四川建院土木1301

（数学兴趣小组）

目录

第一章   函数与极限薚……………………………………………………………………

第一节    函      数………………………………………………………………………………..

第二节  数列的极限…………………………………………………………………………………..

第三节   函数的极限…………………………………………………………………………………

第四节  无穷小与无穷大……………………………………………………………………………..

第五节极限四则运算法则……………………………………………………………………………

第六节极限存在准则、两个重要极限………………………………………………………………

第七节无穷小的比较…………………………………………………………………………………

第八节函数的连续性与间断点………………………………………………………………………

第九节  连续函数的运算与初等函数的连续性……………………………………………………..

第十节闭区间上连续函数的性质……………………………………………………………………

第二章导数与微分……………………………………………………………………….

第一节导数的概念…………………………………………………………………………………….

第二节  函数的求导法则………………………………………………………………………………

第三节初等函数的求导问题………………………………………………………………………….

双曲函数与反双曲函数的导数…………………………………………………………………………

第四节  高阶导数………………………………………………………………………………………

第五节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数相关辩化率……………………………

第六节函数的微分…………………………………………………………………………………….

第三章中值定理与导数的应用…………………………………………………………

第一节    中值定理…………………………………………………………………………………..

第二节洛必达法则……………………………………………………………………………………

第三节泰勒公式………………………………………………………………………………………

第四节函数单调性的判定法…………………………………………………………………………

第五节函数的极值与最值……………………………………………………………………………

第六节曲线的凹凸与拐点……………………………………………………………………………

第七节曲率……………………………………………………………………………………………

第八节方程的近似解…………………………………………………………………………………

第四章不定积分………………………………………………………………………..

第一节    不定积分的概念及其性质………………………………………………………………

第二节  不定积分的换元积分………………………………………………………………………

第三节不定积分的分部积分法……………………………………………………………………..

第四节几种特殊类型函数的积分……………………………………………………………………

第五章定积分………………………………………………………………………….

第一节  定积分概念与性质…………………………………………………………………………

第二节微积分基本定理…………………………………………………………………………..

第三节   定积分换元积分法与分部积分法……………………………………………………..

第四节    广义积分……………………………………………………………………………..

第六章定积分的应用……………………………………………………………….

定积分的元素法……………………………………………………………………………………

功水压力和引力………………………………………………………………………………….

平均值……………………………………………………………………………………………..

第七章空间解析几何与向量代数………………………………………………….

第一节空间直角坐标系………………………………………………………………………….

第二节向量及其加减法向量与数的乘法………………………………………………………

第三节向量的坐标………………………………………………………………………………

第四节数量积向量积混合积………………………………………………………………….

第五节曲面及其方程……………………………………………………………………………

第六节空间曲线及其方程……………………………………………………………………….

第七节平面及其方程……………………………………………………………………………..

第八节空间直线及其方程……………………………………………………………………….

第九节二次曲面…………………………………………………………………………………

第八章多元函数微分法及其应用…………………………………………………

第一节  多元函数的基本概念………………………………………………………………….

第二节  偏导数………………………………………………………………………………….

第三节  全微分………………………………………………………………………………….

第四节   多元复合函数的求导法则…………………………………………………………….

第五节   隐函数的求导法则……………………………………………………………………

第六节微分法在几何上的应用………………………………………………………………..

第七节方向导数与梯度………………………………………………………………………..

第八节多元函数的极值及其求法……………………………………………………………….

第九章重积分………………………………………………………………………

第一节   二重积分的概念与性质 …………………………………………………………….

第二节二重积分的计算…………………………………………………………………………

第三节二重积分的应用…………………………………………………………………………

第四节三重积分的概念及其计算法…………………………………………………………….

第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分………………………………………………

第十章曲线积分与曲面积分………………………………………………………

第一节   对弧长的曲线积分…………………………………………………………………….

第二节   对坐标的曲线积分…………………………………………………………………….

第三节   格林公式及其应用…………………………………………………………………….

第四节   对面积的曲面积分…………………………………………………………………….

第五节   对坐标的曲面积分…………………………………………………………………….

第六节   高斯公式通量与散度………………………………………………………………

第七节   斯托克斯公式环流量与旋度………………………………………………………

第十一章无穷级数………………………………………………………………

第一节   常数项级数的概念和性质…………………………………………………………..

第二节常数项级数的申敛法………………………………………………………………….

第三节幂级数………………………………………………………………………………….

第四节函数展开成幂级数……………………………………………………………………

第五节函数的幂级数展开式的应用…………………………………………………………

第七节傅里叶级数…………………………………………………………………………….

第八节正弦级数与余弦级数………………………………………………………………….

第九节   周期为2l的周期函数的傅里叶级数………………………………………………...

第十二章微分方程………………………………………………………………..

第一节  微分方程的基本概念………………………………………………………………..

第二节可分离变量的微分方程………………………………………………………………

第三节   齐次方程……………………………………………………………………………

第四节   一阶线性微分方程…………………………………………………………………

第五节全微分方程……………………………………………………………………………

第六节可降阶的高阶微分方程………………………………………………………………

第七节高阶线性微分方程……………………………………………………………………

第八节    二阶常系数齐次线性微分方程…………………………………………………..

第九节二阶常系数非齐次线性微分方程……………………………………………………

第十节欧拉方程………………………………………………………………………………

第十一节微分方程的幂级数解法…………………………………………………………….

第十二节常系数线性微分方程组解法举例…………………………………………………

第一章函数与极限

第一节    函      数

教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、分段函数、复合函数、初等函数的概念。

教学重点：分段函数、复合函数；

一、       集合、常量与变量

(一) 集合

1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记aM（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记aM或aM（读a不属于M）；集合有时也简称为集。

注意：（1）对于一个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能够判断它属于或不属于给定的集合，二者必居其一.

（2）对于一个给定的集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多少，在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现.

（3）若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集

2. 集合的表示法

表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种.

列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号{ }括起来，这种方法称为列举法.

        3.全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。

        

4.集合间的基本关系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有，必有，就称A为B的子集，记为,或(读B包含A)。

          显然：.

          若,同时,就称A、B相等,记为A=B。

        

       5.不含任何元素的集称为空集,记为,如：{}=,{}=,空集是任何集合的子集,即。

(二) 区间与邻域

   1. 区间

     设a和b都是实数，且a<b,

     数集 {x | a<x<b }称为开区间，记作(a,b)，即

           (a , b)={x | a<x<b}.

     a和b称为开区间( a , b ) 的端点，这里a( a ,b ) ， b( a ,b ).                                                                               数集 {x |a }称为闭区间，记作[a,b]，即

      [ a, b ]={ x| a }.

a和b称为闭区间[ a ,b ] 的端点，这里a [ a , b ]，  b [ a , b ] .

    类似地可以说明：

[ a,b )=={ x | ax<b },

( a ,b ] ={x |a<xb },

[ a,b )和( a ,b]都称为半开区间.

      以上这些区间都称为有限区间.数b-a称为这些区间的长度.从数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段.闭区间[a,b]与开区间（a,b）在数轴上表示出来，分别如图1-7（a）与(b).此外还有无限区间，引进记号+（读作正无穷大）及-（读作负无穷大），则可类似地表示下面的无限区间:

       [ a，+)={ x | ax}，

       (- ,b )={ x | x<b}，               

全体实数的集合也可记作（-，+），它也是无限区间.

2.邻域.

  设是任一正数，a为某一实数，把数集{ x| |x-a | <}称为点a的邻域，记作

U（a, ），即

          U(a, )={ x| |x-a | <}

点a称为这邻域的中心，称为这邻域的半径.

由于a-<x<a+相当于| x-a |<，因此

U(a, ）={ x| a-<x<a+},也就是开区间( a-,a+)        

因为| x-a |表示点x与点a间的距离，所以U(a, ）表示：与点a距离小于的一切点x的全体.

有时用到的邻域需要把邻域中心去掉.点a的邻域去掉中心a后，称为点a的去心的邻域，记作U(, ），即

U(, ）={ x | 0<|x-a |<}.

这里0<|x-a|就表示xa.

  

(三)常量与变量

在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。

注1：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。

      2：常量一般用a,b,c……等字母表示，变量用x,y,u,t……等字母表示，常量a为一定值，在数轴上可用定点表示，变量x代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：表示可代表中的任一个数。

二、       函数的概念

定义：设和为两个变量，，为一个给定的数集，如果对每一个，按照一定的法则变量总有确定的数值与之对应，就称为的函数，记为.数集称为该函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。

      当取数值时，依法则的对应值称为函数在时的函数值。所有函数值组成的集合称为函数的值域。

关于函数定义的几点说明：

（1）我们这里所讲的函数是指单值函数，也就是说，对于每一个x值只能对应变量y的一个值.

（2）符号“f”的意义：

符号“f”表示自变量x与函数y的某种对应关系.例如y=f(x)=5x²+3x-1，它的对应关系”f”是自变量的平方乘以5加上自变量的3倍减去1，我们不妨简化为y=f(  )=5(  )²+3(  )-1。如x=3时，对应的函数值是

    f(3)=53²+33-1.

同样当x=a时，对应的函数值是

    f(a)=5a²+3a-1.

表示函数对应法则的符号也常常用“g”、“F”等表示，这时函数就记作y=g(x)、

y=F(x)等.

（3）确定函数的两个要素——定义域和对应法则

  函数概念反映着自变量和因变量之间的依赖关系.它涉及到定义域、对应法则和值域.很明显，只要定义域和对应法则确定了，值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则是确定函数的两个要素，只要两个函数的定义域和对应法则都相同，那么，这两个函数就相同；如果定义域或对应法则有一个不相同，那么这两个函数就不相同.

例如：函数 f(x)=与g(x)=1，因为f(x)的定义域为（-，0）(0,+），而g(x)的定义域为（-，+），所以f(x)与g(x)是不同的函数.

（4）函数定义域的求法

     对于由实际问题得到的函数，其定义域应该由问题的具体条件来确定.如例1函数S=r²中，自变量r是圆的半径，故此函数的定义域就是 (0,+）.例2中，自变量Q表示销售的台数，故此函数的定义域是全体自然数.

若函数由公式给出时，不考虑函数的实际意义，这时函数的定义域就是使式子有意义的

变量的一切实数值.

注 1：函数通常还可用等表示。

         2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。

           3、若对每一个，只有唯一的一个与之对应，就称函数为单值函数；若有不止一个与之对应，就称为多值函数。如：等。以后若不特别声明，只讨论单值函数。

          4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：当自变量在上取值，其函数值为；当取0时，；当在上取值时，其函数值为。（这种函数称为分段函数，在以后经常遇见，希望注意！）尽管有几个不同的算式，但它们合起来只表示一个函数！

         5、对中任一固定的，依照法则有一个数与之对应，以为横坐标，为纵坐标在坐标平面上就确定了一个点。当取遍中的每一数时，便得到一个点集，我们称之为函数的图形。换言之，当在中变动时，点的轨迹就是的图形。

三、       函数的几种特性

1 函数的有界性：设在上有定义，若对，使得：，就称在上有界，否则称为无界。

注：1、若对，，使得，就称在上有上(下)界。 在上有界在上同时有上界和下界。

2、在上无界也可这样说：对，总，使得。

2、函数的单调性：设函数在区间上有定义，若对，当时总有：

（1），就称在上单调递增，特别当严格不等式成立时，就称在上严格单调递增。

（2），就称在上单调递减，特别当严格不等式成立时，就称在上严格单调递减。

注：1、此处的定义与书上有区别，希望注意！

1、                                                                                                                   2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。

2、                                                                                                                   3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。

3、函数的奇偶性：设函数的定义域为对称于原点的数集，即若，有，

（1）若对，有恒成立，就称为偶函数。

（2）若对，有恒成立，就称为奇函数。

注：1、偶函数的图形是关于轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。

2、若是奇函数，且，则必有。

3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的积也为偶函数；一奇一偶的积为奇函数。

4、周期性：设函数的定义域为，如果，使得对，有，且恒成立，就称为周期函数，称为的周期。

注1：若为的周期，由定义知也都是的周期，故周期函数有无穷多个周期，通常说的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（为什么？）

        2：周期函数在一每个周期（为任意数，为任意常数）上，有相同的形状。

四、        反函数

       定义：设的定义域为，值域为，因此，对，必，使得，这样的可能不止一个，若将当作自变量，当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数，称之为函数的反函数，而叫做直接函数。

注1：反函数的定义域为，值域为；

         2：由上讨论知，即使为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作研究；

         3：在习惯上往往用表示自变量，表示因变量，因此将中的与对换一下，的反函数就变成，事实上函数与是表示同一函数的，因为，表示函数关系的字母没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。所以说：若的反函数为，那么也是的反函数，且后者较常用；

