（人教版）第二十一章 一元二次方程 （知识点汇总+归类总结+题型汇总）

一、一元二次方程的概念

1．只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是________________．

二、一元二次方程的解法

1．解一元二次方程的基本思想是 ，

主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.

b2?222．配方法：通过配方把一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0，b－4ac≥0)变形为?x＋＝?2a?

__________的形式，再利用直接开平方法求解．

223．公式法：一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)当b－4ac≥0时，x＝____________.

4．用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__________．

三、一元二次方程根的判别式

1．一元二次方程根的判别式是__________． 222．(1)b－4ac＞0?一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________实数根；

22 (2)b－4ac＝0?一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________实数根；

22 (3)b－4ac＜0?一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)__________实数根．

四、一元二次方程根与系数的关系

1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．

22．若一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__________，x1x2

22＝__________.注意：（1）x1?x2?(x1?x2)2?2x1?x2

（2）(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1?x2；

x1?x2?

五、实际问题与一元二次方程

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)________；(6)检验；(7)写出答案． 一元二次方程的定义：

1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )

12222 A．x＋2＝0 B．ax＋bx＋c＝0 C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x－2xy－5y＝x0

2.下列方程中，无论取何值，总是关于x的一元二次方程的是（ ）

222 A.ax?bx?c?0 B.ax?1?x?x

2 C.(a2?1)x2?(a2?1)x?0 D.x?

221?a?0 x?33.关于x的一元二次方程（a—1）x+x—2=0是一元二次方程，则a满足（ ）

A. a≠1 B. a≠—1 C. a≠±1 D.为任意实数

4.一元二次方程(1?3x)(x?3)?2x2?1化为一般形式为：， 二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

5.关于x的方程(m?1)x?(m?1)x?3m?2?0,当m 当m 时为一元二次方程。

26.关于x的方程3x?2x?m?0的一个根为-1，则方程的另一个根为______，m?______。。 2

227.已知m是方程x?2x?5?0的一个根，则m?2m?______________。

1

8.关于x的一元二次方程(a?1)x2?x?a2?1?0的一个根是0，则a的值为（ ）

A. 1 B.?1 C.1或?1 D.0 解一元二次方程：

1.选用合适的方法解下列方程

x?12x2

(x?4)?5(x?4) (x?1)?4x (x?3)?(1?2x) 2??1．x?1x2222

2x2?10x?3 3x2＝2x； x（3x－1）＝3－x； 4（x－2）2－（3x－1）2＝0；

（2x－1）＋3（2x－1）＋2＝0； 3x?x?2＝0．； x（2x+3）=4x+6

22.配方法解方程x—4x+2=0，下列配方正确的是（ ）

A．(x?2)2?2

222B．(x?2)2?2 C．(x?2)??2 2D．(x?2)?6 23.解方程（5x—1）=3（5x—1）的适当方法是（ ）

A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法

4.等腰三角形的底和腰分别是方程x2?6x?8?0的两个根，则这个三角形的周长是（ ）

A．8 B．10 C．8或10 D． 不能确定

25.若方程ax?bx?c?0(a?0)中，a,b,c满足a?b?c?0和a?b?c?0，则方程的根是

（ ） A. 1，0 B.-1，0 C.1，-1 D.无法确定

26.关于x的方程(a －5)x－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5

27. 用配方法解方程x?4x?2?0,则下列配方正确的是( )

A.(x?2)?2 B.(x?2)?2 C.(x?2)??2 D.(x?2)?6

8. x+3x+ =（x+ ） ；x— +2=（x ）

9.若(a?b)(a?b?2)?8，则a?b=

210.当n?_________时，方程x?nx?7?n的一个根是2 2222 2222

211. 代数式x?2x?5的最小值是__________12.请写出一个以2和4为根的一元二次方程

_______________________13.如果x－2(m+1)x + m+ 5=0是一个完全平方公式，则m . 根与系数的关系：

注意：

一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，

22

2

从而确定系数的值或取值范围．

21. 关于x的一元二次方程x＋kx－1=0的根的情况是( )

A、有两个不相等的同号实数根 B、有两个不相等的异号实数根C、有两个相等的实数根 D、没有实数根

22．已知关于x的一元二次方程(a－1)x－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )

A．a＜2 B．a＞2C．a＜2且a≠1 D．a＜－2

23.关于x的一元二次方程x＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是( )

