第七章 平面图形的认识（二）

一、知识点：

1、“三线八角”

①  如何由线找角：一看线，二看型。

         同位角是“F”型；

         内错角是“Z”型；

         同旁内角是“U”型。

②  如何由角找线：组成角的三条线中的公共直线就是截线。

2、平行公理：

   如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

   简述：平行于同一条直线的两条直线平行。

   补充定理：

   如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也平行。

   简述：垂直于同一条直线的两条直线平行。

3、平行线的判定和性质：

4、图形平移的性质：

   图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一直线上）并且相等。

5、三角形三边之间的关系：

三角形的任意两边之和大于第三边；

三角形的任意两边之差小于第三边。

若三角形的三边分别为a、b、c，

则    

6、三角形中的主要线段：

三角形的高、角平分线、中线。

注意：①三角形的高、角平分线、中线都是线段。

      ②高、角平分线、中线的应用。

7、三角形的内角和：

三角形的3个内角的和等于180°；

直角三角形的两个锐角互余；

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

8、多边形的内角和：

n边形的内角和等于（n-2）?180°；

任意多边形的外角和等于360°。

第八章 幂的运算

幂（power）指乘方运算的结果。aⁿ指将a自乘n次(n个a相乘）。把aⁿ看作乘方的结果，叫做a的n次幂。

对于任意底数a,b，当ｍ，ｎ为正整数时，有

a^ｍ?aⁿ=a^m+n  (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)

a^ｍ÷aⁿ=a^m-n  (同底数幂相除,底数不变,指数相减)

(a^ｍ)ⁿ=a^mn  (幂的乘方,底数不变,指数相乘)

(ab)ⁿ=aⁿaⁿ  (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)

a⁰=1(a≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)

a^-n=1/aⁿ (a≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)

科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10ⁿ的形式(其中1≤|a|＜10),这种记数法叫做科学记数法.

复习知识点：

1.乘方的概念

求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在  中，a 叫做底数，n 叫做指数。

2.乘方的性质

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

第九章 整式的乘法与因式分解

一、整式乘除法

单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.ac⁵·bc²=(a·b)·(c⁵·c²)=abc⁵⁺²=abc⁷  注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减

 

单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc 注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号 .本质是乘法分配律。

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
乘法公式：平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.  (a+b)(a-b)=a²-b²
          完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍.   (a±b)²=a²±2ab+b²
因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式,也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解方法:

1、提公因式法. 关键:找出公因式

公因式三部分：①系数(数字)一各项系数最大公约数；②字母--各项含有的相同字母；③指数--相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
2、公式法.①a²-b²=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a²±2ab+b²=(a±b)²  完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平方.

③x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²) 立方差公式

3、十字相乘(x+p)(x+q)=x²+(p+q)x+pq
因式分解三要素：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差

添括号法则：如括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如括号前是负号各项都得改符号。用去括号法则验证

第十章 二元一次方程组

１、含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程(linear equations of two unknowns) 。

２、含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。

３、二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。

４、代入消元法：把二元一次方程中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再带入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

５、加减消元法：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.

６、二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

第十一章 一元一次不等式

一元一次不等式
重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。
难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。
知识点一：不等式的概念
1. 不等式：
　　用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
　　要点诠释：　
　　(1)不等号的类型:
　　　　① “≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；

　　(2) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
2．不等式的解：
　　能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
　　要点诠释：
　　由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。
3．不等式的解集：
　　一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。
　　要点诠释：
　　不等式的解集必须符合两个条件：
　　(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；
　　(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。
知识点二：不等式的基本性质
　　基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
　　　　　　　 符号语言表示为：如果，那么。
　　基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
　　　　　　　 符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。
　　基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
　　　　　　　 符号语言表示为：如果，并且，那么（或）
　　要点诠释：
　　(1)不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；
　　(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；
　　(3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；
　　(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。
知识点三：一元一次不等式的概念
　　只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。
　　要点诠释：
　　(1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：
　　　 ①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数；
　　　 ③未知数的最高次数为1。
　　(2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。
　　　 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)。
知识点四：一元一次不等式的解法
1.解不等式：
　　求不等式解的过程叫做解不等式。
2.一元一次不等式的解法：
　　与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
　　要点诠释：
　　（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用
　　（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。
3.不等式的解集在数轴上表示：
　　在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。
　要点诠释：
　　在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
　（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左
规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）
　　1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。（性质2、3要倍加小心）
　　2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。
　　3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为或的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为1。这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。
　　　　　　　　　　　　　　　解一元一次不等式的一般步骤及注意事项

