圆的知识点总结

圆的知识点总结

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（一）圆的有关性质

［知识归纳］

1. 圆的对称性

   圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

2. 圆的确定

  不在同一条直线上的三点确定一个圆。

3. 垂直于弦的直径

      垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；

      推论1 

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

     （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

     （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

     垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

      定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。

      推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

    此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。

      圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

5. 圆周角

   定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

   推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；

   推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

   推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

   圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

6 圆内接四边形的性质

         圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

（二）直线与圆的关系

  1. 直线与圆的位置关系

2. 切线的判定

   经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3. 切线的性质

   （1）圆的切线垂直于经过切点的半径；

   （2）推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；

   （3）推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

4. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；

5. 和圆有关的比例线段

 （1）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；

（2）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

 （3）推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

6. 三角形的内切圆

与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心， 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点

7. 三角形的外接圆

与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。 三角形有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点。 三角形外接圆圆心叫外心。锐角三角形外心在三角形内部 ，直角三角形外心在三角形斜边中点上，钝角三角形外心在三角形外

（三）圆和圆的位置关系

       1. 圆和圆的位置关系

  3. 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

  4. 与圆有关的计算

   

（1）圆的周长；   （2）弧长；

   （3）圆的面积；      （4）扇形面积；

   （5）弓形面积（如图16）

5. 与圆有关的作图

 （1）过不在同一条直线上的三点作圆；

 （2）作三角形的内切圆；

 （3）等分圆周（三、六、十二、四、八、五等分），作正三角形、正四边形、正六边形。

6. 圆柱和圆锥的侧面展开图

 （1）圆柱的侧面积：（r：底面半径，h：圆柱高）

 （2）圆锥的侧面积：（L＝2πR，R是圆锥母线长，r是底面半径）。

   （n为侧面展开图扇形的圆心角的度数，R为母线长）。

 

第二篇：第四章 圆与方程知识点总结及习题(答案)

第四章 圆与方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的

半径。

2

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

（1222 点M(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系：

当(x0?a)?(y0?b)>r2，点在圆外

当(x0?a)?(y0?b)=r2，点在圆上

2当(x0?a)

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

?(y0?b)<r，点在圆内 222222

（21DE?，半径为当D?E?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为?r?D2?E2?4F ??,???22?2

?E2?4F?0时，表示一个点；

22当D?E?4F?0时，方程不表示任何图形。 当D

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，圆心C?a,b?到l的距离

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

则有d?r?l与C相离

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

；d?r?l与C相切；d?r?l与C相交

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

：①k不存在，验证是否成立②kk，得到方程【一定两解】

圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

22设圆C1:?x?a1?2??y?b1?2?r2，C2:?x?a2???y?b2??R2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 2

当

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

d?R?

当

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

d?R?

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

圆的方程

基础自测

1.方程x+y+ax+2ay+2a+a-1=0表示圆，则a的取值范围是 （ ） A.a＜-2或a＞C.-2＜a＜0 答案D

2.（2009·河南新郑模拟）圆x+y+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、b∈R）对称，则ab的取值范围

是

（ ）

2

2

2

2

2

2 3

B.-

2

＜a＜0 3

2 3

D.-2＜a＜

1??

A.????

4??答案A

?1?

B.?0? ?4?

?1?

C.??,0? ?4?

1??

D.???,?

4??

（ ）

3.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 A.（x-3）+(y+1)=4 C.（x-1）+(y-1)=4 答案C

4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 A.(x-2)+(y+1)=3 C.(x-2)+(y+1)=9 答案C

2

2

2

2

2

2

2

2

B.(x+3)+(y-1)=4 D.(x+1)+(y+1)=4

222

2

22

2

（ ）

B.(x+2)+(y-1)=3

D.(x+2)+(y-1)=9

2

2

2

2

5.（2009·宜昌模拟）直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆（x+a）+(y+b)=r (r＞0)的圆心位于（ ）A.第一象限 C.第三象限

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

答案B

 B.第二象限

D.第四象限

例1 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（ ）A.x+y-2x-3=0 C.x+y+2x-3=0 答案D

2

22

2

2

2

B.x+y+4x=0

2

2

 D.x+y-4x=0

例2 已知圆x+y+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.

解 方法一 将x=3-2y,

代入方程x+y+x-6y+m=0,得5y-20y+12+m=0.

设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2=

∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.

∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.

5?1?∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为??，3?,半径r=. 2?2?2222212?m. 5

方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，

∵O1M⊥PQ，∴kO1M1???2.∴O1M的方程为:y-3=2?x??, 2??

?y?2x?4即：y=2x+4.由方程组?. x?2y?3?0?

解得M的坐标为（-1，2）.

则以PQ为直径的圆可设为（x+1）+（y-2）=r.

∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.

∴（0+1）+（0-2）=r，即r=5,MQ=r.

在Rt△O1MQ中，O1Q=O1M+MQ. 222222222222

1?(?6)2?4m?1?2∴???1??(3-2)+5= 4?2?

∴m=3.∴半径为5?1?,圆心为??,3?. 2?2?2

方法三 设过P、Q的圆系方程为

x+y+x-6y+m+?(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.

∴m-3?=0，即m=3?.

∴圆的方程可化为x+y+x-6y+3?+?x+2?y-3?=0即x+(1+?)x+y+2(?-3)y=0. 222222

?1??2(3??)?∴圆心M???，又圆在PQ上. 22??