A．0 B．8 C．4±2 D．0或8

24.已知三角形的两边长是方程x—5x+6=0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（ ）

A. 1＜L＜5 B. 2＜L＜6 C. 5＜L＜9 D. 6＜L＜10

25.方程x—9x+18=0的两个根是等腰三角形的底边长和一腰长，则这个三角形的周长为（ ）

A. 12 B. 12或 15 C. 15 D. 不能确定

26.若x1，x2是一元二次方程x＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是( )

A．4 B．3 C．－4 D．－3

7.若m是关于x的一元二次方程x2?nx?m?0的根，且m≠0，则m?n的值为（ ）

11 D. 22

8.设m是方程x2?5x?0的较大的一根，n是方程x2?3x?2?0的较小的一根，则m?n?（ ） A. ?1 B. 1 C.? A. —4 B. —3 C. 1 D. 2

229.已知关于x的方程x－2(k－1)x＋k＝0有两个实数根x1，x2.

(1)求k的取值范围；

(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．

10.已知方程

(1)求证方程必有相异实根。

（2）取何值时，方程有两个正根。

（3）取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？

（4）取何值时，方程有一根为零？

11.已知a,b,c是三角形的三条边，求证：关于x的方程bx?(b?c?a)x?c?0没有实数根.

一元二次方程解决实际问题：

1.某商品连续两次降价10%以后的售价为a元，则该商品的原价为 元。

2.某小区准备在两幢楼房之间开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽10米，设长方形绿地的宽为x米，则可列方程为___________

3.某同学存入300元的活期储蓄，存满三个月时取出（利息按单利息计算），共得本息和为302.16元，则活期储蓄的月利率为（ ）

A、0.24%； B、0.24； C、0.72； D、0.82。

4.县化肥厂第一季度增产a吨化肥，以后每季度比上一季度增产x，则第三季度化肥增产的吨数为（ ） A．a(1?x)2 B．a(1?x%)2 C．(1?x%)2 D．a?a(x%)2

5.某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）

A．200(1?a%)2=148 B．200(1?a%)2=148 222222

3

C．200(1?2a%)=148 D．200(1?a2%)=148

6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人.

A．12 B．10 C．9 D．8 7.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少?

【数字问题】

【规律】两位数=十位数上的数字×10+个位数字；

三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位数字。

（一要明确最高位上的数字为不大于9的正整数，其他数位上的数字为不大于9的非负整数。）

1.有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字的位置之后，得到新的两位数比原来两个数字的积还大38，求这个两位数。

【利润问题】解决利润问题常用的关系有：①利润=售价—进价；

②利润率=利润／进价×100％=（售价—进价）／进价×100％ ；

③售价=进价（1+利润率）；④总利润=单个利润×销售量=总收入—总支出。

1.某商场人员在销售中发现“宝乐”牌童装每天可销售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取降价措施，扩大销售量，增加利润，减少库存。市场调查发现，如果童装每降价1元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天在销售这种童装的上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

2.将进价为40元的商品按照50元出售时，每月能卖500个，已知该商品煤涨价1元，其每月销售量就减少10个，为了每个月获8000元利润，售价应定在多少元？进货量为多少？

3.某玩具店采购员第一次用去100元采购了“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时，发现批发价格上涨了0.5元／件，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的均价为

2.8元，则第二次采购玩具多少件？

【面积问题】

1.学校课外生物小组的试验园地是长35米，宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽。（精确到0.1米）

4

 

第二篇：一元二次方程期末总复习 Microsoft Word 文档

一元二次方程复习

【一元二次方程的概念】

                                                                     

例1、方程（m-2)x^|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则 （ C  ）

A.m=±2  B.m=2  C.m=-2  D.m≠ ±2

2.关于x的方程(k²－1)x² ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k≠±1     时，是一元二次方程．

当k =-1        时，是一元一次方程．

【一元二次方程的一般形式】

                                                

例1、把方程（1-x)(2-x)=3-x²  化为一般形式是：2x²-3x-1=0___________, 其二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.