         4：反函数的图形与直接函数的图形是对称于

 

五、初等函数

（一）幂函数

形如（为常数）的函数叫做幂函数。

其定义域较为复杂，下作一些简单的讨论：

（一）当为非负整数时，定义域为；

（1）       当为负整数时，定义域为；

（2）       当为其它有理数时，要视情况而定。

（3）       当为无理数时，规定其定义域为，其图形也很复杂，但不论取何值，图形总过（1，1）点，当>0时，还过（0，0）点。

（二）指数函数与对数函数

1.指数函数：形如的函数称为指数函数，其定义域为，其图形总在轴上方，且过（0，1）点，

（1）当时，是单调增加的；

（2）当时，是单调减少的；

以后我们经常遇到这样一个指数函数的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特别地，与关于轴对称。

2、对数函数：指数函数的反函数，记为为常数，,称为对数函数，其定义域为，由前面反函数的概念知：的图形和的图形是关于对称的，从此，不难得的图形，

的图形总在轴右方，且过（1，0）点

（1）       当时，单调递增，且在（0，1）为负，上为正；

（2）       当1时，单调递减，且在（0，1）为正， 上为负；

特别当取时，函数记为，称为自然对数函数。

（三）三角函数与反三角函数

三角函数

三角函数主要是：

正弦函数：

余弦函数：

正切函数：

余切函数：

正弦函数和余弦函数均为周期为的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个：正割和余割，其图形在此不做讨论了。

反三角函数：

反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：

反正弦函数：

反余弦函数：

反正切函数：

反余切函数：

显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下：

将限制在上，得一单值函数，记为，它就是所取主值函数，叫做主值区间，显然，

同理：将限制在上，得

将限制在上，得

将限制在上，得

从图中不难看出和是单调递增的，和是单调递减的。

六复合函数和初等函数

1.定义：设，定义域为，，定义域为，值域为，且，这样对于，由可算出函数值，所以，由又可算出其函数值，因此对于，有确定的值与之对应，从而得一个以为自变量，为因变量的函数，我们称之为以为外函数，为内函数复合成的复合函数，记为，其中为中间变量。

注1：并非任何两函数都可以复合的，

        2：复合可推广到三个或更多的函数上去，

3：在函数复合中，未必都有、的形式，一般为和，这时候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有和之分。

2、初等函数

      我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。

七分段函数举例

第二节  数列的极限

教学目的：使学生理解数列极限的定义及性质，并能用定义证明一些简单数列的极限。

教学重点：数列极限的定义及性质。

一、数列的定义：

定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为，由于全体自然数可以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：，这就是最常见的数列表现形式了，有时也简记为或数列。数列中的每一数称为数列的项，第项称为一般项或通项。

注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将依次在数轴上描出点的位置，限我们能否发现点的位置的变化趋势呢？显然，是无限接近于0的；是无增大的；的项是在1与两点跳动的，不接近于某一常数；无限接近常数1。

对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题。

二、数列的极限

定义：若对（不论多么小），总自然数，使得当时都有成立，这是就称常数是数列的极限，或称数列收敛于，记为，或（）。如果数列没有极限，就说数列是发散的。

注1：是衡量与的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管具有任意性，但一经给出，就应视为不变。（另外，具有任意性，那么等也具有任意性，它们也可代替）

    2：是随的变小而变大的，是的函数，即是依赖于的。在解题中，等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个，使得当时，有就行了，而不必求最小的。

3：有时找比较困难，这时我们可把适当地变形、放大（千万不可缩小！），若放大后小于，那么必有。

收敛数列的有关性质：

定理1：（唯一性）数列不能收敛于两个不同的极限。

定理2： （有界性）若数列收敛，那么它一定有界，即：对于数列 ，若正数，对一切，有。

注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列是有界的（），但数列不收敛。

第三节   函数的极限

教学目的：使学生理解函数极限的概念  ；理解函数左右极限的概念，以及函数极限存在与左、右 极限之间的关系。理解函数极限的性质。

教学重点：函数极限的概念。

一、复习数列极限的定义及性质

二、导入新课：

由上节知，数列是自变量取自然数时的函数，，因此，数列是函数的一种特殊情况。对于函数，自变量的变化主要表现在两个方面：

一、  自变量任意接近于有限值，记为，相应的函数值的变化情况。

二、当自变量的绝对值无限增大，记，相应的函数值的变化情况。

三、讲授新课：

（一）自变量趋向有限值时函数的极限

与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值时的函数极限可理解为：当时，（为某常数），即当时，与无限地接近，或说可任意小，亦即对于预先任意给定的正整数（不论多么小），当与充分接近时，可使得小于。用数学的语言说，即

定义1：如果对（不论它多么小），总，使得对于适合不等式

   的一切所对应的函数值满足：，就称常数为函数当时的极限，记为

，或  （当时）

注1：“与充分接近”在定义中表现为：，有，即。显然越小，与接近就越好，此与数列极限中的所起的作用是一样的，它也依赖于。一般地，越小，相应地也小一些。

  2：定义中表示，这说明当时，有无限与在点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与值也无关）。

  3：几何解释：对，作两条平行直线。由定义，对此，当，且时，有。即函数的图形夹在直线之间（可能除外）。换言之：当时，。从图中也可见不唯一！

                     （二）左、右极限

在函数极限的定义中，是既从的左边（即从小于的方向）趋于，也从的右边（即从大于的方向）趋于。但有时只能或需要从的某一侧趋于的极限。如分段函数及在区间的端点处等等。这样，就有必要引进单侧极限的定义：

定义2：对，，当时，[当时]，有.这时就称为当时的左[右]极限，记为

或。

[或]。

定理：。

                 （三）自变量趋向无穷大时函数的极限

定义3：设当时是有定义的，若对，当时，有，就称为当时的极限，记为或（当时）。

注1：设在上有定义，若对，当时，有，就称为当时的极限，记为，或（当）（，或（当））。

   2：。

   3：若，就称为的图形的水平渐近线（若或，有类似的渐近线）。

                     （四）函数极限的性质

定理（保号性）：设，

（i）    若，则，当时，。

（ii）   若，必有。

                         

第四节  无穷小与无穷大

  教学目的：1. 使学生理解无穷小的概念及性质；

2. 使学生理解无穷大的概念，无穷大与无穷小的关系;

3. 掌握无穷小的比较方法.

（一） 无穷小

      若当或时的极限为零，就称为当或时的无穷小，即有

定义1：对若，使得当时，有成立，就称为当时的无穷小，记为。

注1：除上两种之外，还有的情形。

2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数。

定理：当自变量在同一变化过程（或）中时：

（i）具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即：为的极限为无穷小。

（ii）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限。

定理：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设。

定理：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设有界，。

注1： 与都表示函数与，而不是常数。

            2： “”下放没标自变量的变化过程，这说明对及均成立，但须同一过程

推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若为常数，。

推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设

。

二、无穷大

    若当或时，就称为当或时的无穷大。

定义2：若对，使得当时，有，就称当时的无穷大，记作:。

注1：同理还有时的定义。

  2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。

  3：若或，按通常意义将，的极限不存在。

定理：当自变量在同一变化过程中时，

（i）        若为无穷大，则为无穷小。

（ii）      若为无穷小，且，则为无穷大。

第五节 极限四则运算法则

教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限；

教学重点：有理函数极限的计算；

极限四则运算法则

    由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。

定理1：若，则存在，且。

注：本定理可推广到有限个函数的情形。

 

定理2：若，则存在，且

。

推论1：（为常数）。

推论2：（为正整数）。

定理3：设，则。

注：以上定理对数列亦成立。

定理4：如果，且，则。

推论1：设为一多项式，当

。

推论2：设均为多项式，且，则。

注：若，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。

    

第六节 极限存在准则、两个重要极限

教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限；

          2 使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法；

教学重点：利用两个重要极限求极限

准则I：如果数列满足下列条件：

（i）对;

（ii）

那么，数列的极限存在，且。

准则I′：如果函数满足下列条件：

（i）当时，有。

（ii）当时，有。

那么当时，的极限存在，且等于。

第一个重要极限：

作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：。

准则Ⅱ：单调有界数列必有极限

    如果数列满足：，就称之为单调增加数列；若满足：，就称之为单调减少数列；同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。

    如果，使得：，就称数列为有上界；若，使得：，就称有下界。

准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。

准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。

注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。

  2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。

第二个重要极限：

第七节 无穷小的比较

教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

教学重点：用等价无穷小求极限

定义：设与为在同一变化过程中的两个无穷小，

(i)  若，就说是比高阶的无穷小，记为；

(ii)      若，，就说是比低阶的无穷小；

(iii)     若，，就说是比同阶的无穷小；

(iv)      若，就说与是等价无穷小，记为。

注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：，但，因为不是一个量，而是高阶无穷小的记号；

   2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；

   3：等价无穷小具有传递性：即；

   4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当时，与既非同阶，又无高低阶可比较，因为不存在；

   5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；

   6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：

定理：若均为的同一变化过程中的无穷小，且，及，             那么                      。

 

7：在目前，常用当时，等价无穷小有：

；

8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！

第八节 函数的连续性与间断点

  教学目的：使学生理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判断函数间断点的类型。

教学重点：分段函数在分界点处的连续性

（一） 函数的连续性

连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，从图形上看，函数的图象连绵不断。在数学上，我们有：

定义 1：设在的某邻域内有定义，若，就称函数 在 点处连续

注 1：在点连续，不仅要求在点有意义，存在，而且要，即极限值等于函数值。

   2：若，就称在点左连续。若，就称在点右连续。

   3：如果在区间上的每一点处都连续，就称在上连续；并称为上的连续函数；若包含端点，那么在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。

定义1ˊ：设在的某邻域内有定义，若对，当时，有，就称在点连续。

   

下面再给出连续性定义的另一种形式：

先介绍增量：变量由初值变到终值，终值与初值的差称为的增量，记为，即；可正、可负、也可为零，这些取决于与的大小。

  我们称为自变量在点的增量，记为，即或；相应函数值差，称为函数在点的增量，记为，即，即或，

。

定义1″：设在的某邻域内有定义，若当时，有，即，或，就称在点连续。

定理：在点连续在点既左连续，又右连续。

(二) 间断点

    简单地说，若在点不连续，就称为的间断点，或不连续点，为方便起见，在此要求的任一邻域均含有的定义域中非的点。间断点有下列三种情况：

（1）在没有定义；

（2）不存在；

（3）虽然不存在，也虽然在点有定义，但。

种常见的间断点类型：

          

第九节  连续函数的运算与初等函数的连续性

          教学目的：使学生了解连续函数的性质和初等函数的连续性；并会应用函数的连续性求函数的极限

          教学重点：应用函数的连续性求函数的极限

                     复习函数的连续性定义、间断点的分类

           

（一）连续函数的运算

定理1(连续函数的四则运算法则)：若均在连续，则

及

（要求）

都在连续。

定理2（反函数的连续性）：如果在区间上单值，单增（减），且连续，那么其反函数也在对应的区间上单值，单增（减），且连续。

注1：亦为的反函数，如上知：在上有上述性质。

定理3：设当时的极限存在且等于，即，又设在处连续，那么，当时，复合函数的极限存在，且等于，即                      。

注2：可类似讨论时的情形。

定理4：设函数在点连续，且，函数在点连续，那么，复合函数在点处连续。

注3：定理3、4说明与的次序可交换。

注4：在定理3中代入，即得定理4。

（二） 初等函数的连续性

我们已知道在其定义域内是连续的，由定理2知和在其定义域也是连续的。

可证明指数函数，在其定义域内是严格单调且连续的，进而有对数函数在其定义域是连续的。

又（为常数），由定理4知：在内是连续的，当取有理数时，见例1，总之在定义域内是连续的。

综合以上结果，得：基本初等函数在其定义域内都是连续的，由基本初等函数的连续性，及定理1～4，即得：

结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

注1：定义区间为包含在定义域内的区间；

 2：在§1.9，我们是用极限来证明连续，现在可利用函数的连续来求极限。

第十节 闭区间上连续函数的性质

第二章 导数与微分

第一节导数的概念

教学目的: 1.使学生掌握导数定义的两种形式；左、右导数的概念；

          2.使学生掌握导数几何意义,会求曲线的切线方程;