∴-1??5?1?+2（3-?）-3=0，∴?=1，∴m=3.∴圆心为??,3?，半径为. 22?2?

22例3 （12分）已知实数x、y满足方程x+y-4x+1=0.

（1）求y-x的最大值和最小值；

（2）求x+y的最大值和最小值.

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

22

解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时2?0?b

2?3,，解得b=-2±6. 5分

所以y-x的最大值为-2+6，最小值为-2-6.

22 6分 （2）x+y表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.

又圆心到原点的距离为2?0）2?（0?0）2=2，

所以x2+y2的最大值是（2+3）2=7+4，

x2+y2的最小值是（2-3）2=7-43.

圆与直线方程

例1 已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈R）. 

（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；

（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；

（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.

（1）证明 配方得：（x-3m）2+［y-（m-1）］2=25，

设圆心为（x，y），则??x?3m,消去

?y?m?1m得

l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.

（2）解 设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为

d=m?3(m?1)?b3?b

?.

∵圆的半径为r=5，

∴当d＜r，即-5-3＜b＜5-3时，直线与圆相交；

当d=r,即b=±5-3时，直线与圆相切； 8分 12分

当d＞r，即b＜-5-3或b＞5-3时，直线与圆相离.

（3）证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=3?b

（4）弦长=2r2?d2且r和d均为常量.

∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.

例2 从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x+y-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.

解 方法一 如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=

反射光线的斜率k反=

2222?3,根据光的反射定律， b?333.∴反射光线所在直线的方程为y=(x-b),即3x-(b+3)y-3b=0. b?3b?3∵已知圆x+y-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2），半径为1, ∴6?（b?3）?2?3b

9?(b?3)2=1,解得b1=-3,b2=1. 4

∴kAB=-34或kAB=-.∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. 43

2222方法二 已知圆C：x+y-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)+(y+2)=1，其圆心C1的坐标为（2，

-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切.

设l的方程为y-3=k(x+3),则

∴k1=-5k?5?k22=1,即12k+25k+12=0. 234，k2=-.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. 43

方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切. ??3?3kb??kk5k?534?2,消去b得∴?=1.即12k+25k+12=0,∴k1=-,k2=-. 2k?2?b43?k2??12???k

则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

例3 已知圆C1：x+y-2mx+4y+m-5=0,圆C2：x+y+2x-2my+m-3=0,m为何值时，

（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含？

解 对于圆C1与圆C2的方程，经配方后

C1:(x-m)+(y+2)=9; C2:(x+1)+(y-m)=4.

(1)如果C1与C2外切，则有m?1）2?(m?2)2=3+2.

(m+1)+(m+2)=25.m+3m-10=0,解得m=-5或m=2.

（2）如果C1与C2内含，则有m?1）2?(m?2)2＜3-2.

(m+1)+(m+2)＜1,m+3m+2＜0,得-2＜m＜-1,

∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切；

当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.

例4（12分）已知点P（0，5）及圆C：x+y+4x-12y+24=0.

（1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；

（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.

22解 （1）方法一 如图所示，AB=4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=23，圆x+y+4x-12y+24=0可222222222222222222

化为（x+2）+（y-6）=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4，

在Rt△ACD中，可得CD=2. 2分

设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

, 22

即kx-y+5=0.

由点C到直线AB的距离公式：

?2k?6?5k2?(?1)2

=2，得k=

3. 4

此时直线l的方程为3x-4y+20=0.

4分 6分

又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0. 则y2

-12y+24=0,∴y1=6+23,y2=6-2, ∴y2-y1=43,故x=0满足题意. ∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.

方法二 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,即y=kx+5, 联立直线与圆的方程??y?kx?5

?

x2?y2

?4x?12y?24?0, 消去y得（1+k2）x2

+(4-2k)x-11=0

①?

x2k?41?x2?设方程①的两根为x,由根与系数的关系得??1,x2?1?k2

???

x1x2??

111?k2由弦长公式得?k2|x1-x2|=1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?43, 将②式代入，解得k=

3

4

，此时直线的方程为3x-4y+20=0. 又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0. ∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.

（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）,则CD⊥PD，即·=0， （x+2,y-6）·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2

+y2

+2x-11y+30=0.

3.求过点P（4，-1）且与圆C：x2

+y2

+2x-6y+5=0切于点M（1，2）的圆的方程.

解 方法一 设所求圆的圆心为A（m,n)，半径为r, 则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r，

因为圆C：x2

+y2

+2x-6y+5=0的圆心为C（-1，3），

8分2分

② 4分 8分

?n?22?3??则?m?11?1,

?(m?1)2?(n?2)2?(m?4)2?(n?1)2?r?

解得m=3,n=1,r=5,

所以所求圆的方程为(x-3)+(y-1)=5.

方法二 因为圆C：x+y+2x-6y+5=0过点M（1，2）的切线方程为2x-y=0,

所以设所求圆A的方程为

x+y+2x-6y+5+?(2x-y)=0,

因为点P（4，-1）在圆上，所以代入圆A的方程，

解得?=-4,

所以所求圆的方程为x+y-6x-2y+5=0.

4.（2008·全国Ⅰ文，10）若直线

A.a+b≤1

答案D

5.能够使得圆x+y-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 （ ） A.2  B.  C.3 D.35 222222222222xy22?=1与圆x+y=1有公共点，则 ab22 D. ( ) B.a+b≥1 C.11≤1 ?a2b211≥1 ?a2b2答案C

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