　　4、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实。
　　5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际问题。
　　6、常见不等式的基本语言的意义：
　　　 （1），则x是正数；　　　　　 （2），则x是负数；
　　　 （3），则x是非正数；　　　　 （4），则x是非负数；
　　　 （5），则x大于y；　　　 （6），则x小于y；
　　　 （7），则x不小于y；　　　　（8），则x不大于y；
　　　 （9）或，则x，y同号；（10）或，则x，y异号；
　　　 （11）x，y都是正数，若，则；若，则；
　　　 （12）x，y都是负数，若，则；若，则

第十二章 证明

教学目标：

1.掌握定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念，知道一个命题是真命 题，它的逆命题不一定是真命题。          

2.基本事实是其真实性不加证明的真命题，弄清真命题与定理的区别。           

3.会用举反例说明一个命题是假命题；掌握三角形内角和定理的证明。 

重点：定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念的理解与运用 

难点：会用举反例说明一个命题是假命题；掌握三角形内角和定理的证明。

内容：       

1.以基本事实：“同位角相等，两直线平行”证明： (1)“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”、“平行于同一条直线的两条直线平行”

2.基本事实：“过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”          

           “两直线平行，同位角相等”

证明：

（1）两只相平行，内错角相等

（2）两只相平行，同旁内角互补

（3）三角形内角和定理”

（4）直角三角形的两个锐角互余

（5）有两个锐角互余的三角形是直角三角形

（6）三角形的外角等于与它不相邻的两个外角的和

 

第二篇：20xx北师大版初三下册数学知识点总结

20##最新版初三下册数学知识点总结

第一章  直角三角形边的关系

※一. 正切：

定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，

即;

①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；

②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；

③tanA不表示“tan”乘以“A”；

④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；

⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。

※二. 正弦：

定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;

※三. 余弦：

定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;

※余切：

定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即;

※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则

①；  

②；

※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角

※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角

※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。

※同角的三角函数间的关系：

倒数关系：tgα·ctgα=1。

※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有

 (1)三边之间的关系：a²+b²=c²；

(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；

 (3)边与角之间的关系：

(4)面积公式:(h_c为C边上的高);

(5)直角三角形的内切圆半径

 (6)直角三角形的外接圆半径

◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：

◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：

※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即

◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。

◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。

第二章  二次函数

※二次函数的概念：形如(、b、c是常数,≠0)的函数，叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。      

是二次函数的特例，此时常数b=c=0.

※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。

※二次函数y＝ax²的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。

描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。

①函数的取值范围是全体实数；

②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。

③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。

④函数的增减性：

A、当a＞0时　　        

B、当a＜0时

⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。

⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0。

※二次函数的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线

※二次函数的图象是以为对称轴，顶点在

（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）

※|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。

※二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。

※二次函数的图象与y＝ax²的图象的关系：

 的图象可以由y＝ax²的图象平移得到，其步骤如下：

①      将配方成的形式；

（其中h=，k=）；

②把抛物线向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)²的图象；

③再把抛物线向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|个单位，便得到的图象。

※二次函数的性质：

二次函数配方成则抛物线的

①对称轴：x=    ②顶点坐标：（，）

③增减性：若a>0，则当x<时，y随x的增大而减小；

当x>时，y随x的增大而增大。

若a<0，则当x<时，y随x的增大而增大；

当x>时，y随x的增大而减小。

④最值：若a>0，则当x=时，；

   若a<0，则当x=时，

※画二次函数的图象：

  我们可以利用它与函数的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：

  ①先找出顶点（，），画出对称轴x=；

②找出图象上关于直线x=对称的四个点（如与坐标的交点等）；

③把上述五点连成光滑的曲线。

¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)²+k的形式求得，也可以借助图象观察。

¤解决最大（小）值问题的基本思路是：

  ①理解问题；

②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；

③用数学的方式表示它们之间的关系；

④做数学求解；

⑤检验结果的合理性、拓展性等。

※二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x₁，x₂是对应一元二次方程的两个实数根

※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

  >0 <===> 抛物线与x轴有2个交点；

  =0 <===> 抛物线与x轴有1个交点；

  <0 <===> 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；

※当>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：

化简后即为： ------ 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。

第三章  圆

一. 车轮为什么做成圆形

※1. 圆的定义：

  描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”

  集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。

对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；

②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。

※2. 点与圆的位置关系及其数量特征：

  如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则

  ①点在圆上 <===> d=r;

②点在圆内 <===> d<r;

③点在圆外 <===> d>r.