          3.使学生理解函数的可导性与连续性之间的关系。

教学重点:导数的定义

一、引例

二、导数的定义

综合以上几个问题，它们均归纳为这一极限（其中为自变量在的增量，为相应的因变量的增量），若该极限存在，我们称它为在点的导数。

定义：设在点的某邻域内有定义，且当自变量在点有一增量（仍在该邻域中）时，函数相应地有增量，若增量比极限：即存在，就称其值为在点的导数，记为，，或。

即，这时，也称在点可导或有导数，或导数存在。

注 1：导数的常见形式还有：；

                          ；

                          ；

   2：反映的是曲线在上的平均变化率，而是在点的变化率，它反映了函数随而变化的快慢程度。

   3：这里与中的与是一个整体记号，而不能视为分子或与分母，待到后面再讨论。

   4：若极限即不存在，就称在点不可导。特别地，若，也可称在的导数为，因为此时在点的切线存在，它是垂直于轴的直线。

若在开区间内的每一点处均可导，就称在内可导，且对，均有一导数值，这时就构造了一新的函数，称之为在内的导函数，记为，或，，等。

事实上，    或

5：上两式中，为内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而与是变量。但在导函数中，是变量。

 6：在的导数就是导函数在点的值，不要认为是；

 7：为方便起见，导函数就称为导数，而是在点的导数。

三、求导数举例

注 1：等最后讲到反函数求导时，可将作为的反函数来求导；

  2：一般地说，求导有四步：

（1）给出；

（2）算出；

（3）求增量比；

（4）求极限。

四、左、右导数

定义：存在，就称其值为在点的右（左）导数，并记为，即

    。

定理1：在点可导在点的左导数和右导数均存在，且相等，即

                    。

注 1：[例8]也说明左可导又右可导，也不能保证可导；

      2：左、右导数统称为单侧导数；

      3：若在内可导，且在点右可导，在点左可导，即存在，就称在上可导。

四、导数的几何意义

    由前面的讨论知：：函数在的导数就是该曲线在点处的切线斜率，即，或为切线的倾角。从而，得切线方程为。若，或  切线方程为：。过切点，且与点切线垂直的直线称为在点的法线。如果，法线的斜率为，此时，法线的方程为：。

    如果=0，法线方程为。

五、函数的可导性与连续性之间的关系

定理2：如果函数在点可导，那么在该点必连续。

注1：本定理的逆定理不成立，即连续未必可导。

      反例：在点连续，但不可导。

导数的概念

一、             导数概念的引入

问题Ⅰ：瞬时速度问题。

直线运动方程s=s(t)

时间间隔的平均速度

时刻的瞬时速度

问题Ⅱ：曲线切线的斜率。

 

二、             导数的定义

定义1：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在取得增量时，相应地函数y取得的增量，若极限存在，则称函数在点处可导，称这个极限为在点处的导数，记为

，，，

即

定义2（导函数）

导函数导数（值） 

      

求导法则

一、             函数的线性组合、积、商的求导法则

1．若，则  为常数

2．若，则

推广：

3．若，，

二、             反函数的导数

在单调、连续反函数在单调、连续。

，

第二节  函数的求导法则

教学目的：1.使学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则；

2使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则；

3使学生熟练掌握初等函数的求导公式。

教学重点：初等函数的求导公式、复合函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

定理 1：若函数和在点都可导，则在点也可导，且

        。

注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去。

   2：本定理的结论也常简记为。

定理2：若和在点可导，则在点可导，且有。

注 1：若取为常数，则有：；

   2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如：

     

      等。

定理3：若都在点可导，且，则在点也可导，且。

注1：本定理也可通过，及的求导公式来得；

2：本公式简化为；

3：以上定理1~3中的，若视为任意，并用代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数公式。

二、反函数的导数法则

定理1：设为的反函数，若在的某邻域内连续，严格单调，且，则在（即点有导数），且。

注1：，因为在点附近连续，严格单调；

  2：若视为任意，并用代替，使得或，其中均为整体记号，各代表不同的意义；

 3：和的“′”均表示求导，但意义不同；

 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数；

 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。

三、初等函数的求导公式

1、  常数和基本初等函数的求导公式：

（1）                                （2）

（3）                          （4）

（5）                         （6）

（7）                     （8）

（9）                          （10）

（11）                       （12）

（13）                    （14）

（15）                      （16）

（17）                            （18）

（19）

（20）

（21）

（22）

四、复合函数的求导法则

复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。

定理2（复合函数求导法则）：如果在点可导，且在 点也可导，那么，以为外函数，以为内函数，所复合的复合函数在点可导，且，或

注1：若视为任意，并用代替，便得导函数：

      ，或

      或。

   2：与不同，前者是对变量求导，后者是对变量求导，注意区别。

   3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。

   4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如：

      等。

小结：

1 、函数的四则运算的求导法则：

设，则

(i)                              (ii) 

(iii)                             (iv) 

2、复合函数的求导法则：

设的导数为：     或

  或  

第三节初等函数的求导问题

双曲函数与反双曲函数的导数

第四节  高阶导数

教学目的：使学生掌握高阶导数的运算法则，熟记一些常见函数的高阶导数公式；

教学重点：高阶导数的求法。

（一）高阶导数的定义：

    前面讲过，若质点的运动方程，则物体的运动速度为，或，而加速度是速度对时间的变化率，即是速度对时间的导数：或，由上可见，加速度是的导函数的导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下列定义：

定义：若函数的导函数在点可导，就称在点的导数为函数在点处的二阶导数，记为，即，此时，也称函数在点处二阶可导。

注1：若在区间上的每一点都二次可导，则称在区间上二次可导，并称为在上的二阶导函数，简称二阶导数；

   2：仿上定义，由二阶导数可定义三阶导数，由三阶导数可定义四阶导数，一般地，可由阶导数定义阶导数；

   3：二阶以上的导数称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为：，，或与或；

   4：开始所述的加速度就是对的二阶导数，依上记法，可记或；

   5：未必任何函数所有高阶都存在；

   6：由定义不难知道，对，其导数（也称为一阶导数）的导数为二阶导数，二阶导数的导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，一般地，阶导数的导数为阶导数，否则，因此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导方法就可以了。

    

（二）高阶导数的运算法则

(1)，

(2)，

   ……，

  +。其中。             Leibinz公式

第五节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

                  一、隐函数的导数

二、对数求导法

三、参数方程所确定的函数的导数

一、         由参数方程确定的函数的导数

      表示圆

二、             相关变化率

，，且x与y之间存在联系，从而，之间也存在一定关系。

第六节函数的微分

教学目的：1.理解函数微分的定义；

          2.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性;

          3.会求函数的微分.

教学重点：求函数的微分

                     一、微分的定义

定义：设函数在的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量时，如果函数的增量可以表示为

其中A是与有关而与无关的常数，是比高阶的无穷小量，则函数在点处可微，称为微分，即

定理：函数在点处可微的定义的充分必要条件是函数在点处可导。

证：若可微，，    

若可导， ，，

可导可微连续极限存在

一、      微分公式与运算法则

微分形式不变性：

故                        

二、微分的意义与应用

微分任何意义如图所示。

，

由                                       ，

令，，则有

特别地，当，很小时，有

第三章中值定理与导数的应用

第一节    中值定理

教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。

教学重点：罗尔定理、拉格朗日定理的应用。

                    一、罗尔定理

定理1：若函数f(x) 满足：（i）f(x) 在 [a,b] 上连续；（ii）f(x) 在（a,b）可导，（iii）f(a) =f(b), 则在（a,b）内至少存在一点，使得f()=0.

注 1：定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。

   2：罗尔定理中的点不一定唯一。事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数在点处取得最大值或最小值，则有。

   3：定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直于轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于轴。

                    二、 拉格朗日中值定理

在罗尔定理中，第三个条件为(iii)，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是拉格朗日中值定理：

定理2：若函数满足：(i)在上连续；(ii)在上可导；则在内至少存在一点，使得        

若此时，还有，  。可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证明之。

注 1：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广；

   2：定理中的结论，可以写成，此式也称为拉格朗日公式，其中可写成：  

              ……(3)                

若令                 ……(4)

   3：若，定理中的条件相应地改为：在上连续，在内可导，则结论为：       也可写成  

可见，不论哪个大，其拉格朗日公式总是一样的。这时，为介于之间的一个数，(4)中的不论正负，只要满足条件，(4)就成立。

   4：设在点处有一个增量，得到点，在以和为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有    

即       这准确地表达了和这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。

   5：几何意义：如果曲线在除端点外的每一点都有不平行于轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的联线。

由定理还可得到下列结论：

推论1：如果在区间上的导数恒为0，则在上是一个常数。

                            三、 柯西中值定理

定理3：若满足：

(i) 在上连续；

(ii) 在内可导；

(iii)在内恒不为0；

(iv)；

则在内至少存在一点，使得         。

注1：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令，就得到拉格朗日中值定理；

   2：几何意义：若用   （）表示曲线，则其几何意义同前一个。

第二节洛必达法则

第三节泰勒公式

教学目的：使学生了解泰勒公式，并会求简单函数的泰勒展开式。

教学重点：函数的泰勒展开式

        设在的某一开区间内具有直到阶导数，试求一个多项式

                  ……(1)

来近似表达，并且和在点有相同的函数值和直到阶导数的各阶导数，即：。

      下面确定的系数，通过求导，不难得到  

  ……(2)

这个即为所求。

Taylor中值定理：如果函数在的某区间内具有直到阶的导数，则当时，可表示为的一个多项式和一个余项之和：

 ……(3)

其中                               （介于与之间）

注1：（3）式称为按的幂展开到阶的Taylor公式，的表达式（4）称为Lagrange型余项；

    2：当时（3）变为： （介于与之间），这就是Lagrange公式；

    3：从（3）式可看出：用（2）式的多项式来近似表达，所产生的误差为，再由（4）式，不难看出：若在上，有，则有：，此时，即

    4：若特别地，取，这时（3）式变为：

                  …（5）

       这里  （介于与之间），我们称（5）为的Maclourin公式。

第四节函数单调性的判定法

单调函数是函数中的一个重要部分，单调增加（减少）函数是一条沿轴正向上升（下降）的曲线，曲线上各点处切线斜率都是非负的（非正的），即

    单增，则，若单减，则。

    下面来证明反之亦成立，设在上连续，在内可导，在内任取两点，在区间上应用Lagrange中值定理，故在内至少存在一点，使得：，因为 与同号，

（i）若在内，，则有，即，此时，单增；

（ii）若在内，，则有，即，此时，单减；

综和上述正反两方面，得：

判定法：设在上连续，在内可导，则：

    （1）在上单增的充要条件是；

    （2）在上单减的充要条件是。

注1：此“单增”或“单减”与课本上的意义有些区别，它是指：若，则有“”或“”或称“不减”或“不增”。而对时，有

    “”或“”时，称为“严格单增”或“严格单减”。在不特别要求下，也可称为“单增”或“单减”。

   2：若在内有，则在上严格递增（严格递减）；

      严格递增（i）；  （ii）在任何子区间上。

   3：可换成其它任何区间，包括无穷区间，结论成立。

第五节函数的极值与最值

                       （一）函数的极值

定义：设函数在点X₀的某邻域上有定义，若对有，（）

定义：设函数在点X₀处的得极大值（极小值）点X₀称为极大点（极小点），极大值，极小值统称为极值，极大点，极小点统称为极点。

显然在上一讲 [例3]中，X=0，X=1均为极点，注：极大点，极小点未必统一。

定理1：（极值的必要条件），若函数在点可导，且取得极值，则。

注： 1、一般地，在处有，就称为的驻点或稳定点，上定理1即是可导函数的极点必为稳定点。

2、定理1不是充分的即驻点未必是极点，及例：在=0处的情况。

3、定理1只对可导函数而言，对导数不存在的点，函数也可能取及极值，例：=∣x∣，在x=0点的导数不存在，但取得极小值。

4、证明可仿照Rolle 中值定理的证明，此处不证了。

如何判别在x₀点取得极值，有下二个定理：

定理2（判别法1），设连续，在x₀点连续，在x₀的某一定心邻域内可导

（Ⅰ）若当x∈（x₀ –σ，x₀ ）时，f′（x）≥0，当x∈（x₀，x₀ +σ）时，

f′（x）≤0，则f（x）在x₀点取得极大值。

（Ⅱ）若当x∈（x₀ –σ，x₀ ）时，f′（x）≤0，当x∈（x₀，x₀ +σ）时，

f′（x）≥0，则f（x）在x₀点取得极小值。

定理3（判别法2）设f（x）在x₀的某邻域内可导，且f（x₀）=0，f′（x₀）存在

（Ⅰ）若f″（x₀）＜0，则f（x）在x₀点取得极大值。

（Ⅱ）若f″（x₀）＞0，则f（x）在x₀点取得极小值。

（Ⅲ）若f″（x₀）=0，则此差别法2换效。

                  （二）函数的最大值与最小值

现讨论求最大值，最小值的问题，最大（小）值是一整体概念是指函数在定义域内取到的了最大数，最小数。与极大值，极小值不同。如果最大（小）值在定义域内部取得，则此最大（小）值必为极大（小）极，这时，最大（小）点必为导数不存在的点和驻点，另外最大（小）值还可能在定义域的端点上取得（若端点在定义域中的话）。

