新人教版九年级上二次函数知识点总结

知识点一：二次函数的定义

1．二次函数的定义：

一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．

其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点

2. 二次函数的图象与性质

（1）二次函数基本形式的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小

（2）的图象与性质：上加下减

（3）的图象与性质：左加右减

（4）二次函数的图象与性质

3. 二次函数的图像与性质

  （1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．

 （2）当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

4. 二次函数常见方法指导

（1）二次函数图象的画法

①画精确图  五点绘图法（列表-描点-连线）

利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.

②画草图   抓住以下几点：开口方向，对称轴，与轴的交点，顶点.

（2）二次函数图象的平移

平移步骤：

①  将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

② 可以由抛物线经过适当的平移得到具体平移方法如下：

平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．

（3）用待定系数法求二次函数的解析式

①一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.

②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

③交点式： .已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.

（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法

①公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.

  ③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

（5）抛物线中，的作用

①决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

②和共同决定抛物线对称轴的位置

由于抛物线的对称轴是直线，故

如果时，对称轴为轴；

如果（即、同号）时，对称轴在轴左侧；

如果（即、异号）时，对称轴在轴右侧.

③的大小决定抛物线与轴交点的位置

当时，，所以抛物线与轴有且只有一个交点（0，），故

如果，抛物线经过原点；

如果,与轴交于正半轴；

如果,与轴交于负半轴.

知识点三：二次函数与一元二次方程的关系

5.函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，因此二次函数图象与轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

(1)当二次函数的图象与轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与轴没有交点，这时，则方程没有实根.

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识

（1）轴与抛物线得交点为.

（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).

 （3）抛物线与轴的交点

      二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

      ①有两个交点抛物线与轴相交；

      ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

      ③没有交点抛物线与轴相离.

  （4）平行于轴的直线与抛物线的交点

      同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

  （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：

     ①方程组有两组不同的解时与有两个交点;

    ②方程组只有一组解时与只有一个交点；

    ③方程组无解时与没有交点.

  （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

知识点四：利用二次函数解决实际问题

　　7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

　　(1)建立适当的平面直角坐标系；

　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；

　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；

(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.

 

第二篇：人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结

人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结

²  相关概念及定义

Ø  二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

Ø  二次函数的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

²  二次函数各种形式之间的变换

Ø  二次函数用配方法可化成：的形式，其中.

Ø  二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.

²  二次函数解析式的表示方法

Ø  一般式：（，，为常数，）；

Ø  顶点式：（，，为常数，）；

Ø  两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

Ø  注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

²  二次函数图象的画法

Ø  五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

Ø  画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

²  二次函数的性质

²  二次函数的性质

²  二次函数的性质：

²  二次函数的性质

²  抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

Ø  的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状相同.

Ø  对称轴：平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.

Ø  顶点坐标：

Ø  顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

²  抛物线中，与函数图像的关系

Ø  二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

     ⑴ 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

     ⑵ 当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

Ø  一次项系数

   在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

   ⑴ 在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

总结：

Ø  常数项

     ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

     ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

     ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

     总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

²  求抛物线的顶点、对称轴的方法

Ø  公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

Ø  配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.

Ø  运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

      用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

²  用待定系数法求二次函数的解析式

Ø  一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

Ø  顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

Ø  交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

²  直线与抛物线的交点

Ø  轴与抛物线得交点为(0, ).

Ø  与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).

Ø  抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

      ①有两个交点抛物线与轴相交；

      ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

      ③没有交点抛物线与轴相离.

Ø  平行于轴的直线与抛物线的交点

      可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

Ø    一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组  的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.

Ø  抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

²  二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

Ø  关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

Ø  关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

Ø  关于原点对称

    关于原点对称后，得到的解析式是；

    关于原点对称后，得到的解析式是；

Ø  关于顶点对称

    关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

Ø  关于点对称  

关于点对称后，得到的解析式是

Ø  总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

²  二次函数图象的平移

Ø  平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

Ø  平移规律

         在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

²  根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

Ø  三点式。

1，已知抛物线y=ax²+bx+c 经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=a(x-1)^２+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。

Ø  顶点式。

1，已知抛物线y=x²-2ax+a²+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。

2，已知抛物线 y=4(x+a)²-2a  的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。

Ø  交点式。

1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。

2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。

Ø  定点式。

1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线经过x 轴上一定点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。

2，抛物线y= x² +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。

3，抛物线y=ax²+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。

Ø  平移式。

1，把抛物线y= -2x² 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)² +k,求此抛物线解析式。

2，抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.

Ø  距离式。

1，抛物线y=ax²+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=m x²+3mx-4m(m﹥0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。

Ø  对称轴式。

1、抛物线y=x²-2x+(m²-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。

2、已知抛物线y=-x²+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。

Ø  对称式。

1，平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B₁的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。

2，求与抛物线y=x²+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。

Ø  切点式。

1，已知直线y=ax-a²(a≠0) 与抛物线y=mx² 有唯一公共点，求抛物线的解析式。

2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax² +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。

Ø  判别式式。

1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x²+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x²+(m+1)x+3解析式。

2、已知抛物线y=(a+2)x²-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。

3、已知抛物线y=(m+1)x²+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。