
4 定号(即判断差f(x)-f(x)的正负); ○
5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). ○1212
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○
2确定f(-x)与f(x)的关系; ○
3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;○
若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○
2 利用图象求函数的最大(小)值 ○
3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果x?a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
? 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作0?0。
当n是奇数时,
nan?a,当n是偶数时,?a(a?0)an?|a|??
??a(a?0)
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
a?am(a?0,m,n?N*,n?1)
a?m
nmn,?1
am
n?1am(a?0,m,n?N*,n?1)
? 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
rrr?saa?a(1)·
rsrs(a)?a(2)
rrs(ab)?aa (3)(a?0,r,s?R); (a?0,r,s?R);
x(a?0,r,s?R). (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数y?a(a?0,且a?1)叫做指
数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,f(x)?a(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)];
(2)若x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R;
(3)对于指数函数f(x)?a(a?0且a?1),总有f(1)?a;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果a?N(a?0,a?1),那么数x叫做以.a为底..N的对数,记作:x?logaN(a— 底数,N— 真数,logaN— 对数式) 说明:○1 注意底数的限制a?0,且a?1;
x2 a?N?logaN?x; ○
3 注意对数的书写格式. ○xxx两个重要对数:
1 常用对数:以10为底的对数lgN; ○
2 自然对数:以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN. ○
? 指数式与对数式的互化
幂值 真数
(二)对数的运算性质
如果a?0,且a?1,M?0,N?0,那么:
1 loga(M·N)?logaM+logaN; ○
M?logaM-logaN; N
n3 logaM?nlogaM (n?R). ○2 loga○
注意:换底公式
logab?
logcb
(a?0,且a?1;c?0,且c?1;b?0).
logca
1n
(2)logab?. logab;
logbam
利用换底公式推导下面的结论 (1)logambn?
(三)对数函数
1、对数函数的概念:函数y?logax(a?0,且a?1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:y?2log2x,y?log5x 都不是对数函数,而只能
5
称其为对数型函数.
2 对数函数对底数的限制:(a?0,且a?1).
○
(四)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如y?x(a?R)的函数称为幂函数,其中?为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)??0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,??)上是增函数.特别地,当??1时,幂函数的图象下凸;当0???1时,幂函数的图象上凸;
(3)??0时,幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于??时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
?
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数y?f(x)(x?D),把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。
2、函数零点的意义:函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根,亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即:方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点函数?y?f(x)有零点.
3、函数零点的求法:
1 (代数法)求方程f(x)?0的实数根; ○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数○
y?f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数y?ax?bx?c(a?0).
(1)△>0,方程ax?bx?c?0有两不等实根,二次函数的图象与轴x有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程ax?bx?c?0有两相等实根,二次函数的图象与轴x有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程ax?bx?c?0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点.
2222
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