由此，若f（x）在定义域上取到最大（小）值。现给出求f（x）在区间Ⅰ上的最大（小）值办法：

（i）求出f（x）在Ⅰ上的所有驻点不可导点和端点。

（ii）求出f（x）在这些点上的函数值，再进行比较：最大（小）者即为所求的最大（小）值。

特别地，若f（x）在[a，b]上连续，可导，此时最大（小）值必在驻点和端点a、b中取得。

性质：设f（x）在区间Ⅰ内可导，且只有一个驻点x₀，且若f（x）在x₀点取得极大（小）值，则f（x）必在x₀点取得最大（小）值。

第六节曲线的凹凸与拐点

一、    曲线的凹凸与拐点

为了较准确地描出函数的图形，单知道函数的单调区间和极值是不行的，比如说，f（x）在[a，b]上单调，这时会出现图中的几种情况，l₁是 一段凸弧l₂是一段凹弧，l₃即有凸的部分，也有凹的部分，曲线具有这种凸和凹的性质，称为凸凹性。

从几何意义上看，凸弧具有这种特点：从中任取两点，连此两点的弦总在曲线的下方。进而不难知道，在（a，b）中任意取两个点函数在这两点处的函数值的平均值小于这两点的中点处的函数值。凹弧也有相仿的特点。

定义：设f（x）在[a，b]上连续，若对Vx₁，x₂∈（a，b）恒有：

f（x₁+x₂/2）＜f（x₁）+f（x₂）/2或f（x₁+x₂/2）＞f（x₁）+f（x₂）/2

这称为f（X）在[a，b]上的图形是凹的（凸的）或凹弧（凸弧）。

注：1、有的书也用此线的位置来定义。

2、上面等式有些书上带等号，例如对y=x⁴

定理：设f（x）在[a，b]上连续在[a，b]内具有一阶和二阶导数，

（i）若在[a，b]内，f″（x）＜0，则f（x）在[a，b]上的图形是凸的。

（ii）若在（a，b）内，f″（x）＜0，则f（x）在[a，b]上的图形是凹的。

 [例5]求                        的拐点。

 

解：

令y″=0   x=1，但此时，在x=1附近，不论x＞1还是x＜1，都有y″＞0，∴x=1不是拐点。然而，当x=0时，y″不存在，但当x＜0时，y″＜0，当x＞0时，y″＞0，由定义知，x=0为拐点。

[例6]讨论函数的凸性。

解：定义域：（），

当x=0时，f’(x)不存在，f”(x)不存在；当时，f”(x)=0。

列表讨论：

函数图形的描绘

根据前n节所学的知识，我们可较准确地画出函数的图，描绘函数图象的一般步骤：

1、确定函数的定义域，并求出f′（x），f″（x）

2、求出f′（x）=0和f″（x）=0的所有根，及不可导点，并用这些点将定义域分为若干个小区间。

3、确定f′（x）和f″（x）在这些子区间上的符号，并且由此确定的函数图形的升降，凹凸及极点和拐点。

4、确定水平，铅直渐近线，以及其它渐近线。

5、确定某些特殊点的坐标，比如：与坐标的交点。

6、沿x增大的方向按上讨论的结果，将点用曲线光滑连结起来，分点的坐标，以把图描得更准些，另外，还可以观察f（x）的奇偶性，周期性配合作用。

第七节曲率

第八节 方程的近似解

第四章 不定积分

第一节    不定积分的概念及其性质

一、原函数与不定积分的概念

    定义1：  如果在区间I上? 可导函数F(x)的导函数为f(x)? 即对任一xÎI? 都有

F¢(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx?

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数? 

  

    原函数存在定理：  如果函数f(x)在区间I上连续? 那么在区间I上存在可导函数F(x)? 使对任一x ÎI 都有

F¢(x)=f(x)?

    简单地说就是? 连续函数一定有原函数?

    两点说明?

    第一? 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)? 那么f(x)就有无限多个原函数? F(x)+C都是f(x)的原函数? 其中C是任意常数?

    第二? f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数? 即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函数? 则

F(x)-F(x)=C  (C为某个常数)?

   

定义2 ： 在区间I上? 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分? 记作

?

其中记号称为积分号? f(x)称为被积函数? f(x)dx称为被积表达式? x 称为积分变量?

    根据定义? 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数? 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分? 即

?

因而不定积分可以表示f(x)的任意一个原函数?

  

    积分曲线：? 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线?

    从不定积分的定义? 即可知下述关系?

        ?

或      ?

    又由于F(x)是F¢(x)的原函数? 所以

        ?

或记作  ?

    由此可见? 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算? 以记号表示）是互逆的? 当记号与d 连在一起时? 或者抵消? 或者抵消后差一个常数?

                        二、基本积分表

(1)(k是常数)?             (2)?

(3)?                    (4)?

(5)?                    (6)?

(7)?                 (8)?

(9)?         (10)?

(11)?              (12)?

(13)?             

    例4 ?

    例5 ?

例6 ?

                   三、不定积分的性质

    性质1：  函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和? 即

        ?

    这是因为, =f(x)+g(x).

    性质2：  求不定积分时? 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来? 即

                       (k是常数? k ¹0)?

第二节  不定积分的换元积分

一、第一类换元法

设f(u)有原函数F(u),  u=j(x) , 且j(x)可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有

dF[j(x)]=dF(u)=F ¢(u)du= F¢[j(x)] dj(x)?= F ¢[j(x) ] j¢(x)dx ,

所以   F ¢[?j(x) ] j¢(x)dx= F ¢[j(x)] dj(x)= F ¢(u)du= dF(u)=dF[j(x)],

因此   

                     .

即     

                      =[F(u)+C] _u=?(x) = F[?(x)]+C.

定理1  设f(u)具有原函数, u=j(x)可导, 则有换元公式

 .

    被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待, 从而微分等式?j¢(x)dx =du可以应用到被积表达式中.

    在求积分时, 如果函数g(x)可以化为g(x)= f[j(x) ] j¢(x)的形式, 那么

.

           二、第二类换元法

    定理2  设x =?(t)是单调的、可导的函数, 并且?¢(t)¹0. 又设f [?(t)]?¢(t)具有原函数F(t), 则有换元公式

.

其中t=?^??(x)是x=?(t)的反函数.

    这是因为

    补充公式:

(16),

????,

(18),

(19),

(20),

(21),

(22),

(23),

(24).

第三节不定积分的分部积分法

设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为

(uv)¢=u¢v+uv¢,

移项得                            uv¢=(uv)¢-u¢v.

    对这个等式两边求不定积分, 得

        , 或,

这个公式称为分部积分公式.

    分部积分过程:

.

   .

 第一换元法与分部积分法的比较:

 共同点是第一步都是凑微分

        ,

        .

哪些积分可以用分部积分法？

, , ;

, , ;

, .

,

.

第四节几种特殊类型函数的积分

教学目的：使学生掌握简单有理函数式、三角函数的有理式及简单无理函数的积分。

                 一、有理函数的积分

    有理函数的形式: 

    有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数:

  有理函数

当时，为有理假分式；时，为有理真分式。

有理假分式有理真分式分析法

    假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式.

                 

二、三角函数有理式的积分

    三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示,  故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式. 

    用于三角函数有理式积分的变换:

    把sin x、cos x表成的函数, 然后作变换:

        , 

        .

变换后原积分变成了有理函数的积分. 

 

                        三、简单无理函数的积分

无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去.

第五章 定积分

第一节  定积分概念与性质

一、定积分问题举例

    1.曲边梯形的面积

曲边梯形: 设函数y=f(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.

    求曲边梯形的面积的近似值:

    将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a, b]中任意插入若干个分点

a=x₀< x₁< x₂< × × ×< x_n-1< x_n=b,

把[a, b]分成n个小区间

[x₀, x₁], [x₁, x₂], [x₂, x₃], × × × , [x_n-1, x_n],

它们的长度依次为Dx₁= x₁-x₀ ,  Dx₂= x₂-x₁ , × × × , Dx_n= x_n-x_n-1 .

    经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形. 在每个小区间

[x_i-1, x_i]上任取一点x _i, 以[x_i-1, x_i]为底、f (x_i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2, × × × , n) , 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即

A»f (x ₁)Dx₁+ f (x ₂)Dx₂+× × ×+ f (x_n)Dx_n.

    求曲边梯形的面积的精确值:

    显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记

l=max{Dx₁, Dx₂,× × ×, Dx_n}, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令l®0. 所以曲边梯形的面积为

.

    

2.变速直线运动的路程

    设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔[T ₁, T ₂]上t的连续函数, 且v(t)³0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .

    求近似路程:

    我们把时间间隔[T ₁, T ₂]分成n 个小的时间间隔Dt_i, 在每个小的时间间隔Dt_i内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔Dt_i内某点x _i的速度v(t _i), 物体在时间间隔Dt_i内运动的距离近似为DS_i= v(t _i) Dt_i . 把物体在每一小的时间间隔Dt_i内运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T ₁ , T ₂]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是:

在时间间隔[T ₁ , T ₂]内任意插入若干个分点

T ₁=t₀< t ₁< t₂<× × ×< t_n-1< t_n=T ₂,

把[T ₁ , T ₂]分成n个小段

[t ₀, t ₁], [t ₁, t ₂], × × ×, [t_n-1, t _n] ,

各小段时间的长依次为

Dt ₁=t ₁-t ₀, Dt ₂=t ₂-t ₁,× × ×, Dt_n=t_n-t_n-1.

相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为

DS ₁, DS ₂, × × ×, DS _n.

    在时间间隔[t_i-1, t _i]上任取一个时刻t_i (t_i-1<t_i< t_i), 以t_i时刻的速度v(t_i)来代替[t_i-1, t _i]上各个时刻的速度, 得到部分路程DS_i的近似值, 即

DS_i= v(t_i) Dt_i   (i=1, 2, × × × , n).

于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即

;

    求精确值:

    记l = max{Dt ₁, Dt ₂,× × ×, Dt_n}, 当l®0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程

.

    设函数y=f(x)在区间[a, b]上非负、连续. 求直线x=a、x=b、y=0

及曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积.

    (1)用分点a=x₀<x₁<x₂< × × ×<x_n-1<x_n=b把区间[a, b]分成n个小区间:

[x₀, x₁], [x₁, x₂], [x₂, x₃], × × × , [x_n-1, x_n], 记Dx_i=x_i-x_i-1 (i=1, 2, × × × , n).

    (2)任取x _iÎ[x_i-1, x_i], 以[x_i-1, x_i]为底的小曲边梯形的面积可近似为

 (i=1, 2, × × × , n); 所求曲边梯形面积A的近似值为

                .

    (3)记l=max{Dx₁, Dx₂,× × ×, Dx_n}, 所以曲边梯形面积的精确值为

                .

    设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔[T ₁, T ₂]上t的连续函数,

且v(t)³0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .

    (1)用分点T₁=t₀<t₁<t₂<× × ×<t_n-1<t_n=T₂把时间间隔[T ₁ , T ₂]分成n个小时间

段: [t₀, t₁], [t₁, t₂], × × ×, [t_n-1, t_n] , 记Dt_i=t_i-t_i-1(i=1, 2, × × × , n).

    (2)任取t_iÎ[t_i-1, t_i], 在时间段[t_i-1, t_i]内物体所经过的路程可近似为v(t_i)Dt_i

(i=1, 2, × × × , n); 所求路程S 的近似值为

                .

    (3)记l=max{Dt₁, Dt₂,× × ×, Dt_n}, 所求路程的精确值为

                .

二、定积分定义

    抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义.

    定义：  设函数f(x)在[a, b]上有界, 在[a, b]中任意插入若干个分点

a=x₀< x₁< x₂< × × ×< x_n-1< x_n=b,

把区间[a, b]分成n个小区间

[x₀, x₁], [x₁, x₂], × × ×, [x_n-1, x_n] ,

各小段区间的长依次为

Dx₁=x₁-x₀, Dx₂=x₂-x₁,× × ×, Dx_n=x_n-x_n-1.

