直线和圆知识点总结

1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围。如（1）直线的倾斜角的范围是____（答：）；（2）过点的直线的倾斜角的范围值的范围是______（答：）

2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；（3）直线的方向向量，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： 。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为______（答：）

3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。（2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。（3）两点式：已知直线经过、两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为=(－1,)的直线的点斜式方程是___________（答：）；（2）直线，不管怎样变化恒过点______（答：）；（3）若曲线与有两个公共点，则的取值范围是_______（答：）

提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点。如过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）

4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距，常设其方程为；（2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；（4）与直线平行的直线可表示为；（5）与直线垂直的直线可表示为.

提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：

（1）点到直线的距离；

（2）两平行线间的距离为。

6、直线与直线的位置关系：

（1）平行（斜率）且（在轴上截距）；

（2）相交；

（3）重合且。

提醒：（1）、、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线与直线垂直。如（1）设直线和，当＝_______时∥；当＝________时；当_________时与相交；当＝_________时与重合（答：－1；；；3）；（2）已知直线的方程为，则与平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（答：）；（3）两条直线与相交于第一象限，则实数的取值范围是____（答：）；（4）设分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线与的位置关系是____（答：垂直）；（5）已知点是直线上一点，是直线外一点，则方程＝0所表示的直线与的关系是____（答：平行）；（6）直线过点（１，０），且被两平行直线和所截得的线段长为9，则直线的方程是________（答：）

7、到角和夹角公式：（1）到的角是指直线绕着交点按逆时针方向转到和直线重合所转的角，且tan=()；（2）与的夹角是指不大于直角的角且tan=︱︱()。提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点M是直线与轴的交点，把直线绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______（答：）

8、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如（1）已知点与点关于轴对称，点P与点N关于轴对称，点Q与点P关于直线对称，则点Q的坐标为_______（答：）；（2）已知直线与的夹角平分线为，若的方程为，那么的方程是___________（答：）；（3）点Ａ（４，５）关于直线的对称点为Ｂ(－2,7)，则的方程是_________（答：）；（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（答：）；（5）已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程（答：）；（6）直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（答：（5,6））；（7）已知轴，，C（2，1），周长的最小值为______（答：）。提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。

9、简单的线性规划：

（1）二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成或的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线，有等号时用实线表示包含直线；③设点，，若与同号，则P，Q在直线的同侧，异号则在直线的异侧。如已知点A（—2，4），B（4，2），且直线与线段AB恒相交，则的取值范围是__________（答：）

（2）线性规划问题中的有关概念：

①满足关于的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。

②关于变量的解析式叫目标函数，关于变量一次式的目标函数叫线性目标函数；

③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；

④满足线性约束条件的解（）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；

⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；

（3）求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如（1）线性目标函数z=2x－y在线性约束条件下，取最小值的最优解是____（答：（－1，1））；（2）点（－２，）在直线2x－3y+6=0的上方，则的取值范围是_________（答：）；（3）不等式表示的平面区域的面积是_________（答：8）；（4）如果实数满足，则的最大值_________（答：21）

（4）在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范。

10、圆的方程：

⑴圆的标准方程：。

⑵圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆（二元二次方程表示圆的充要条件是什么？ （且且））；

⑶圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：；

。

⑷为直径端点的圆方程

如（1）圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为____________（答：）；（2）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：或）；（3）已知是圆（为参数，上的点，则圆的普通方程为________，P点对应的值为_______，过P点的圆的切线方程是___________（答：；；）；（4）如果直线将圆：x²+y²-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是____（答：[0，2]）；（5）方程x²+y^２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：）；（6）若（为参数，，，若，则b的取值范围是_________（答：）

11、点与圆的位置关系：已知点及圆，（1）点M在圆C外；（2）点M在圆C内

；（3）点M在圆C上

。如点P(5a+1,12a)在圆(x－１)^２＋y²=1的内部,则a的取值范围是______（答：）

12、直线与圆的位置关系：直线和圆

有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如（1）圆与直线，的位置关系为____（答：相离）；（2）若直线与圆切于点，则的值____（答：2）；（3）直线被曲线所截得的弦长等于    （答：）；（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)²+(y-3)²=1上的最短路程是    （答：4）；（5）已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则A．，且与圆相交 　 B．，且与圆相交　　C．，且与圆相离    D．，且与圆相离（答：C）；（6）已知圆C：，直线L：。①求证：对，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：②或　　③最长：，最短：）

13、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为，半径分别为，则（1）当时，两圆外离；（2）当时，两圆外切；（3）当时，两圆相交；（4）当时，两圆内切；（5）当时，两圆内含。如双曲线的左焦点为F₁，顶点为A₁、A₂，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF₁、A₁A₂为直径的两圆位置关系为    （答：内切）

14、圆的切线与弦长：

(1)切线：①过圆上一点圆的切线方程是：，过圆上一点圆的切线方程是：，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）；如设A为圆上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________（答：）；

（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：（垂径定理）常用弦心距，半弦长及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。

15.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!

