平方根与立方根

【知识要点】

1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。

2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a” （a称为被开方数）。

3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

4. 平方根和算术平方根的区别与联系：

区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。

联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。

5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“” （a称为被开方数）。

6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

8. 立方根与平方根的区别：

一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.

9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大n倍，例如25?5,2500?50. 10.平方表：（自行完成）

题型规律总结：

1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3

0意义的条件是a≥0。

4、公式：⑴2=a（a≥0）a取任何数）。

5、区分2=a（a≥0），与

a2=a

6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 【典型例题】

1.下列语句中，正确的是（ D ）

A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根

C．一个实数的立方根不是正数就是负数 D．立方根是这个数本身的数共有三个 2. 下列说法正确的是（ C ） A．-2是（-2）2的算术平方根 B．3是-9的算术平方根 C．16的平方根是±4

D．27的立方根是±3

3. 已知实数x，y满足2

=0，则x-y等

于

解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，

解得x=2，y=-1，

所以，x-y=2-（-1）=2+1=3．

1

4.求下列各式的值

（1）?81；（2）?；（3）

925

；（4）(?4)2

解答：（1）因为92

?81，所以±81=±9.

（2）因为42

?16，所以－??4.

2

（3）因为??3?993

?5??=25，所以25=5

.

（4）因为42?(?4)2，所以(?4)2

?4.

5. 已知实数x，y满足

2

=0，则x-y等

于

解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，

解得x=2，y=-1，

所以，x-y=2-（-1）=2+1=3． 6. 计算

（1）64的立方根是 4

（2）下列说法中：①?3都是27的立方根，②y3

?y，③64的立方根是2，④??8?

2

??4。

其中正确的有

（ B ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 7.易混淆的三个数（自行分析它们） （1）a2

（2）(a)2（3）a3

综合演练

一、填空题

1、（-0.7）2的平方根是 2、若a2

=25,b=3,则a+b=3、已知一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则a的值是

4、3???4??＝ ____________

5、若m、n互为相反数，则m?5?n＝_________

6、若 a2??a，则a______0

7、若3x?7有意义，则x的取值范围是 8、16的平方根是±4”用数学式子表示为

9、大于-2，小于10的整数有______个。

10、一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=__ ___，x=___ __。

11、当x_______时，x?3有意义。 12、当x_______时，2x?3有意义。

1

13、当

x_______时，?x有意义。

x?1

14、当

x________时，式子x?2有意义。

15、若4a?1有意义，则a能取的最小整数为 二、选择题

1． 9的算术平方根是（ ）

A．-3 B．3 C．±3 D．81 2．下列计算正确的是（ ）

A

±2 B

C.?36?6 D.?92??9 3．下列说法中正确的是（ ）

A．9的平方根是3 B

2

2 4． 64的平方根是（ ）

A．±8 B．±4 C．±2 D

5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）

A．4 B．111

8 C．-4 D．4

6．下列结论正确的是（ ） A?(?6)2??6 B(?)2?9 C(?16)2??16 D?

2

??16?16 ??

?

25????25

2

7．以下语句及写成式子正确的是（ ） A、7是49的算术平方根，即??7 B、7是(?7)2的平方根，即(?7)2?7 C、?7是49的平方根，即??7 D、?7是49的平方根，即49??7 8．下列语句中正确的是（ ）

A、?9的平方根是?3 B、9的平方根是3

C、 9的算术平方根是?3 D、

9的算术平方根是3 9．下列说法：(1)?3是9的平方根；(2)9的平方根

是?3；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A．3个 B．2个

C．1个 D．4个

10．下列语句中正确的是（ ） A、任意算术平方根是正数 B、只有正数才有算术平方根

C、∵3的平方是9，∴9的平方根是3 D、?1是1的平方根 三、利用平方根解下列方程． （1）（2x-1）2

-169=0；

（2）4（3x+1）2

-1=0；

四、解答题 1、求27

9

的平方根和算术平方根。 2、计算

27???4?的值

3、若x?1?(3x?y?1)2?0，求5x?y2

的值。

4、若a、b、c满足a?3?(5?b)2

?c?1?0，求代数式b?c

a

的值。 5、已知

y?2x?x2?25

5?x

?0，求7（x＋y）－20

的立方根。

6、阅读下列材料，然后回答问题。

在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如5，

2，

3

2一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 3?1

5＝3?33（一）3?＝5

；

3

2＝33?3（二）

3

2＝2?3－1）＝2?1）3?13?1?1））2?123?1（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化。 2还可以用以下方法化简： ?1

2＝3?1＝3）2?12

＝?13?1）

?1?1（四） ?1?1?1（1）请用不同的方法化简2：

5??参照（三）式得2＝__________________；

??参照（四）式得2＝___________________。

?（2）化简：

1

?1?1

5??1

?5?...?1

2n?1?n?1

4

 

第二篇：人教版七年级下册数学课本知识点归纳

人教版七年级下册数学课本知识点归纳

第五章　相交线与平行线

一、相交线   两条直线相交，形成4个角。

1．邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。

2．对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。

3．对顶角相等。

二、垂线

1．垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

2．垂线： 垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

3．垂足：两条垂线的交点叫垂足。

4．垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

5．点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

三、同位角、内错角、同旁内角      两条直线被第三条直线所截形成8个角。     

1．同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。

2．内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。

3．同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，

具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。

四、平行线

(一) 平行线

1.平行：两条直线不相交。互相平行的两条直线，互为平行线。a∥b（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。） 