在每个小区间[x_i-1, x_i]上任取一个点x_i (x_i-1< x_i < x_i), 作函数值f (x_i)与小区间长度Dx_i的乘积

f (x_i) Dx_i (i=1, 2,× × ×, n) , 并作出和

.

记l = max{Dx₁, Dx₂,× × ×, Dx_n}, 如果不论对[a, b]怎样分法, 也不论在小区间[x_i-₁, x_i]上点x_i 怎样取法, 只要当l®0时, 和S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间[a, b]上的定积分, 记作,

即                           .

其中f (x)叫做被积函数, f (x)dx叫做被积表达式, x叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a, b]叫做积分区间.

  

 定义：    设函数f(x)在[a, b]上有界, 用分点a=x₀<x₁<x₂< × × ×<x_n-1<x_n=b把[a, b]分成n个小区间: [x₀, x₁], [x₁, x₂], × × ×, [x_n-1, x_n] , 记Dx_i=x_i-x_i-1(i=1, 2,× × ×, n).

    任x_iÎ[x_i-1, x_i] (i=1, 2,× × ×, n), 作和

                .

    记l=max{Dx₁, Dx₂,× × ×, Dx_n}, 如果当l®0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a, b]的分法和x_i的取法无关, 则称这个极限为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分, 记作,

即                        .

    根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为            .

    变速直线运动的路程为                .

    说明:

    (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即

.

    (2)和通常称为f (x)的积分和.

    (3)如果函数f (x)在[a, b]上的定积分存在, 我们就说f (x)在区间[a, b]上可积.

    函数f(x)在[a, b]上满足什么条件时, f (x)在[a, b]上可积呢？

    

定理1  设f (x)在区间[a, b]上连续, 则f (x) 在[a, b]上可积.

   

定理2  设f (x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x) 在[a, b]上可积.

   

定积分的几何意义:

    在区间[a, b]上, 当f(x)³0时, 积分在几何上表示由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=b 与x轴所围成的曲边梯形的面积; 当f(x)£0时, 由曲线y =f (x)、两条直线x=a、x=b 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;

        .

    当f (x)既取得正值又取得负值时, 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方, 而其它部分在x轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x轴上方的图形面积赋以正号, 在x轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分的几何意义为: 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和.

 

用定积分的定义计算定积分:

                             三、定积分的性质

    两点规定:

    (1)当a=b时, .

    (2)当a>b时, .

    性质1  函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即

        .

   性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即

        .

    这是因为.

        性质3  如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即

        .

    这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性.

    值得注意的是不论a ,b ,c的相对位置如何总有等式

       

成立. 例如, 当a<b<c时, 由于

        , 

于是有

        .

    性质4  如果在区间[ab]上f (x)º1 则

        .

    性质5  如果在区间[a, b]上 f (x)³0, 则

        (a<b).

    推论1  如果在区间[a, b]上 f (x)£ g(x) 则

        (a<b).

    这是因为g (x)-f (x)³0, 从而

        ,

所以

        .

    推论2 (a<b).

    这是因为-|f (x)| £ f (x) £ |f (x)|,  所以

        , 

即      | .

    性质6  设M 及m 分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最小值, 则

         (a<b).

    证明  因为 m£ f (x)£ M , 所以

      , 

从而

        .

    性质7  (定积分中值定理)  如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 则在积分区间[a, b]上至少存在一个点x , 使下式成立:

        .

这个公式叫做积分中值公式.

    证明  由性质6 

        ,

各项除以b-a  得

        ,

再由连续函数的介值定理, 在[a, b]上至少存在一点x , 使

        ,

于是两端乘以b-a得中值公式

        .

    积分中值公式的几何解释:

    应注意: 不论a<b还是a>b, 积分中值公式都成立.

第二节 微积分基本定理

一、变上限积分及其导数

    设函数f(x)在区间[a, b]上连续, 并且设x为[a, b]上的一点.?我们把函数f(x)在部分区间[a, x]上的定积分

       

称为积分上限的函数. 它是区间[a, b]上的函数, 记为

F(x), 或F(x)=.

    

定理1  如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数

F(x)

在[a, b]上具有导数, 并且它的导数为

F¢(x)(a£x<b).

    简要证明：  若xÎ(a, b), 取?x使x+?xÎ(a, b).

           DF=F(x+?x)-F(x)  

        

        ,

应用积分中值定理, 有DF=f (?)?x,

其中?在x 与x+?x之间, ?x®0时, ?®x . 于是

        F¢(x).

  若x=a , 取?x>0, 则同理可证F₊¢(x)= f(a); 若x=b , 取?x<0, 则同理可证F_-¢(x)= f(b).

   

定理2  如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数

        F(x) 

就是f (x)在[a, b]上的一个原函数.

    定理的重要意义? 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的, 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.

                         

二、牛顿--莱布尼茨公式

    定理3：  如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则

.

此公式称为牛顿--莱布尼茨公式, 也称为微积分基本公式.

    这是因为F(x)和F(x)=都是f(x)的原函数,

所以存在常数C, 使

        F(x)-F(x)=C (C为某一常数).

由F(a)-F(a)=C及F(a)=0, 得C=F(a), F(x)-F(x)=F(a).

由F(b)-F(b)=F(a), 得F(b)=F(b)-F(a), 即

        .

    证明: 已知函数F(x) 是连续函数f(x) 的一个原函数, 又根据定理2, 积分上限函数

        F(x)=

也是f(x)的一个原函数. 于是有一常数C, 使

        F(x)-F(x)=C (a£x£b).

当x=a时, 有F(a)-F(a)=C, 而F(a)=0, 所以C=F(a); 当x=b 时, F(b)-F(b)=F(a),

所以F(b)=F(b)-F(a), 即

        .

    为了方便起见, 可把F(b)-F(a)记成, 于是

        .

    进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.

 

  

第三节 定积分换元积分法与分部积分法

一、换元积分法

    定理  假设函数f(x)在区间[a, b]上连续, 函数x=j(t)满足条件:

    (1)j(? a?)=a , j(b)=b;

    (2)j(t)在[a, b](或[b, a])上具有连续导数, 且其值域不越出[a, b],

则有

.

这个公式叫做定积分的换元公式.

                        

二、分部积分法

    设函数u(x)、v(x)在区间[a, b]上具有连续导数u¢(x)、v¢(x), 由

(uv)¢=u¢v +uv¢得uv¢=uv-u¢v ,

等式两端在区间[a, b]上积分得

, 或.

这就是定积分的分部积分公式.

分部积分过程:

.

                   

 

 

 

 

第四节    广义积分

一、无穷区间上的广义积分

    定义1：  设函数f(x)在区间[a, +¥)上连续, 取b>a . 如果极限

存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a, +¥)上的广义积分, 记作, 即

.

这时也称广义积分收敛.

    如果上述极限不存在, 函数f(x)在无穷区间[a, +¥)上的广义积分就没有意义, 此时称广义积分发散.

    类似地, 设函数f(x)在区间(-¥, b ]上连续, 如果极限

(a<b)

存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区间(-¥, b ]上的广义积分, 记作, 即

.

这时也称广义积分收敛. 如果上述极限不存在, 则称广义积分发散.

   

设函数f(x)在区间(-¥, +¥)上连续, 如果广义积分

和

都收敛, 则称上述两个广义积分的和为函数f(x)在无穷区间(-¥, +¥)上的广义积分, 记作, 即

                .

这时也称广义积分收敛.

    如果上式右端有一个广义积分发散, 则称广义积分发散.

  

 定义1¢：  连续函数f(x)在区间[a, +¥)上的广义积分定义为

.

    在广义积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此广义积分收敛;  否则称此广义积分发散.

    类似地, 连续函数f(x)在区间(-¥, b]上和在区间(-¥, +¥)上的广义积分定义为

.

.

    广义积分的计算: 如果F(x)是f(x)的原函数, 则

.

可采用如下简记形式:

.

类似的

,

.

 

                   二、无界函数的广义积分

    定义2  设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 而在点a的右邻域内无界. 取e>0, 如果极限

存在, 则称此极限为函数f(x)在(a, b]上的广义积分, 仍然记作, 即

.

这时也称广义积分收敛.

    如果上述极限不存在, 就称广义积分发散.

    类似地, 设函数f(x)在区间[a, b)上连续, 而在点b 的左邻域内无界. 取e>0, 如果极限

存在, 则称此极限为函数f(x)在[a, b)上的广义积分, 仍然记作, 即

.

这时也称广义积分收敛. 如果上述极限不存在, 就称广义积分发散.

    设函数f(x)在区间[a, b]上除点c(a<c<b)外连续, 而在点c的邻域内无界. 如果两个广义积分

与

都收敛, 则定义

.

否则, 就称广义积分发散.

    瑕点: 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界, 那么点a称为函数f(x)的瑕点, 也称为无界

  

 定义2¢ ： 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点. 函数f(x)在(a, b]上的广义积分定义为

.

    在广义积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此广义积分收敛;  否则称此广义积分发散.

    类似地,函数f(x)在[a, b)(b为瑕点)上的广义积分定义为

.

    函数f(x)在[a, c)È(c, b] (c为瑕点)上的广义积分定义为

 .

广义积分的计算:

    如果F(x)为f(x)的原函数, 则有

         

        .

可采用如下简记形式:

.

类似地, 有

,

当a为瑕点时,;

当b为瑕点时,.

当c (a<c<b )为瑕点时,

        .

 

  

 

第六章 定积分的应用

定积分的元素法

    再看曲边梯形的面积:

    设y=f (x)³0 (xÎ[a, b]). 如果说积分,

是以[a, b]为底的曲边梯形的面积, 则积分上限函数

就是以[a, x]为底的曲边梯形的面积. 而微分dA(x)=f (x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值DA»f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素.

    以[a, b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式, 以

[a, b]为积分区间的定积分:

 .

    一般情况下, 为求某一量U, 先将此量分布在某一区间[a, b]上, 分布在[a, x]上的量用函数U(x)表示, 再求这一量的元素dU(x), 设dU(x)=u(x)dx, 然后以u(x)dx为被积表达式, 以[a, b]为积分区间求定积分即得

.

    用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).

定积分在几何上的应用

                             一、平面图形的面积

    1．直角坐标情形

    设平面图形由上下两条曲线y=f_上(x)与y=f_下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成, 则面积元素为[f_上(x)- f_下(x)]dx, 于是平面图形的面积为

.

    类似地, 由左右两条曲线x=j_左(y)与x=j_右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成设平面图形的面积为

.

    2．极坐标情形

    曲边扇形及曲边扇形的面积元素:

    由曲线r=j(q)及射线q=a, q=b围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为

.

曲边扇形的面积为

.

 

                              二、体    积

    1．旋转体的体积

    旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.

    常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体.

    旋转体都可以看作是由连续曲线y=f (x)、直线x=a 、a=b 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.

    设过区间[a, b]内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x), 当平面左右平移dx后, 体积的增量近似为DV=p[f (x)]²dx ,  于是体积元素为

        dV = p[f (x)]²dx ,

    旋转体的体积为

    .

 

        .

 

    2．平行截面面积为已知的立体的体积

    设立体在x轴的投影区间为[a, b], 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截, 截面面积为A(x), 则体积元素为A(x)dx , 立体的体积为

        .

 

                       三、平面曲线的弧长

    设A, B 是曲线弧上的两个端点. 在弧AB上任取分点A=M₀, M₁, M₂, × × × , M_i-1, M_i, × × ×, M_n-1, M_n=B , 并依次连接相邻的分点得一内接折线. 当分点的数目无限增加且每个小段M_i-1M_i都缩向一点时, 如果此折线的长的极限存在, 则称此极限为曲线弧AB的弧长, 并称此曲线弧AB是可求长的.

    定理  光滑曲线弧是可求长的.

    1．直角坐标情形

    设曲线弧由直角坐标方程

y=f(x)  (a£x£b)

给出, 其中f(x)在区间[a, b]上具有一阶连续导数. 现在来计算这曲线弧的长度.

    取横坐标x为积分变量, 它的变化区间为[a, b]. 曲线y=f(x)上相应于[a, b]上任一小区间[x, x+dx]的一段弧的长度, 可以用该曲线在点(x, f(x))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替. 而切线上这相应的小段的长度为

,

从而得弧长元素(即弧微分)

.

以为被积表达式, 在闭区间[a, b]上作定积分, 便得所求的弧长为

.

    在曲率一节中, 我们已经知道弧微分的表达式为, 这也就是弧长元素. 因此

 

    2．参数方程情形

    设曲线弧由参数方程x=j(t)、y=y(t) (a£t£b )给出, 其中j(t)、y(t)在[a, b]上具有连续导数.

    因为, dx=j¢(t)dt , 所以弧长元素为

.

