高中高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性.

3、集合的表示：(1){ ? } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(2). 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

4．集合的表示方法：列举法与描述法。

常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

5.关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

6、集合的分类：

(1)．有限集 含有有限个元素的集合

(2)．无限集 含有无限个元素的集合

2(3)．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝=Φ

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包

?B或B??A 含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?

2．“相等”关系:对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

① 任何一个集合是它本身的子集。即A?A

②如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

记作A∩B(读作＂A交B＂)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作＂A并B＂)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,

A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集与补集（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即A?S），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作： CSA

即 CSA ={x ? x?S且 x?A}

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全

集。通常用U来表示。

（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U 二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：（1）由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示 (两点必须同时具备)

3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

4．映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A?B” 给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B

来说，则应满

足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

5.常用的函数表示法:解析法： 图象法： 列表法：

6.分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

7．函数单调性（1）．设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

（2） 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2 作差f(x1)－f(x2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）4 定(A) 定义法：○；○

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○． (B)图象法(从图

象上看升降)_

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性

（1）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶注意：○

性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一○

定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

1 首先确定函数的定义域，总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○并判断其定义域是否关于原点对称；

2 确定f(－x)与f(x)的关系；○3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；○

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可

用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)。

补充不等式的解法与二次函数（方程）的性质

1、a>0时，|x|?a?x??a或x?a，|x|?a??a?x?a

b24ac?b2

)?2、配方：ax?bx?c?a(x? 2a4a2

23、△>0时，ax?bx?c?0（a?0）的两个根为x1、x2(x1?x2)，则

?b?b，x

2?， x

1?2a2a

ax2?bx?c?0?x?x1或x?x2， ax2?bx?c?0?x1?x?x2

24、△=0时，ax?bx?c?0（a?0）的两个等根为x0??b，则 2aax2?bx?c?0?x?x0，ax2?bx?c?0

ax2?bx?c?0?x?R，ax2?bx?c?0?x?x0

25、△<0时，ax?bx?c?0（a?0

ax2?bx?c?0?x?R，ax2?bx?c?0

6．根与系数的关系

2若ax?bx?c?0（a?0）的两个根为x1,x2则

bcx1?x2??,x1?x2? aa

 

第二篇：都昌二中新课改高中数学必修1总结都昌二中高一数学备课组__江训清_

新课改高中数学必修（一）的教学总结

都昌二中高一数学备课组 江训清

一晃半个学期过去了，在这两个月里我们广大数学同仁按高中新课程的理念与同学们一同完成了数学必修Ⅰ的学习；结合模块考试(特别是这次期中考试)的结果想一想，感触颇多。

数学必修Ⅰ的内容共有四章，内容较多，课时紧，任务重，我们感觉学生学得不够好，大多数学生反映“消化不良”。数学必修Ⅰ结束后的这次期中考试，结果也与我们预期的有较大的出入；应该讲试题除几个稍难绝大大多数与课本上原题（含例题、课后练习、习题A组与复习题的A组）难度差不多，结果有超过80%的学生不及格，原因在哪里呢??? 我想这应该是我们备课组在下一个学段急需解决的主要问题；考试试卷满分为120分，全年级最高分116分与最低分8分，为什么会出现这么大的差距呢？我们备课组感到很困惑，在上课时我们也是一直是按新课程的理念贯穿整个教学的始终，也是处处体现为了每一个学生的发展的理念，可为什么最后的结果会有如此大的反差呢？针对这样的情况，我们该怎么办，这也是我们所有高一数学教师在今后所要解决的一个突出的问题。

新课程内容新、单位课时知识点多，密度大，以前一年要完成的内容现在半年就得完成。在内容增加而课时相对没有增加的前提下，每节课的容量特别大，每节课的内容都是新的，复习与巩固提高全靠学生自己课后下功夫了。没有时间讲评练习，没有时间进行单元测试反馈学生学习情况，学生学的累，教师教的苦，教学效果差。半个学期结束了，我们对新课改高中数学必修1 的教学总结如下： 一 教学中存在的问题