【解一元二次方程的方法】

（1）                   

（2）                    

（3）                         

（4）                     

例：选用适当方法解下列一元二次方程

（1）、 (2x+1)²=64               （2）、 (x-2)²-４(x+１)²=0

（3）、(５x-４)² -(4-５x)=０         （4）、 x^２-４x-10=０

【一元二次方程根的判别式】

（1）                             

（2）                             

（3）                                 

应用：

(1)不解方程，判别方程的根的情况；

(2)根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围；

(3)证明方程的根的情况

例1、已知关于x 的方程：                              有两个不相等的实数根，k为实数，求k 的取值范围。

(-1≤K<2且K≠1/2)

2、设关于x 的方程：                       ，证明，不论m为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。(△=4(m+1)²+12>0)

【一元二次方程的根与系数的关系】

若一元二次方程ax²＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x₁ 、x₂，则x₁＋x₂=     ， x₁x₂=    。

（1）它成立的条件是                   。

（2）特殊情况

如果方程 x²+px+q=0的两根是x₁、x₂，那么 x₁+x₂=          ， x₁?x₂=         。

1.以1和 －３为根的一元二次方程为　x²+2x-3=0　　　　　。

2.

则（1）           4    ，（2）            1    ， （3）             14     。

3.一元二次方程x²-3x-1=0与x²-x+3=0的所有实数根的和等于_3    __.

4 已知方程　　　　　　　　   的两个实数根是x_1，x₂且　x₁²+x₂²=4则k= -2      。

【应用：】

1、流感问题 :         1+x+x(x+1)=总数    或（x+1）²=总数

2、树发叉问题 :     1+x+x²=总数

3、平均增长率问题:        a(1±x)²=b  

4、单循环赛问题（握手）:1/2x(x-1)=总数

5、互赠礼品问题:        x(x-1)=总数

6、多边形的对角线:    1/2x(x-3)=总数

7、销售问题:       单件利润×件数=总利润

8、几何图形问题:

练习：

1、方程(x–1)(2x+1)=2化成一般形式是          ，它的二次项系数是  .

2、关于x的方程(m－3)x－x=5是一元二次方程，则m=__-3___.

3、关于x的方程(m²－16)x²+(m+4)x+2m+3=0是一元一次方程，则m为 4   。

4、写一个一元二次方程，使它的二次项系数是－3，一次项系数是2：    。

5、－1是方程x²+bx－5=0的一个根，则b=__-4__，另一个根是_5___.

6、已知方程ax²+bx+c=0的一个根是－1，则a－b+c=__0_________.

7．x²- x +_____=(x-     )² ，     4x²+ 4x + _____=(2x +     )²

8．，  

9、x²－4x＋        =(x－   ) ²     x²－___x＋ 9 =(x－    ) ²

10．若方程的左边是一个完全平方式，则的值是6，-2      ．

11、已知关于x的二次三项式x²-2ax+8-a²是一个完全平方式，则实数a的值为 ±2      

12、若x²－kx+4满足完全平方公式，则k=  ±4     .

13、若x²－6x－a满足完全平方公式，则a=   -9    .

14、若一个三角形的三边长均满足方程x²-6x+8=0，则此三角形的周长为  6，10，12  .

15、一个三角形的两边长为2和4,第三边长是方程－5x+6=0的解，则三角形的周长为9    

16．关于x的一元二次方程kx²-6x+1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是   k＜9,k≠0   。

17、已知方程有两个相等的实数根，则   9/4    。

18．方程有实数根，则k的取值范围是   k≤2    。

19.若关于x的方程ax²+2(a-b)x+(b-a)=0有两个相等的实数根,则a:b等于( B  )

 A.-1或2      B.1或      C.- 或1     D.-2或1

20.关于x的方程x²+2(k+2)x+k²=0的两个实数根之和大于-4,则k的取值范围是( D  ）  A.k>-1      B.k<0       C.-1<k<0    D.-1≤k<0

21.使分式 的值等于零的x是( A  )

A.6         B.-1或6              C.-1        D.-6

22、若a为方程x²+x-5=0的解，则a²+a+1= 6      .

23. 已知: (a²+b²)(a²+b²-3)=10 , 则a²+b² = 5      。

24.如果关于x的方程x²+k²-16=0和x²-3k+12=0有相同的实数根,那么k的值是( D    )

A.-7    B.-7或4     C.-4     D.4

26、用适当的方法解方程

（1）(x+3)(x－1)=5                 （3）(t－3)²+t=3

（4）x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）             （5）

      

23．已知关于的一元二次方程有两个实数根和．

（1）求实数的取值范围；

（2）当时，求的值．

25、某公司一月份的营业额为100万元，第一季度总营业额为331万元，求二、三月份平均每月的增长率是多少

25、某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．

    (1)当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润，

(2)商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少?

26、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.

（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?