所求弧长为

.

  

    3．极坐标情形

    设曲线弧由极坐标方程

r=r(q)  (a £ q £ b )

给出, 其中r(q)在[a, b]上具有连续导数. 由直角坐标与极坐标的关系可得

        x=r(q)cosq ,  y=r(q)sinq(a £q £ b ).

于是得弧长元素为

. 

从而所求弧长为

.

 

功水压力和引力

平均值

第七章空间解析几何与向量代数

第一节 空间直角坐标系

第二节 向量及其加减法 向量与数的乘法

第三节 向量的坐标

第四节 数量积 向量积 混合积

第五节 曲面及其方程

第六节 空间曲线及其方程

第七节 平面及其方程

第八节 空间直线及其方程

第九节 二次曲面

第八章 多元函数微分法及其应用

第一节  多元函数的基本概念

教学目的：1 使学生了解平面点集的有关概念；

          2使学生了解二元函数概念；

          3 使学生了解二元函数的极限与连续性概念。

教学重点：二元函数的极限与连续性概念。

一、平面点集

  

    由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P与有序二元实数组(x, y)之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x, y)与平面上的点P视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.

二元的序实数组(x, y)的全体, 即R²=R´R={(x, y)|x, yÎR}就表示坐标平面.

    坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为平面点集, 记作

E={(x, y)| (x, y)具有性质P}.

    邻域:

    设P₀(x₀, y₀)是xOy平面上的一个点, d是某一正数. 与点P₀(x₀, y₀)距离小于d的点P (x, y)的全体, 称为点P₀的d邻域, 记为U (P₀, d), 即

        或.

    邻域的几何意义:U (P₀, d)表示xOy平面上以点P₀(x₀, y₀)为中心、d >0为半径的圆的内部的点P (x, y)的全体.

    点P₀的去心d邻域, 记作, 即

.

    注:如果不需要强调邻域的半径d, 则用U (P₀)表示点P₀的某个邻域, 点P₀的去心邻域记作.

    点与点集之间的关系:

    任意一点PÎR²与任意一个点集EÌR²之间必有以下三种关系中的一种:

    (1)内点: 如果存在点P的某一邻域U(P), 使得U(P)ÌE, 则称P为E的内点;

    (2)外点: 如果存在点P的某个邻域U(P), 使得U(P)ÇE=Æ, 则称P为E的外点;

    (3)边界点: 如果点P的任一邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点, 则称P点为E的边点.

    E的边界点的全体, 称为E的边界, 记作¶E.

    E的内点必属于E; E的外点必定不属于E; 而E的边界点可能属于E, 也可能不属于E .

    聚点:

    如果对于任意给定的d>0, 点P的去心邻域内总有E中的点, 则称P是E的聚点.

    由聚点的定义可知, 点集E的聚点P本身, 可以属于E, 也可能不属于E .

  开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E为开集.

    闭集: 如果点集的余集E^c为开集, 则称E为闭集.

    开集的例子: E={(x, y)|1<x²+y²<2}.

    闭集的例子: E={(x, y)|1£x²+y²£2}.

    集合{(x, y)|1<x²+y²£2}既非开集, 也非闭集.

    连通性: 如果点集E内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E, 则称E为连通集.

    区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E={(x, y)|1<x²+y²<2}.

    闭区域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 例如E = {(x, y)|1£x²+y²£2}.

    有界集: 对于平面点集E, 如果存在某一正数r, 使得

        EÌU(O, r),

其中O是坐标原点, 则称E为有界点集.

    无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.

   

                          二、二元函数概念

      定义1： 设D是R²的一个非空子集, 称映射f : D®R为定义在D上的二元函数, 通常记为

z=f(x, y), (x, y)ÎD (或z=f(P), PÎD)

其中点集D称为该函数的定义域, x, y称为自变量, z称为因变量.

    上述定义中, 与自变量x、y的一对值(x, y)相对应的因变量z的值, 也称为f在点(x, y)处的函数值, 记作f(x, y), 即z=f(x, y).

    值域: f(D)={z| z=f(x, y), (x, y)ÎD}.

    函数的其它符号: z=z(x, y), z=g(x, y)等.

    关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u=f(x)时, 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如,

    函数z=ln(x+y)的定义域为{(x, y)|x+y>0}(无界开区域);

    函数z=arcsin(x²+y²)的定义域为{(x, y)|x²+y²£1}(有界闭区域).

    二元函数的图形: 点集{(x, y, z)|z=f(x, y), (x, y)ÎD}称为二元函数z=f(x, y)的图形, 二元函数的图形是一张曲面.

    例如 z=ax+by+c是一张平面, 而函数z=x²+y²的图形是旋转抛物面.

   

                    三.、 二元函数的极限

    与一元函数的极限概念类似, 如果在P(x, y)®P₀(x₀, y₀)的过程中, 对应的函数值f(x, y)无限接近于一个确定的常数A, 则称A是函数f(x, y)当(x, y)®(x₀, y₀)时的极限.

    定义2：

    设二元函数f(P)=f(x, y)的定义域为D, P₀(x₀, y₀)是D的聚点. 如果存在常数A, 对于任意给定的正数e总存在正数d, 使得当时, 都有

|f(P)-A|=|f(x, y)-A|<e

成立, 则称常数A为函数f(x, y)当(x, y)®(x₀, y₀)时的极限, 记为

, 或f(x, y)®A ((x, y)®(x₀, y₀)),

也记作

或f(P)®A(P®P₀).

    上述定义的极限也称为二重极限.

 

    必须注意:

    (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P₀时, 函数都无限接近于A.

    (2)如果当P以两种不同方式趋于P₀时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.

  

    极限概念的推广: 多元函数的极限.

    多元函数的极限运算法则:  与一元函数的情况类似.

  

                          四、二元函数的连续性

    定义3： 设二元函数f(P)=f (x, y)的定义域为D, P₀(x₀, y₀)为D的聚点, 且P₀ÎD . 如果

                    ,

则称函数f (x, y)在点P₀(x₀, y₀)连续.

    如果函数f (x, y)在D的每一点都连续, 那么就称函数f (x, y)在D上连续, 或者称f (x, y)是D上的连续函数.

    二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去.

   

    类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时, 它们在各自的定义域内都是连续的.

    定义4：设函数f(x, y)的定义域为D, P₀(x₀, y₀)是D的聚点. 如果函数f(x, y)在点P₀(x₀, y₀)不连续, 则称P₀(x₀, y₀)为函数f(x, y)的间断点.

    注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.

    可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 多元连续函数的复合函数也是连续函数.

    多元初等函数:与一元初等函数类似, 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.

    例如, sin(x+y), 都是多元初等函数.

    一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.

    由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f(P)在点P₀处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则

        .

       二元连续函数的性质:

    性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的二元连续函数, 必定在D上有界, 且能取得它的最大值和最小值.

    性质1就是说, 若f(P)在有界闭区域D上连续, 则必定存在常数M>0, 使得对一切PÎD, 有|f(P)|£M; 且存在P₁、P₂ÎD, 使得

                  f(P₁)=max{f(P)|PÎD},  f(P₂)=min{f(P)|PÎD},  

  

 性质2 (介值定理) 在有界闭区域D上的二元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.

                                 第二节  偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

    对于二元函数z=f(x, y), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y固定, 这时它就是x的一元函数, 这函数对x的导数, 就称为二元函数z=f(x, y)对于x的偏导数.　　

    定义： 设函数z=f(x, y)在点(x₀, y₀)的某一邻域内有定义, 当y固定在y₀而x在x₀处有增量Dx时, 相应地函数有增量

f(x₀+Dx, y₀)-f(x₀, y₀).

如果极限

 

存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x₀, y₀)处对x的偏导数, 记作

, , , 或.　　

例如

.

类似地, 函数z=f(x, y)在点(x₀, y₀)处对y 的偏导数定义为

,

记作  , , , 或f_y(x₀, y₀). 

    

偏导函数: 如果函数z=f(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x、y的函数, 它就称为函数z=f(x, y)对自变量的偏导函数, 记作

, , , 或.

偏导函数的定义式: .

    类似地, 可定义函数z=f(x, y)对y的偏导函数, 记为

, , z_y, 或.

偏导函数的定义式:.

    求时, 只要把y暂时看作常量而对x求导数; 求时, 只要把x暂时看作常量而对y求导数.

  

    偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义为

,

其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.

   

      二元函数z=f(x, y)在点(x₀, y₀)的偏导数的几何意义:

    f_x(x₀, y₀)=[f(x, y₀)]_x¢是截线z=f(x, y₀)在点M₀处切线T­_x对x轴的斜率.

    f_y(x₀, y₀) =[f(x₀, y)]_y¢是截线z=f(x₀, y)在点M₀处切线T­_y对y轴的斜率.     

    偏导数与连续性:对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续.

    类似地, 可定义函数z=f(x, y)对y的偏导函数, 记为

            , , z_y, 或.

偏导函数的定义式:.

                   二.  高阶偏导数

    设函数z=f(x, y)在区域D内具有偏导数

,  ,

那么在D内f_x(x, y)、f_y(x, y)都是x, y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z=f(x, y)的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数

    如果函数z=f(x, y)在区域D内的偏导数f_x(x, y)、f_y(x, y)也具有偏导数,

则它们的偏导数称为函数z=f(x, y)的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的

不同有下列四个二阶偏导数

        , ,

        , .　　

其中, 称为混合偏导数.　

, , , .　　

　同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数.　

　二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.　　

  

    定理： 如果函数z=f(x, y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.

    类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.　　

 

 

 

 

                                                          第三节  全微分

一、全微分的定义

    根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有

    偏增量与偏微分:

             f(x+Dx, y)-f(x, y)»f_x(x, y)Dx,

f(x+Dx, y)-f(x, y)为函数对x的偏增量, f_x(x, y)Dx为函数对x的偏微分;

             f(x, y+Dy)-f(x, y)»f_y(x, y)Dy,  

f(x, y+Dy)-f(x, y)为函数)对y的偏增量, f_y(x, y)Dy为函数对y的偏微分.

    全增量:   Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y). 

    计算全增量比较复杂,  我们希望用Dx、Dy的线性函数来近似代替之.

    定义:  如果函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量

                Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)

可表示为

                   ,

其中A、B不依赖于Dx、Dy 而仅与x、y 有关, 则称函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 而称ADx+BDy为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即

dz=ADx+BDy.

    如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数在D内可微分.

   

可微与连续:可微必连续, 但偏导数存在不一定连续.

    这是因为,  如果z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则

        Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)=ADx+BDy+o(r),

于是   ,

从而   .

因此函数z=f(x, y)在点(x, y)处连续.

    

可微条件:

    定理1(必要条件): 

    如果函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导数、必定存在, 且函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分为

.

   

    简要证明: 设函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分. 于是有Dz=ADx+BDy+o(r). 特别当Dy=0时有

        f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|).

上式两边各除以Dx, 再令Dx®0而取极限, 就得

        ,

从而存在, 且. 同理存在, 且. 所以.

    偏导数、存在是可微分的必要条件,但不是充分条件.

   

    定理2(充分条件):

    如果函数z=f(x, y)的偏导数、在点(x, y)连续, 则函数在该点可微分.

定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.

    按着习惯, Dx、Dy分别记作dx、dy, 并分别称为自变量的微分, 则函数z=f(x, y)的全微分可写作

.

    二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理.  叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u=f (x, y, z) 的全微分为

.

  

所以   .

第四节   多元复合函数的求导法则

一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形

    定理1:如果函数u=j(t)及v=y(t)都在点t可导, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f[j(t), y(t)]在点t可导, 且有

.

    简要证明1: 因为z=f(u, v)具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有

.

又因为u=j(t)及v=y(t)都可导, 因而可微, 即有

, ,

代入上式得

,

从而    .

   

             二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形

    定理2: 如果函数u=j(x, y), v=y(x, y)都在点(x, y)具有对x及y的偏导数, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f [j(x, y), y(x, y)]在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有

, .

    推广:设z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 则

        , .

   

          三、复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形

    定理3: 如果函数u=j(x, y)在点(x, y)具有对x及对y的偏导数, 函数v=y(y)在点y可导, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f[j(x, y), y(y)]在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有

, .

  全微分形式不变性:  设z=f(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分

.

如果z=f(u, v)具有连续偏导数, 而u=j(x, y), v=y(x, y)也具有连续偏导数, 则

                       

.

由此可见, 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.

   

第五节   隐函数的求导法则

                       一、一个方程的情形

    隐函数存在定理1:

    设函数F(x, y)在点P(x₀, y₀)的某一邻域内具有连续偏导数, F(x₀, y₀)=0, F_y(x₀, y₀)¹0, 则方程F(x, y)=0在点(x₀, y₀)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x), 它满足条件y₀=f(x₀), 并有

                                    . 