高一学生刚踏入高中大门，他们对高中阶段到底该如何学习、怎样学习，可以说是心里没底、心中无数，脑中基本属于空白。学生存在不足的地方：

（1）习惯性问题：通过试卷分析发现，学生对于数学的严谨性认识不足，部分试卷格式的书写杂乱，做题也较粗心，马虎丢分的现象非常严重。 （2）知识性问题：

部分学生对二次函数的知识不扎实，对函数概念及性质的理解不深，函数的区间、定义域、值域、函数的图像错误率较高，数形结合的思想运用错误较高，单调性的证明，失分较多，学生学习两极分化严重，尤其是否普通班，学生学习基础较差，独立思考的能力较差，解决问题的能力更差。

(3)在学习方面：

（1）学生在比较基础的地方掌握的还是不够，在函数，指数与对数，二次函数图像，函数单调性及函数应用方面比较薄弱，有待加强。

（2）学生自律性差，做题不够认真，格式不够规范；同时学生上课效率不高，下课不认真复习，老师讲过的知识不及时消化，独立思考的能力不够，对问题不求甚解。

二 教学中存在的困难

1．教材内容的人为割裂，使学生在学习的道路上困难重重。这种人为设计的“螺旋”，不能很好的解决不同内容之间的有机联系，使学生本来能在一个相对连贯的系统中学习和掌握的内容被支离破碎，加重学生的学习负担。

2．新课标课本习题都较简单和基础，而市面发行的各类教辅参考书几乎都不能适应新课程改革的需要。偏、难、超纲现象严重，大大加重了学生的学习负担。因此，编写适合新课程大纲要求的同步练习势在必行。

3．教材越编越厚，习题越配越难，内容越上越多，课时严重不足，教学如同追赶。在教学中，经常出现一节课的教学任务完不成的现象，更谈不上留有巩固练习的时间了。如果勉强按规定时间讲完，学生形成似懂非懂，“夹生饭”造成差生越来越多。没有足够的时间训练学生的“双基”，学生的计算能力，逻辑推理能力明显下降。

4．知识的顺序编排不合理，未学解不等式，就学指数函数、对数函数，造成学函数的定义域、值域，集合的运算等等问题难以解决。部分应用题过难，影响教学进度。

5．知识容量大，学生遗忘快。

6．知识内容的衔接存在脱节，需要补充的内容有：乘法公式；因式分解；一元二次方程及根与系数的关系；根式的运算；解不等式等。

7．由于学校条件的限制，大多数学校没有多媒体教室，大多数学生没有计算器，函数应用教学无法进行，教学资源要求过高，达不到应有的教学效果。

8．课时紧张使教师参与研究《新课标》和教材的精力不足，由于教师教学负担过重，大部分数学老师没有时间和精力来思考深层次的问题。

9．由于普通高中数学新课程中数学知识的编排系统出现了较大的调整，导致一些必备知识的欠缺，为解决这些困难，教师不得采取一些措施，导致学生学习负担加重。

三 解决方法

1．吃透课标，继承传统，更新教学观念。高中数学新课标指出：“丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学

习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动”。新课程呼唤新的学习方式，在教学中教师应创造条件使学生有机会经历数学知识的发现、发生、发展的过程，在尊重传统的学习方式的同时,渗透探究性学习的某些因素，通过探究性学习活动,培养学生学习数学的能力.然而，由于学生在数学课主要学习的是间接知识，不易过多地使用“数学建模”、“数学探究”等学习方式。如果每个概念都从实践中引入，每个定理都在探索中发现，需要多少时间才能完成？过分强调探索与发现，违反人类文化继承和发展的规律，也给高中数学已经饱满的内容安排增加更大的压力。所以开展探究性学习活动要量力而行。