 

第二篇：高中数学直线与圆的方程知识点总结

  高中数学之直线与圆的方程

一、概念理解：

1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向；

           ②平行：α=0°；

           ③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tanα  （α≠90°）；

         ②垂直：斜率k不存在；

         ③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：

         ①构造直角三角形（数形结合）；

         ②斜率k值于两点先后顺序无关；

         ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：

         ①相交：斜率（前提是斜率都存在）

                 特例----垂直时：<1> ；

                                  <2> 斜率都存在时： 。

        ②平行：<1> 斜率都存在时：；

                <2> 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。

        ③重合： 斜率都存在时：；

二、方程与公式：

1、直线的五个方程：

    ①点斜式：     将已知点直接带入即可；

    ②斜截式：            将已知截距直接带入即可；

    ③两点式： 将已知两点直接带入即可；

     ④截距式：             将已知截距坐标直接带入即可；

     ⑤一般式： ，其中A、B不同时为0

       用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

3、距离公式：

 ①两点间距离：        

 ②点到直线距离：        

  ③平行直线间距离：        

4、中点、三分点坐标公式：已知两点

       ①AB中点：       

       ②AB三分点： 靠近A的三分点坐标

                                  靠近B的三分点坐标

中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。

5.直线的对称性问题

  已知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x₀，y₀）,对称后的点坐标为P’（x，y），则pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp’的中点坐标在已知直线上。

三、解题指导与易错辨析：

1、解析法（坐标法）：

       ①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；

       ②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；

       ③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。

2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：

       ①的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：

       ②的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；

       ③的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。

3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1  =>  y=(a-1)(x+2)+3

令：x+2=0  =>  必过点(-2,3)

               ②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0  =>  m(3x+y)+n(2y-x-1)=0

                  令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解  =>  必过点(-1/7,3/7)

4、易错辨析：

       ① 讨论斜率的存在性：

          解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意；

                                              <2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。

       ② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；

         （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）

       ③ 直线到两定点距离相等，有两种情况：

          <1> 直线与两定点所在直线平行；

          <2> 直线过两定点的中点。

圆的方程

1.  定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.

2.  圆的方程表示方法：

第一种：圆的一般方程——   其中圆心，半径.

当时，方程表示一个圆，

当时，方程表示一个点.

当时，方程无图形.

第二种：圆的标准方程——.其中点为圆心，为半径的圆

第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：（为参数）

注：圆的直径方程：已知

3. 点和圆的位置关系：给定点及圆.

①在圆内

②在圆上

③在圆外

4. 直线和圆的位置关系：

 设圆圆：；    直线：；

 圆心到直线的距离.

①时，与相切；

②时，与相交；，

③时，与相离.

5、圆的切线方程：

 ①一般方程若点(x₀ ,y₀)在圆上，则(x – a)(x₀ – a)+(y – b)(y₀ – b)=R². 特别地，过圆上一点的切线方程为.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)

②若点(x₀ ,y₀)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X轴的直线。）

6.圆系方程：

过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C₁:x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0  C₂:x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0则过两圆的交点圆方程可设为：x²+y²+D₁x+E₁y+F₁+λ（x²+y²+D₂x+E₂y+F₂）=0

过两圆的交点的直线方程：x²+y²+D₁x+E₁y+F₁- x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）

7.与圆有关的计算：

弦长的计算：AB=2*√R²-d² 其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离

AB=（√1+k²）*∣X₁-X₂∣  其中k是直线的斜率，X₁与X₂是直线与圆的方程联

立之后得到的两个根

过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线

圆内的最长弦是直径

8.圆的一些最值问题

①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径

②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径

③假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。

④假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y，在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。

9.圆的对称问题

①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆

的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。

②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆

心坐标