    求导公式证明: 将y=f(x)代入F(x, y)=0, 得恒等式

F(x, f(x))º0,

等式两边对x求导得

,

由于F_y连续, 且F_y(x₀, y₀)¹0, 所以存在(x₀, y₀)的一个邻域, 在这个邻域同F_y ¹0, 于是得

.

    隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F(x, y)=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F(x, y, z)=0可以确定一个二元隐函数.

  

 隐函数存在定理2

    设函数F(x, y, z)在点P(x₀, y₀, z₀)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F(x₀, y₀, z₀)=0, F_z(x₀, y₀, z₀)¹0 , 则方程F(x, y, z)=0在点(x₀, y₀, z₀)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x, y), 它满足条件z₀=f(x₀, y₀), 并有

                               , . 

    公式的证明: 将z=f(x, y)代入F(x, y, z)=0, 得F(x, y, f(x, y))º0,

将上式两端分别对x和y求导, 得

, .

因为F_z连续且F_z(x₀, y₀, z₀)¹0, 所以存在点(x₀, y₀, z₀)的一个邻域, 使F_z¹0, 于是得

, .

    二、方程组的情形

       隐函数存在定理3 

    设F(x, y, u, v)、G(x, y, u, v)在点P(x₀, y₀, u₀, v₀)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F(x₀, y₀, u₀, v₀)=0, G(x₀, y₀, u₀, v₀)=0, 且偏导数所组成的函数行列式:

在点P(x₀, y₀, u₀, v₀)不等于零, 则方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0在点P(x₀, y₀, u₀, v₀)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u(x, y), v=v(x, y), 它们满足条件u₀=u(x₀, y₀), v₀=v(x₀, y₀), 并有

,

,

,

.

    隐函数的偏导数:

    设方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0确定一对具有连续偏导数的

二元函数u=u(x, y), v=v(x, y), 则

偏导数, 由方程组确定;

    偏导数, 由方程组确定. 

   

第六节微分法在几何上的应用

第七节方向导数与梯度

第八节多元函数的极值及其求法

  

第九章 重积分

               第一节   二重积分的概念与性质

                  一、二重积分的概念

    1.曲顶柱体的体积

    设有一立体, 它的底是xOy面上的闭区域D, 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面, 它的顶是曲面z=f(x, y), 这里f(x, y)³0且在D上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 

    首先, 用一组曲线网把D分成n个小区域             

Ds ₁, Ds ₂, × × × , Ds_n.

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体. 在每个Ds_i中任取一点(x_i, h_i), 以f (x_i, h_i)为

高而底为Ds_i的平顶柱体的体积为

f (x_i, h_i) Ds_i (i=1, 2, × × × , n ).

这个平顶柱体体积之和

.

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即

.

其中l是个小区域的直径中的最大值.

    2. 平面薄片的质量.

    设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D, 它在点(x, y)处的面密度为r(x, y), 这里r(x, y)>0且在D上连续. 现在要计算该薄片的质量M.

    用一组曲线网把D分成n个小区域                 

Ds ₁, Ds ₂, × × × , Ds_n.

    把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量:

r(x_i, h_i)Ds_i .

    各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值:

.

    将分割加细, 取极限, 得到平面薄片的质量

.

其中l是个小区域的直径中的最大值.

    定义: 设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数. 将闭区域D任意分成n个小闭区域

Ds ₁, Ds ₂, × × × , Ds_n.

其中Ds_i表示第i个小区域, 也表示它的面积. 在每个Ds_i上任取一点(x_i, h_i), 作和

.

如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在闭区域D上的二重积分, 记作, 即

.

f(x, y)被积函数, f(x, y)ds被积表达式, ds面积元素, x, y积分变量, D积分区域, 积分和.

   

直角坐标系中的面积元素:

    如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D, 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域Ds_i的边长为Dx_i和Dy_i, 则Ds_i=Dx_iDy_i, 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素ds 记作dxdy, 而把二重积分记作

其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.

   

二重积分的存在性: 当f(x, y)在闭区域D上连续时, 积分和的极限是存在的,  也就是说函数f(x, y)在D上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f(x, y)在闭区域D上连续, 所以f(x, y)在D上的二重积分都是存在的.

   

二重积分的几何意义: 如果f(x, y)³0, 被积函数f(x, y)可解释为曲顶柱体的在点(x, y)处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f(x, y)是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的.

                      二.  二重积分的性质

    性质1:  设c₁、c₂为常数, 则

        .

    性质2:如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域, 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和. 例如D分为两个闭区域D₁与D₂, 则

.

    性质3:(s为D的面积).

    性质4: 如果在D上, f(x, y)£g(x, y), 则有不等式

.

    特殊地有

.

    性质5: 设M、m分别是f(x, y)在闭区域D上的最大值和最小值, s为D的面积, 则有

.

    性质6(二重积分的中值定理): 设函数f(x, y)在闭区域D上连续, s 为D的面积, 则在D上至少存在一点(x, h)使得

.

第二节二重积分的计算

      一、利用直角坐标计算二重积分

先介绍区域的表示：

    X--型区域:

        D :  j₁(x)£y£j₂(x), a£x£b .

    Y --型区域:

        D :  y₁(x)£y£y₂(x), c£y£d .

    混合型区域: 

    设f(x, y)³0,  D={(x, y)| j₁(x)£y£j₂(x), a£x£b}.

    此时二重积分在几何上表示以曲面z=f(x, y)为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积.

    对于x₀Î[a, b],  曲顶柱体在x=x₀的截面面积为以区间[j₁(x₀), j₂(x₀)]为底、以曲线z=f(x₀, y)为曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为

.

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为

        .

即     V=.

可记为

.

    类似地, 如果区域D为Y --型区域:

        D : y₁(x)£y£y₂(x), c£y£d ,

则有

.

                      二.  利用极坐标计算二重积分

    有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量r 、q 表达比较简单.  这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分.

按二重积分的定义.

    下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式.

    以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域, 小闭区域的面积为:

       

            ,

其中表示相邻两圆弧的半径的平均值.

    在Ds_i内取点, 设其直角坐标为(x _i, h _i),

则有 , .

于是 ,

即   .

若积分区域可表示为

j ₁(q)£r£j ₂(q),  a£q£b,

则        .

    讨论: 区域如下图, 如何确定积分限?

    .

    .

 

第三节 二重积分的应用

第四节 三重积分的概念及其计算法

第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

第十章 曲线积分与曲面积分

第一节 对弧长的曲线积分

第二节 对坐标的曲线积分

第三节 格林公式及其应用

第四节 对面积的曲面积分

第五节 对坐标的曲面积分

第六节 高斯公式 通量与散度

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度

第十一章无穷级数

第一节   常数项级数的概念和性质

第二节常数项级数的申敛法

第三节幂级数

第四节函数展开成幂级数

第五节函数的幂级数展开式的应用

第七节傅里叶级数

第八节正弦级数与余弦级数

第九节     周期为2l的周期函数的傅里叶级数

第十二章微分方程

第一节  微分方程的基本概念

                       一、引  例

    函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法。

    例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(x, y)处的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程.

    解 设所求曲线的方程为y=y(x). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y=y(x)应满足关系式(称为微分方程)

        .                             (1) 

此外, 未知函数y=y(x)还应满足下列条件:

        x=1时, y=2, 简记为y|_x=1=2.                    (2)

把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)

        , 即y=x²+C,                      (3)

其中C是任意常数.

把条件“x=1时, y=2”代入(3)式, 得

        2=1²+C,

由此定出C=1. 把C=1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|_x=₁=2的解):

        y=x²+1.

  

                     二、微分方程的基本概念:

    微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程.

    常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.

    偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.

    微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶.

        x³ y¢¢¢+x² y¢¢-4xy¢=3x² ,

        y⁽⁴⁾ -4y¢¢¢+10y¢¢-12y¢+5y=sin2x,

        y⁽ⁿ⁾ +1=0,

一般n阶微分方程:

        F(x, y, y¢,  × × × , y⁽ⁿ⁾ )=0.

        y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y¢,  × × × , y^(n-1) ) .

    微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y=j(x)在区间I上有n阶连续导数, 如果在区间I上,

        F[x, j(x), j¢(x), × × ×, j⁽ⁿ⁾ (x)]=0,

那么函数y=j(x)就叫做微分方程F(x, y, y¢, × × ×, y⁽ⁿ⁾ )=0在区间I上的解.

    通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.

    初始条件:用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如

        x=x₀ 时, y=y₀ , y¢= y¢₀ .

一般写成

        , .

    特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解.

    初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.

    如求微分方程y¢=f(x,  y)满足初始条件的解的问题, 记为

        .

    积分曲线:微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.

    例3 验证: 函数

        x=C₁cos kt+C₂ sin kt

是微分方程

       

的解.

    解 求所给函数的导数:

        ,

        .

将及x的表达式代入所给方程, 得

        -k²(C₁cos kt+C₂sin kt)+ k²(C₁cos kt+C₂sin kt)º0.

    这表明函数x=C₁coskt+C₂sinkt 满足方程, 因此所给函数是所给方程的解

第二节可分离变量的微分方程

第三节   齐次方程

                            一、齐次方程:

    如果一阶微分方程中的函数f(x, y)可写成  的函数, 即, 则称这方程为齐次方程.

                      二、齐次方程的解法:

    在齐次方程中, 令, 即y=ux, 有

,

分离变量, 得

.

两端积分, 得

.

求出积分后, 再用代替u, 便得所给齐次方程的通解.

 

    例3 设一条河的两岸为平行直线, 水流速度为a, 有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O, 设鸭子的游速为b(b>a), 且鸭子游动方向始终朝着点O, 已知OA=h, 求鸭子游过的迹线的方程.

解 取O为坐标原点, 河岸朝顺水方向为x轴, y 轴指向对岸. 设在时刻t鸭子位于点P(x, y), 则鸭子运动速度

        , 故有.

另一方面, , .

因此, 即.

    问题归结为解齐次方程.

    令, 即x=yu, 得

    ,

分离变量, 得,

两边积分, 得 ,

将代入上式并整理, 得.

以x|_y=h=0代入上式, 得, 故鸭子游过的轨迹方程为

        , 0£y£h.

将代入后的整理过程:

第四节   一阶线性微分方程

                 一、 一阶线性微分方程

方程

叫做一阶线性微分方程.

如果Q(x)º0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程.

方程

叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程.

    

 齐次线性方程的解法:

    齐次线性方程  是变量可分离方程. 分离变量后得

,

两边积分, 得

,

   或                                                ,

这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）.

 

非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.

    例2 求方程的通解.  

    解  这是一个非齐次线性方程.

    先求对应的齐次线性方程的通解.

分离变量得

        ,

两边积分得

        ln y=2ln (x+1)+ln C,

齐次线性方程的通解为

        y=C(x+1)².

   用常数变易法. 把C换成u, 即令y=u×(x+1)², 代入所给非齐次线性方程, 得

       

        ,

两边积分, 得

        .

再把上式代入y=u(x+1)²中, 即得所求方程的通解为

        .

    解: 这里, .

因为    ,

        ,

        ,

所以通解为

        .

  

                       二、伯努利方程

    伯努利方程: 方程

 (n¹0, 1)

叫做伯努利方程.

    伯努利方程的解法: 以yⁿ除方程的两边, 得

令z =y^1-n, 得线性方程

.

    例3 求方程的通解.

    解 以y²除方程的两端, 得

        ,

即      ,

令z=y^-1, 则上述方程成为

        .

这是一个线性方程, 它的通解为

        .

以y^-1代z , 得所求方程的通解为

        .

    经过变量代换, 某些方程可以化为变量可分离的方程, 或化为已知其求解方法的方程.

第五节全微分方程

第六节可降阶的高阶微分方程

教学目的：使学生掌握三类可降阶的高阶微分方程

教学重点：y⁽ⁿ⁾=f (x)型的微分方程

                 一、y⁽ⁿ⁾=f (x)型的微分方程

    解法: 积分n 次

,

,

× × ×.

  

    例2 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动. 设力F仅是时间t的函数:F=F(t). 在开始时刻t=0时F(0)=F₀, 随着时间t的增大, 此力F均匀地减小, 直到t=T时, F(T)=0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.

    解 设x=x(t)表示在时刻t时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为

        .

由题设, 力F(t)随t增大而均匀地减小, 且t=0时, F(0)=F₀, 所以F(t)=F₀-kt; 又当t=T时, F(T)=0, 从而

        .