2．在课时拮据的条件下，我们不在偏题怪题上浪费时间，也不求知识的传授须面面俱到，而是全面把握重点章节内容，所选例、习题也不在多，但求精彩，具有相当的典型或模式作用。不在细枝末节上纠缠不休，学生能把握课本内容便可以了。

3．教学辅导书是令人头疼的问题，学生不加强巩固显然不行，但若按以上方式授课，则练习册上便有许多习题学生无法完成，因而，我们自己设计一套适合本校学生实际的练习。力求从基础知识、基本数学思想方法入手，重要内容重点演练。让学生只要稍加努力便可顺利解决，经常有成功的喜悦，保持高昂的学习兴趣。

4．高一新生比高三学生的学习还要辛苦，因为刚入学对高中的学习方法不习惯，必要的知识储备不足导致学习困难。因此要帮助学生转变学习方式，帮助学生完善知识系统。我们利用开学第一周时间复习二次三项式等知识，其余的知识需要用到的时候再做适当的补充与拓展。在学法上给学生恰当的指导。

5. 重新认识“双基”，确保数学教学质量，如：，一元二次不等式的解集可以通过判断二次函数图象与x轴的位置关系得到，此内容义务教育阶段已有教学，可以使用；在设计不等式的题目是力求数据简单，避免学生陷入复杂的计算而忽略了对数学方法的理解和掌握。

四 教学总结和建议

曾有这样一个故事：一个商人在翻越一座山时，遭遇了一个拦路抢劫的匪。商人走投无路，便钻进了一个山洞，山匪也进了山洞里。在洞的深处，商人未能逃过山匪的追逐------黑暗中他被山匪逮住了，身上所有的钱财，包括一把准备夜间照明用的火把，都被山匪掳去了。之后，两人各自寻找着洞的出口。这山洞纵横交错，两人置身洞里，像置身于一个地下迷宫。山匪庆幸自己从商人那里抢来了火把，他把火把点着，借着火把的光亮在洞中行走。他能看清脚下石块，能看清周围的石壁。

但走来走去，就是走不出这个洞。最终，他力竭而死。商人失去了火把，他在黑暗中摸索行走得十分艰辛，他不时碰壁，不时被石块绊倒，跌得鼻青脸肿。但是，正是因为他置身于一片黑暗之中，所以他的眼睛能够敏锐地感受到洞口透来的微光，他迎着这缕微光摸索爬行，终于逃离了山洞。

由此想到我们的高中新课改的数学教学，授人与鱼不如授之与渔,教师应给足学生以“火把”把知识正确地，全面地，甚至高密度地传授给学生，仅仅如此，他们是否能够走出“山洞”。有专家如是说“当一个人把所学的知识都忘了以后，还保留下来的正是教师要教给学生的。”保留下来的是什么呢？就是能力，是思维素质。知识会随时间的推移而遗忘，而科学的思维能力和分析解决问题的能力却会长久地保留下来。

必修(一)中函数概念的教学可以从学生在义务教育阶段已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念.掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法和解析法；重视图形在函数学习中的作用，结合函数图形帮助学生对函数概念和性质的理解。不过分强调细枝末节的讲解和训练，避免人为地编制一些繁难的偏题。在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数和幂函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。新课标更侧重于指数型函数与对数型函数的教学；同时可对教材进行适当的增减，如对数函数应用等。

新课改要求高一教师不但要给新生传授知识，更要在引导学生建立良好的学习习惯与掌握科学的学习方法上下功夫。即不但要教书，更要教方法、教习惯。我们都知道，高一是基础、是关键，如果高一没抓好，高二、高三抓得再紧，出再大的力也很难上去。因此，可以这样讲，高三不好，根子应出在高一上，应该在高一的管理、学生的学习习惯的养成、学习方法的建立上找原因。

总之，在新课程体系下，教师不仅是知识的传播者，更应体现出崇高的师德，发挥育人的功能；培养学生掌握和利用知识的态度和能力，激发学生的创造潜能；帮助学生学会在实践中学，在合作中学，为其终身学习奠定基础，同时实现教师自身的发展和提高。