其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

二. 圆的对称性:

※1. 与圆相关的概念：

①弦和直径：

  弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

  直径：经过圆心的弦叫做直径。

②弧、半圆、优弧、劣弧：

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。

半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)

③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。

④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.

※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

          ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

        上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

三. 圆周角和圆心角的关系:

※1.1°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.

※2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.

这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成

∠AOB=    ,这是错误的.

※3. 圆周角的定义:

                 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.

※4. 圆周角定理:

                一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；

※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

※四. 确定圆的条件:

※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:

     圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

     经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.

※2. 经过三点作圆要分两种情况:

(1)经过同一直线上的三点不能作圆.

(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.

※定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.

※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:

  (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.

(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.

(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.

五. 直线与圆的位置关系

※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:

(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.

(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.

(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.

※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:

  设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；

①­d<r­ <===> ­直线L和⊙O相交.

②d=r­ <===> ­直线L和⊙O相切.

③d>r­ <===> ­直线L和⊙O相离.

※3. 切线的总判定定理:

经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.

※4. 切线的性质定理:

     圆的切线垂直于过切点的半径.

※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:

如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.

①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.

※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.

  和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.

※6. 三角形内心的性质:

(1)三角形的内心到三边的距离相等.

(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.

由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.

六. 圆和圆的位置关系.

※1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.

(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.

(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.

(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.

(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.

(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.

※2. 两圆位置关系的性质与判定:

(1)两圆外离­ <===> ­d>R+r

(2)两圆外切 <===> ­­d=R+r

(3)两圆相交­ <===> ­R-r<d<R+r (R≥r)

(4)两圆内切­ <===> ­d=R-r (R>r)

(5)两圆内含­ <===> ­d<R-r (R>r)

※3. 相切两圆的性质:

                   如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.

※4. 相交两圆的性质:

相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

七. 弧长及扇形的面积

※1. 圆周长公式:

               圆周长C=2R (R表示圆的半径)

※2. 弧长公式:

弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)

※3. 扇形定义:

一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.

※4. 弓形定义:

由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.

弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.

※5. 圆的面积公式.

圆的面积 (R表示圆的半径)

※6. 扇形的面积公式:

扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)

※弓形的面积公式:

(1)当弓形所含的弧是劣弧时,

(2)当弓形所含的弧是优弧时,

(3)当弓形所含的弧是半圆时,

八. 圆锥的有关概念:

※1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.

※2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:

圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.

如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:

¤九. 与圆有关的辅助线

1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.

2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.

3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.

4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.

¤十. 圆内接四边形

若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.

圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;

②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.

※十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理

1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

如图6，∵PA，PB分别切⊙O于A、B

∴PA=PB，PO平分∠APB

2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

   推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

如图7，CD切⊙O于C，则，∠ACD=∠B

   3．和圆有关的比例线段：

   ①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；

②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

如图8，AP?PB=CP?PD

如图9，若CD⊥AB于P，AB为⊙O直径，则CP²=AP?PB

4．切割线定理

①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

如图10， ①PT切⊙O于T，PA是割线，点A、B是它与⊙O的交点，则PT²=PA?PB

②PA、PC是⊙O的两条割线，则PD?PC=PB?PA

5．两圆连心线的性质

①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。

②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。

如图11，⊙O₁与⊙O₂交于A、B两点，则连心线O₁O₂⊥AB且AC=BC。

6．两圆的公切线

两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。

如图12，AB分别切⊙O₁与⊙O₂于A、B，连结O₁A，O₂B，过O₂作O₂C⊥O₁A于C，公切线长为l，两圆的圆心距为d，半径分别为R，r则外公切线长：

如图13，AB分别切⊙O₁与⊙O₂于A、B，O₂C∥AB，O₂C⊥O₁C于C，⊙O₁半径为R，⊙O₂半径为r，则内公切线长： 

 

                                                                  

 

第四章  统计与概率

1. 实验频率与理论概率的关系只是在实验次数很多时,实验频率接近于理论概念,但实验次数再多,也很难保证实验结果与理论值相等,这就是“随机事件”的特点.

三. 游戏公平吗?

1. 游戏的公平性是指游戏双方各有50%赢的机会,或者游戏多方赢的机会相等.

2. 表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率.一个事件发生的概率取值在0与1之间.

3. 概率的预测的计算方法:某事件A发生的概率:

4. 用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点:

(1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果;

(2)要弄清楚所有机会均等的结果.

（注：※表示重点部分；¤表示了解部分；◎表示仅供参阅部分；）