考研高数精华知识点总结：极限的性质

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(1)唯一性

　　函数极限，则A是唯一的确定的常数;

　　(2)有界性

　　(局部有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界;

　　(3)函数极限的局部保号性

  

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第二篇：考研高数知识点总结 第一单元 函数

第一单元 函数

1.1函数

函数是变量与变量的一种对应关系。本书变量均取值于实数。

1.1.1 实数

实数：有理数（分数）和无理数（无限不循环）的总称。

性质：1、封闭性，实数对四则运算（加减乘除）是封闭的，即任意两个实数进行加减 乘除（除法分数不为0）运算后，其结果仍为实数。

2、有序性，即任意两个实数可比较大小（a>b,=,<）,且关系大小有传递性。

3、稠密性，即任意两实数间仍有实数。有理数和无理数在实数集中是稠密的。 （其之间仍有实数）

4、连续性，即实数可与数轴上点一一对应。

Eg. 实数|a|定义 :表示数轴上a点到原点的距离。 1

常见含有绝对值的不等式：

1、三角不等式：设a,b,c,d为实数

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| （绝对值符号312）

|a+b+c+…+d|≤|a|+|b|+|c|+…+|d|

2、平均值不等式：设ai（i=1,2，…n）是非负实数

区间 ：常用的实数集

有限区间（长度有限的线段）：开区间、闭区间、半开区间

B-a ：它们的长度（不包括端点、包括一个、两个端点）

无限区间： （-∞，a）/]

全体实数R：（-∞，+∞）

α的邻域： 以α为中心的开区间（α-δ，α+δ），δ>0 。 δ：此邻域半径

该邻域记作O（α，δ）或O（α） 3

α的去心邻域： O（α，δ）去掉中心α 记作Oo（α，δ）或Oo（α） 由于α-δ< x <α+δ， O（α，δ）=｛x | |x-a|<δ｝

由于0 <|x-a|即x≠a, Oo（α，δ）=｛x |0 <|x-a|<δ｝ ≤ (a1+a2+…an)/n 2

1.1.2函数的概念

常量：在某个研究过程保持不变的量

变量：可以取不同数值的量

变量y是变量x的一个函数：设在某一问题中有两个变量x和y,变量x的变化范围为 D。如果对D中每一个值x，按照某种对应方法f，都有 变量y的一个唯一确定值与之对应，则称变量y是变量x 的一个函数。记为y=f(x),x∈D

x为自变量，y为因变量或函数，

x的变化范围D为函数的定义域，y的变化范围为函数的值域，记为M

注意：函数主由对应法则 和 其定义域D 确定，与 变量所选用的记号 无关。 5 函数定义域：

1、分母不为零

2、开偶次方，被开方式的值 非负

3、对数式中 真数必须 > 零, 底数 > 0 且 ≠ 1 eg.logaX a底数

Eg. 1、F(x)=2lgX g(x)=lg

不等。F(x)定义域（-∞,+∞） g(x)定义域(-∞,0)∪(0,+∞)

2、F(x)=x g(x) =

等。定义域均为（-∞,+∞），对应法则相同g(x) = F(x)

函数的表示方法：

1、列表法：便于应用

2、图像法：直观性，便于对函数进行定性分析

3、解析法/公式法：用解析表达式表示函数的方法 4

解析表达式：对于 自变量 和 常数 施以 四则运算、乘幂

logaX、指数

分段函数：需用两个或两个以上的公式表示的函数

注意：

1、分段函数是由几个公式合起来表示的 一个 函数

2、其定义域是各段上x取值范围的并集

3、在求函数值时，首先要根据x所在的区段，再用该区段的函数表达式 、取对数 、三角函数、反三角函数等数学运算所得到的式子

符号函数：f（x）= sgn x = 1 (x > 0); 定义域D=（-∞，+∞） 0 (x = 0); 值域W={-1,0,1}

-1 (x < 0)

对于任何实数x， x = sgnx · |x|

X的最大整数：设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的最大整数， 记作【x】

Eg.[-3.5]=-4

取整函数：一般有[x]=n,当x∈[n,n+1],n=0,±1,±2…,把x看成变量，则函数 f（x）=[x]称为 取整函数。定义域D=（-∞，+∞）,值域：整数集Z； 图形称为 阶梯曲线，在x的整数值处发生跳跃，跃度为1

1.1.3函数的性质

1、奇偶性：设函数y=f（x）的定义域关于原点对称： 7 偶函数：f（-x）= f（x），任x∈（-a,a） 关于y轴对称

奇函数：若f（-x）= -f（x），任x∈（-a,a） eg.

数

注意：

1、有些函数 既不是 奇函数，也不是 偶函数。eg.f（x）= x + 1 验x=±1时

2、任一函数 可为一个 偶函数和奇函数 的和。

3、Y=0，即为奇函数 ，又为 偶函数。

2、单调性：单调递增，单减

3、周期性：f（x+TO）= f（x）,最小正数TO ，称为f（x）的周期。Eg.tanx图 8

4、有界性： f（x）在D内有界， |f（x）|≤ M。Eg. |sinx|≤1,M=1。

必须同时有上下界。

所有反△函数 都有 有界性。

在闭区间[a,b]上的单调函数 f（x）是[a,b]上的有界函数。

1.1.4反函数

反函数：函数 y=f（x）与反函数x=

函数 y=f（x）与反函数y=（y）图形为同一曲线。 （x）图形关于y = x对称。 奇次幂在-∞，+∞）为奇函

单调函数定有 反函数，并与其函数有相同的单调性。 Eg. Y=

y= 图像。 9