数列求和方法总结例题和答案全解

1 直接求和

     适用于等差数列或等比数列的求和（指前项和）问题,在四个量（或）, 中,已知三个量时,可以求出来,我们简称为“知三求和”问题.它们的求和问题可以直接利用求和公式解决.

     等差数列前项和公式：已知时,利用公式求和；

                        已知时,利用公式求和.

     等比数列前项和公式：已知时,利用公式求和；

                         已知时,利用公式()求和.

例1

     此式可看为一个等比数列的前项和,且此等比数列首项为1,公比为,故可直接运用等比数列前项和公式 () 求和.

     解

例2 一个等差数列的前项和等于,前项和等于（其中m）,试求这个数列的前项和.

    根据等差数列前项和公式运用所需的条件最好先求出数列首项与公差,然后运用求和.

    解 设这个数列的首项为,公差为,根据已知条件,有

           

    得

            =

           因为

             所以

    由此得  ，

    于是,这个数列的前项和为

        

              

            

2 转化求和

    适用于不是等差数列或等比数列,不便直接求其前项和的数列.

 2.1反序相加法

    将与两式相加,如果得到一个常数列,其和为,那么

例3已知满足,当时,,若求

    由知只要自变量即成立,又知1,…,则易求

    解 因为,      ①

    所以             ②

    ①+②,得

             

             

    所以

    2.2错项相减法

    如果数列中的和分别是等差数列和等比数列且等比数列公比为,那么与两式“错项相减”可以求出

    例4求和：1

    数列2,2,2,…,2,1与1,2,3,…,, 分别是等比数列（）与等差数列（）,可考虑用“错项相减法”求和.

    解 令1              ①

    则     1＋    ②

    ①-②,得

.

     则.

     2.3组合数法

     原数列各项可写成组合数形式,则可利用公式求解.

     例5求的和

   由知可利用“组合数法”求和

     解 

           

           

           

            …

           

            .

3 裂项求和

    将数列的每一项分裂成两项之差,如果求数列的前项和时,除首尾若干项外,其余各项可以交叉相消.

    例6求

此数列故知拆项后是一个等比数列.

解 因为,

所以

        

        

         .

例7 求证＜

    此为分数数列求和问题,仍然用裂项求和法,难点在于分母出现了阶乘,为此,需将数列的第项作一些恒等变形,以便将其分裂为两项之差.

    解 因为  （）

       所以

        

         ＜.

4 归纳求和

针对可猜想出其前项和的数列.

4.1直接利用归纳法

猜测出数列前n项和的形式，直接利用数学归纳法证明结论

例8在一个圆的直径两端写上自然数1,将此直径分得的两个半圆都对分,在每个分点上写上该点相邻两数之和,然后把分得的四个圆周各自对分,在所分点上写上该点相邻两数之和,如此继续下去,问这样做第步之后,圆周所有分点上之和的和是多少？

由题意知,

,

       ,

,

由此可猜想出,则可利用数学归纳法证明.

解 由题意有

,

    ,

    ,

    ,

故猜想S＝,下面利用数学归纳法给予严格的证明.

当时，命题显然成立;

设当时，命题成立，则;

当时，.

则证出时命题成立,从而证明对所有的自然数都成立.

4.2待定归纳法

解决与自然数有关的某一问题,首先应对结论的代数形式做一正确推测,并将结论用待定系数设出来,随之令其满足数学归纳法的各个步骤,从中得到待定系数的方程或方程组,求出待定系数,即可使问题得解.

例9求数列2,4,6,…,2的前项和.

因为数列的通项公式为它是关于的多项式,与之类似的数列求和问题我们熟悉的有

   （1）

   （2）1

   （3）

以上各式中，左端的通项公式及右端的和展开后都是关于的多项式,对其次数进行比较便可得到这样的结论:若数列的通项公式是关于的多项式,则其前项和是比通项公式高一次的多项式.对本题来讲,因为通项公式

         

是关于的三次多项式,所以我们猜想该数列的前项和是关于的四次多项式,故可设.

解 令满足数学归纳法的各个步骤,

即时上式均成立,有

                       ①

②

     又因为

             

                 ③

 比较②、③两式同类项系数可得

          

解方程得   代入①式有,

    故

       

5 逐差法

    针对一类高阶等差数列求和问题.某些数列的构成规律不十分明显,我们可以逐次求出它的各阶差数列,如果某一阶差数列正好是等差数列或等比数列,那么可以利用这些数列的有限和得出原数列的一个通项公式,然后再求出其前项和

例10求数列5,6,9,16,31,62,…的前项和

考虑数列的各差数列:

    原数列:5,6,9,16,31,62,…

一阶差数列:1,3,7,15,31,…

二阶差数列:2,4,8,16,…

    由于二阶差数列是等比数列,可用逐差法求数列的通项,然后再求其前项和

    解 设原数列为,一阶差数列为,二阶差数列为

         那么

             

            

              …

            

     以上个式子相加,有

                              

                               

                                .

     因为,所以.

          又

            

            

              … 

            

     所以

                .

     因为,所以.

数列的前项和为