于是质点运动的微分方程又写为

,

其初始条件为, .

    把微分方程两边积分, 得

        .

再积分一次, 得

        .

由初始条件x|_t=0=0, ,

得C₁=C₂=0.

于是所求质点的运动规律为

        , 0£t£T.

    解 设x=x(t)表示在时刻t时质点的位置,

    根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为

        mx¢¢=F(t).

由题设, F(t)是线性函数, 且过点(0, F₀)和(T, 0),

故     , 即.

于是质点运动的微分方程又写为

        .

其初始条件为x|_t=0=0, x¢|_t=0=0.

    把微分方程两边积分, 得

        ,

再积分一次, 得

        ,

由初始条件x|_t=0=0, x¢|_t=0=0,

得C₁=C₂=0.

于是所求质点的运动规律为

        , 0£t£T.

                         二、y¢¢=f(x,y¢)型的微分方程

    解法: 设y¢=p则方程化为

p¢=f(x, p).

设p¢=f(x, p)的通解为p=j(x,C₁), 则

.

原方程的通解为

.

    例3 求微分方程

        (1+x²)y¢¢=2xy¢

满足初始条件

        y|_x=0=1, y¢|_x=0=3

的特解.

    解 所给方程是y¢¢=f(x, y¢)型的. 设y¢=p, 代入方程并分离变量后, 有

        .

两边积分, 得

        ln|p|=ln(1+x²)+C,

即      p=y¢=C₁(1+x²)  (C₁=±e^C).

由条件y¢|_x=0=3, 得C₁=3,

所以    y¢=3(1+x²).

两边再积分, 得 y=x³+3x+C₂.

又由条件y|_x=0=1, 得C₂=1,

于是所求的特解为

        y=x³+3x+1.

  

                    三、y¢¢=f(y,y¢)型的微分方程

    解法: 设y¢=p,有

.

原方程化为

.

设方程的通解为y¢=p=j(y, C₁), 则原方程的通解为

.

    例4 求微分yy¢¢-y¢²=0的通解.

    解 设y¢=p, 则,

代入方程, 得

        .

    在y¹0、p¹0时, 约去p并分离变量, 得

        .

两边积分得

        ln|p|=ln|y|+lnc,

即      p=Cy或y¢=Cy(C=±c).

再分离变量并两边积分, 便得原方程的通解为

        ln|y|=Cx+lnc₁,

或      y=C₁e^Cx(C₁=±c₁).

             

第七节高阶线性微分方程

   

第八节    二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

                  一、二阶常系数齐次线性微分方程

    二阶常系数齐次线性微分方程: 方程

y¢¢+py¢+qy=0

称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数.

    如果y₁、y₂是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y=C₁y₁+C₂y₂就是它的通解.

    我们看看,  能否适当选取r, 使y=e^rx  满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y=e^rx代入方程

y¢¢+py¢+qy=0

得

(r²+pr+q)e^rx=0.

由此可见, 只要r满足代数方程r²+pr+q=0, 函数y=e^rx就是微分方程的解.

  

 特征方程: 方程r²+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程. 特征方程的两个根r₁、r₂可用公式

求出.

   

特征方程的根与通解的关系:

    (1)特征方程有两个不相等的实根r₁、r₂时, 函数、是方程的两个线性无关的解.

    这是因为,

    函数、是方程的解, 又不是常数.

因此方程的通解为

        .

    (2)特征方程有两个相等的实根r₁=r₂时, 函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.

    这是因为, 是方程的解, 又

       

        ,

所以也是方程的解, 且不是常数.

    因此方程的通解为

.

    (3)特征方程有一对共轭复根r_{1, 2}=a±ib时, 函数y=e^(a+ib)x、y=e^(a-ib)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y=e^axcosbx、y=e^axsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.

    函数y₁=e^(a+ib)x和y₂=e^(a-ib)x都是方程的解, 而由欧拉公式, 得

    y₁=e^(a+ib)x=e^ax(cosbx+isinbx),

    y₂=e^(a-ib)x=e^ax(cosbx-isinbx),

    y₁+y₂=2e^axcosbx, ,

    y₁-y₂=2ie^axsinbx, .

故e^axcosbx、y₂=e^axsinbx也是方程解.

可以验证, y₁=e^axcosbx、y₂=e^axsinbx是方程的线性无关解.

    因此方程的通解为

y=e^ax(C₁cosbx+C₂sinbx ).

   

求二阶常系数齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy=0的通解的步骤为:

第一步  写出微分方程的特征方程

        r²+pr+q=0

第二步  求出特征方程的两个根r₁、r₂.

第三步  根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.

    例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解.

    解 所给微分方程的特征方程为

        r²-2r-3=0, 即(r+1)(r-3)=0.

其根r₁=-1, r₂=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为

        y=C₁e^-x+C₂e^3x.

    例2 求方程y¢¢+2y¢+y=0满足初始条件y|_x=0=4、y¢|_x=0=-2的特解.

    解 所给方程的特征方程为

        r²+2r+1=0, 即(r+1)²=0.

其根r₁=r₂=-1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为

        y=(C₁+C₂x)e^-x.

将条件y|_x=0=4代入通解, 得C₁=4, 从而

        y=(4+C₂x)e^-x.

将上式对x求导, 得

        y¢=(C₂-4-C₂x)e^-x.

再把条件y¢|_x=0=-2代入上式, 得C₂=2. 于是所求特解为

        x=(4+2x)e^-x.

 

    n阶常系数齐次线性微分方程: 方程

        y⁽ⁿ⁾ +p₁y^(n-1)+p₂ y^(n-2) + × × × + p_n-1y¢+p_ny=0,

称为n 阶常系数齐次线性微分方程, 其中 p₁,  p₂ , × × × , p_n-1, p_n都是常数.

    二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去.  

    引入微分算子D, 及微分算子的n次多项式:

        L(D)=Dⁿ+p₁D^n-1+p₂ D^n-2 + × × × + p_n-1D+p_n,

则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

       (Dⁿ+p₁D^n-1+p₂ D^n-2 + × × × + p_n-1D+p_n)y=0或L(D)y=0.

注: D叫做微分算子D⁰y=y, Dy=y¢, D²y=y¢¢, D³y=y¢¢¢, × × ×,Dⁿy=y⁽ⁿ⁾.

    分析: 令y=e^rx, 则

        L(D)y=L(D)e^rx=(rⁿ+p₁r^n-1+p₂ r^n-2 + × × × + p_n-1r+p_n)e^rx=L(r)e^rx.

因此如果r是多项式L(r)的根, 则y=e^rx是微分方程L(D)y=0的解.

    n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:

L(r)=rⁿ+p₁r^n-1+p₂ r^n-2 + × × × + p_n-1r+p_n=0

称为微分方程L(D)y=0的特征方程.

    特征方程的根与通解中项的对应:

    单实根r 对应于一项: Ce^rx;

    一对单复根r₁, ₂=a ±ib 对应于两项: e^ax(C₁cosbx+C₂sinbx);

    k重实根r对应于k项: e^rx(C₁+C₂x+ × × × +C_kx^k-1);

    一对k 重复根r₁, ₂=a ±ib对应于2k项:

        e^ax[(C₁+C₂x+ × × × +C_kx^k-1)cosbx+( D₁+D₂x+ × × × +D_kx^k-1)sinbx].

    例4 求方程y⁽⁴⁾-2y¢¢¢+5y¢¢=0 的通解.

    解  这里的特征方程为

        r⁴-2r³+5r²=0, 即r²(r²-2r+5)=0,

它的根是r₁=r₂=0和r₃, ₄=1±2i.

因此所给微分方程的通解为

        y=C₁+C₂x+e^x(C₃cos2x+C₄sin2x).

    例5 求方程y⁽⁴⁾+b⁴y=0的通解, 其中b>0.

    解  这里的特征方程为

        r⁴+b ⁴=0.

它的根为, .

因此所给微分方程的通解为

        .

二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介

    二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程

y¢¢+py¢+qy=f(x)

称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p、q是常数.

    二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程

的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和:

y=Y(x)+ y*(x).

当f(x)为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:

    一、 f(x)=P_m(x)e^lx型

    当f(x)=P_m(x)e^lx时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y*=Q(x)e^lx, 将其代入方程, 得等式

        Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l²+pl+q)Q(x)=P_m(x).

    (1)如果l不是特征方程r²+pr+q=0 的根, 则l²+pl+q¹0. 要使上式成立, Q(x)应设为m 次多项式:

        Q_m(x)=b₀x^m+b₁x^m-1+ × × × +b_m-1x+b_m,

通过比较等式两边同次项系数, 可确定b₀, b₁, × × × , b_m, 并得所求特解

        y*=Q_m(x)e^lx.

    (2)如果l是特征方程 r²+pr+q=0 的单根, 则l²+pl+q=0, 但2l+p¹0, 要使等式

        Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l²+pl+q)Q(x)=P_m(x).

成立, Q(x)应设为m+1 次多项式:

        Q(x)=xQ_m(x),

        Q_m(x)=b₀x^m+b₁x^m-1+ × × ×  +b_m-1x+b_m,

通过比较等式两边同次项系数, 可确定b₀, b₁, × × ×  , b_m, 并得所求特解  

        y*=xQ_m(x)e^lx.

    (3)如果l是特征方程 r²+pr+q=0的二重根, 则l²+pl+q=0, 2l+p=0, 要使等式

        Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l²+pl+q)Q(x)=P_m(x).

成立, Q(x)应设为m+2次多项式:

        Q(x)=x²Q_m(x),

        Q_m(x)=b₀x^m+b₁x^m-1+ × × × +b_m-1x+b_m,

通过比较等式两边同次项系数, 可确定b₀, b₁, × × × , b_m, 并得所求特解

        y*=x²Q_m(x)e^lx.

    综上所述, 我们有如下结论: 如果f(x)=P_m(x)e^lx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy =f(x)有形如

        y*=x^kQ_m(x)e^lx

的特解, 其中Q_m(x)是与P_m(x)同次的多项式, 而k 按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.

    例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=3x+1的一个特解.

    解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f(x)是P_m(x)e^lx型(其中P_m(x)=3x+1, l=0).

    与所给方程对应的齐次方程为

        y¢¢-2y¢-3y=0,

它的特征方程为

        r²-2r-3=0.

    由于这里l=0不是特征方程的根, 所以应设特解为

        y*=b₀x+b₁.

把它代入所给方程, 得

        -3b₀x-2b₀-3b₁=3x+1,

比较两端x同次幂的系数, 得

        , -3b₀=3, -2b₀-3b₁=1.

由此求得b₀=-1, . 于是求得所给方程的一个特解为

        .

    方程y¢¢+py¢+qy=e^lx[P_l (x)coswx+P_n(x)sinwx]的特解形式

    应用欧拉公式可得

    e^lx[P_l(x)coswx+P_n(x)sinwx]

   

     

    ,

其中, . 而m=max{l, n}.

    设方程y¢¢+py¢+qy=P(x)e^(l+iw)x的特解为y₁*=x^kQ_m(x)e^(l+iw)x,

则必是方程的特解,

其中k按l±iw不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.

    于是方程y¢¢+py¢+qy=e^lx[P_l(x)coswx+P_n(x)sinwx]的特解为

       

         

          =x^ke^lx[R⁽¹⁾_m(x)coswx+R⁽²⁾_m(x)sinwx].

    综上所述, 我们有如下结论:

    如果f(x)=e^lx[P_l(x)coswx+P_n(x)sinwx], 则二阶常系数非齐次线性微分方程

        y¢¢+py¢+qy=f(x)

的特解可设为

        y*=x^ke^lx[R⁽¹⁾_m(x)coswx+R⁽²⁾_m(x)sinwx],

其中R⁽¹⁾_m(x)、R⁽²⁾_m(x)是m次多项式, m=max{l, n}, 而k 按l+iw (或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.

    例3 求微分方程y¢¢+y=xcos2x的一个特解.

    解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,

且f(x)属于e^lx[P_l(x)coswx+P_n(x)sinwx]型(其中l=0, w=2, P_l(x)=x, P_n(x)=0）.

    与所给方程对应的齐次方程为

        y¢¢+y=0,

它的特征方程为

        r²+1=0.

    由于这里l+iw=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为

        y*=(ax+b)cos2x+(cx+d )sin2x.

把它代入所给方程, 得

        (-3ax-3b+4c)cos2x-(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x.

比较两端同类项的系数, 得 , b=0, c=0, .

于是求得一个特解为.

第九节二阶常系数非齐次线性微分方程

第十节欧拉方程

第十一节微分方程的幂级数解法

第十二节常系数线性微分方程组解法举例