分式知识点总结和练习题讲义

第一讲 分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则

3.分式的化简求值(通分与约分)

4.幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则:

2.异分母加减法则:;

3.分式的乘法与除法:,

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义:

一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。

【例1】下列代数式中：，是分式的有：                     .

题型二：考查分式有意义的条件

分式有意义：分母不为0（）      

分式无意义：分母为0（）

【例1】当有何值时，下列分式有意义

（1）    （2）  （3）   （4）  （5）

题型三：考查分式的值为0的条件

分式值为0：分子为0且分母不为0（）

【例1】当取何值时，下列分式的值为0.

（1）                   （2）                     （3）

【例2】当为何值时，下列分式的值为零：

（1）            （2）

题型四：考查分式的值为正、负的条件

分式值为正或大于0：分子分母同号（或）

分式值为负或小于0：分子分母异号（或）

【例1】（1）当为何值时，分式为正；

 

           (2)当为何值时，分式为负；

（3）当为何值时，分式为非负数.

【例2】解下列不等式

（1）           （2）

题型五：考查分式的值为1，-1的条件

分式值为1：分子分母值相等（A=B） 

分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

【例1】若的值为1，-1，则x的取值分别为          

思维拓展练习题：

1、若a>b>0,＋－6ab=0,则

2、一组按规律排列的分式：（ab0），则第n个分式为

3、已知，求的值。

4、已知求分式的值。

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：

2．分式的变号法则：

题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）            （2）

题型二：分数的系数变号

【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）        （2）        （3）

题型三：化简求值题

【例1】已知：，求的值.

【例2】已知：，求的值.

【例3】若，求的值.

【例4】已知：，求的值.

【例5】若，求的值.

【例6】如果，试化简.

思维拓展练习题

1、对于任何非零实数a,b,定义运算“*”如下：,求2*1+3*2+…+10*9的值

2、已知求代数式的值

3、 

（三）分式的运算

①       分式的乘除法法则：

乘法分式式子表示为：

除法分式式子表示为：

②       分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：

③       分式的加减法则：

异分母分式加减法：式子表示为：

整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

题型一：通分

1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.

3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.

【例1】将下列各式分别通分.

（1）；                  （2）；

（3）；          （4）

题型二：约分

①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

【例2】约分：

（1）；      （2）；         （3）.

题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

（1）；                        （2）；

（3）；                            （4）；

（5）；    

（6）；

（7）

题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值

（1）已知：，求分子的值；

（2）已知：，求的值；

（3）已知：，试求的值.

题型五：求待定字母的值

【例5】若，试求的值.

思维拓展练习题：

1、某工厂通过改造设备，平均每天节约用煤，那么相同数量的煤，现在使用的天数是原来的几倍？

2、若非零实数a,b满足，则

3、若，求的值

4、已知abc=1,求的值

5、已知a,b,c为实数，且，求的值

第二讲 分式方程

分式方程的解的步骤：

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

（一）分式方程题型分析

题型一：用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程

（1）；（2）；（3）；（4）

题型二：特殊方法解分式方程

【例2】解下列方程

（1）；      （2）

提示：（1）换元法，设； （2）裂项法，.

【例3】解下列方程组

题型三：求待定字母的值

【例4】若关于的分式方程有增根，求的值.

【例5】若分式方程的解是正数，求的取值范围.

提示：且，且.

题型四：解含有字母系数的方程

【例6】解关于的方程

提示：（1）是已知数；（2）.

题型五：列分式方程解应用题

1、某服装厂准备加工400套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问：原计划每天加工服装多少套？

2、某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打6折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。

（1）         求该种纪念4月份的销售价格？

（2）         若4月份销售这种纪念品获得800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？

3、河边两地相距50km,,船在静水中的速度是m(km/h)，水流速度是n(km/h).

  (1)船从河边两地往返一次需要多长时间？

 （2）当m=30,n=10时，求船往返一次需要的时间？

4、“丰收1号”小麦的试验田是边长为a（m）的正方形减去一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg

 （1）哪种小麦的单位面积产量高?

  (2)小麦高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

思维拓展练习题：

1、已知，求的值。

（二）分式方程的特殊解法

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：

一、交叉相乘法

例1．解方程：

二、化归法

例2．解方程：

三、左边通分法

例3：解方程：

四、分子对等法

例4．解方程：

五、观察比较法

例5．解方程：

六、分离常数法

例6．解方程：

七、分组通分法

例7．解方程：于的分式方程无解，试求的值.

(三）分式方程求待定字母值的方法

题型一：关于无解的情况

例1．若分式方程无解，求的值。

题型二：关于不会有增根的情况

例2．若关于的方程不会产生增根，求的值。

题型三：关于有增根的情况

例3．若关于分式方程有增根，求的值。

例4．若关于的方程有增根，求的值。

 

第二篇：分式___知识点总结习题

第十六章  分式知识点及典型例子

一、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

1.下列各式，，x+y，，-3x²，0中，是分式的有（   ）个。

2、在式子，，，，，，，

中是分式的____________________________________________________，

是整式的是_______________,

二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】

分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】

分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0且A=0  即子零母不零】4

3、当x取何值时，分式有意义     ；       4、当a_______时，分式有意义

5、当x取何值时，分式有意义；          6、当x，y满足怎样关系时，分式有意义.

7、当b取何值时，分式有意义；         8、当x________时，分式有意义；

9、当m________时，分式有意义；

10、当a，b满足关系________时，分式有意义；

11、当x________时，分式有意义；

※12、当x__________时， 分式有意义；

※13、当x___________时，分式有意义；

14.下列分式，当x取何值时有意义。（1）；                      （2）。

15.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（  ）。

A．     B．     C．     D．

16．当x______时，分式无意义。      当x_______时，分式的值为零。

三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。               （）

四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。

17、                                                                                                                             填空：

①    ②  ③   ④

18、                                                  下列各组中的两个分式是否相等？为什么？

①      ②      ③      ④

19、不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：

（1）    （2）    （3）    （4）   （5）      (6)

20、下列各式中与相等的是（         ）

A          B          C             D   

21、.分式、、的最简公分母是                 

22.约分：

1、                         2、

23、             2.                   3.       

       

     4.                    5.                 6.

24、（1）；                         （2）

25、下列各式中不成立的是（     ）

A         B

C        D

26、与分式相等的是（       ）

A          B           C          D

27、把分式中的x,y都扩大3倍，那么分式的值（       ）

A  扩大3倍        B 扩大9倍        C  缩小3倍         D   不变

28.通分：

  (1),   与                        (2),  与

(1)最简公分母是           ,                (2)最简公分母是             ,

 =          =           .           =           =           .

                                                

  =          =            .          =            =             .

29、模仿上面习题书写

 (1)  与         (2)  与          (3)  与        （4）  与                

30，通分：

 (1) ，           (2)  与              (3)  与

    (4)             （5） 与                （6），              

五、分式的运算：

分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

31、分式乘法、除法

（1）·            （2）÷           （3）·

（4）÷8xy          （5）（-3xy）÷             （6）·

（7）·                   （8）÷

（9）÷              （10）·

（11）·                  （12）·、

（13）÷·                （14）÷·        

（15）·÷                 （16）÷· 

32、分式乘方法则：  分式乘方要把分子、分母分别乘方。

  

 1.                      2.                     3.                  

 4.                    5.                    6.                  

7.           8.          9.

10.             11.          12.

 

33、分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。

混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。

1，          2，                 3,

4、               5,              6,      

 7,           8、              9、

10、        11、            12、

13．已知a+b=3，ab=1，则+的值等于_______。

14.计算：-。                  15.计算：-x-1

16.先化简，再求值:-+，其中a=。

六、  任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即；

当n为正整数时，  （      =          

七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)

（1）同底数的幂的乘法：；（2）幂的乘方：;         

（3）积的乘方：；

（4）同底数的幂的除法：( a≠0)；

（5）商的乘方：(b≠0)

（18）

八、科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法。

1、用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是。

2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。

例18.若,则等于(    )。

A.      B.        C.         D.

例19.若,则等于(     )。

A.  9    B.   1     C. 7         D. 11

例20.计算:(1)        　　(2)

例21.人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA是很长的链,最短的22号染色体也长达3000000个核苷酸,这个数用科学记数法表示是___________。

例22.计算。

例23．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0.000000052米,用科学记数法表示这个数为_________。

例24．计算+-得（  ）  A．-  B．   C．-2   D．2

例25.计算a-b+得（  ）  A．    B．a+b   C．    D．a-b

九、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

1、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

3、解分式方程的步骤：

（1）、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。

（2）、解这个整式方程。

（3）、把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

（4）、写出原方程的根。

增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

4、分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

例26.解方程。

(1)   （2） （3） （4）

 

 

 

 

 

例27. X为何值时，代数式的值等于2？

例28.若方程 有增根，则增根应是（   ）   　　

十、列方程应用题

（一）、步骤(1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记写。

（二） 应用题的几种类型：

1、行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。

例29.甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.

2、工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。

例30.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?

3、顺水逆水问题   v_顺水=v_静水+v_水；      v_逆水=v_静水-v_水。

例31.已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?