2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3.平行公理推论：①平行于同一直线的两条直线互相平行。

②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

(二)平行线的判定：

1.同位角相等，两直线平行。    

2.内错角相等，两直线平行。  

3.同旁内角互补，两直线平行。 

(三)平行线的性质

1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

4.两条平行线被第三条直线所截，外错角相等。

以上性质可简单说成：

1.两条直线平行，同位角相等。

2.两条直线平行，内错角相等。

3.两条直线平行，同旁内角互补。

(四)命题、定理 

1．命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。 

2.命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成。

题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果??，那么??”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。

3．真命题：正确的命题，题设是成立，结论一定成立。 

4．假命题：错误的命题，题设是成立，不能保证结论一定成立。

5.定理;经过推理证实得到的真命题。(定理可以做为继续推理的依据)

(五)平移 

1．平移:平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。

2.平移的性质 

①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。 

②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等。

第六章 平面直角坐标系

一、平面直角坐标系

(一) 有序数对 

1．有序数对 

用两个数来表示一个确定个位置，其中两个数各自表示不同的意义，我们把这种有顺序的两个数组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b） 

2.坐标：数轴(或平面)上的点可以用一个数(或数对)来表示，这个数(或数对)叫做这个点的坐标。 

(二)平面直角坐标系

1．平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点的数轴。这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。

2．X轴：水平的数轴叫X轴或横轴。向右方向为正方向。

3．Y轴：竖直的数轴叫Y轴或纵轴。向上方向为正方向。

4．原点：两个数轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。

5.在平面直角坐标系中对称点的特点：

①关于x成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。

②关于y成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。 

③关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。 

(三)象限

1．象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个部分，也叫四个象限。右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。一般，在x轴和y轴取相同的单位长度。

2．象限的特点： 

①特殊位置的点的坐标的特点：

（1）.x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。

（2）.第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

（3）.在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴。 

②点到轴及原点的距离：

点到x轴的距离为|y|； 

点到y轴的距离为|x|；

点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号； 

③各象限内和坐标轴上的点和坐标的规律：

第一象限：（+，+） 

第二象限：（-，+）

第三象限：（-，-）

第四象限：（+，-）。

x轴正方向：（+，0）

x轴负方向：（-，0）

y轴正方向：（0，+)

y轴负方向：(0，-）。

坐标原点:（0，0）

x轴上的点纵坐标为0，

y轴横坐标为0。

二、坐标方法的简单应用

(一)用坐标表示地理位置的过程：

1．建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定X轴和Y轴的正方向。

2．根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度。

3．在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

(二)用坐标表示平移

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就把原图形向右(左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去) 一个正数a，相应的新图形就把原图形向上(下)平移a个单位长度。

第七章　三角形

7.1　与三角形有关的线段

1.三角形的定：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。记作：△ABC

2．三角形三边的关系：两边之和大于第三边。三角形的两边的差一定小于第三边。

7.1.2　三角形的高、中线与角平分线

1.高：从三角形的顶点向它所对的边做垂线，所得的线段叫三角形这个边上的高。

2．中线：连接项点和它所对的边的中点，所得的线段叫三角形这个边上的中线。

3．角平分线：三角形一个顶角的平分线与它所对的边相交，所得的线段叫三角形的角平分线。

7.1.3　三角形的稳定性

三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。

7.2　与三角形有关的角

1．内角：三角形的内角和等于 180^。。

2．外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角。

①三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

②三角形一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7.3　多边形及其内角和

1. 多边形：由有一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形 

2．多边形内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，

3．外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 

4．对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 

5．凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，否则就是凹多边形。 

6．正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

7．如果说四边形的一对角互补，那么另一组角也互补。 

8．多边形的内角和：n边形的内角和等于180°×（n-2） ；

9．多边形的外角和等于360^。

(n边形的边=（内角和÷180°）+2 ；过n边形一个顶点有（n-3）条对角线 ；n边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形) 

第八章　二元一次方程组

　8.1　二元一次方程组

 1.二元一次方程：含有两个未知数的方程并且所含未知项的最高次数是1，这样的整式方程叫做二元一次方程。 

2．方程组：有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

3．二元一次方程组的解：二元一次方程的两个方程的公共解叫二元一次方程组的解

　8.2　消元

二元一次方程组有两种解法：一种是代入消元法,一种是加减消元法.

1．代入消元法：把二元一次方程中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

2．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或向减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

第九章　不等式与不等式组

9.1　不等式

一、不等式及其解集

1．不等式：用不等号(包括：>、<、≠)表示大小关系的式子。

2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。

3．不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围，叫不等式的解的集合，简称解集。

不等式的基本性质:  

性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).  

性质2:不等式的两边同加(减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性). 

性质3: 不等式的两边同乘(除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边同乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变。

如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac<bc.(不等式的乘法法则）

性质4:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. (不等式的加法法则) 

性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. (可乘性) 

性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么aⁿ>bⁿ,且.当0<n<1时也成立. (乘方法则) 

　9.2　实际问题与一元一次不等式

1.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式。

2．解一元一次不等式的一般方法： 

可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出 以两条不等式组成的不等式组为例，

①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”

②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大” 

③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x表示不等式的解集，此时一般表示为a＜x＜b，或a≤x≤b。此乃“相交取中

④若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组无解。此乃“向背取空” 

　9.3　一元一次不等式组

1．不等式组：几个含有相同未知数的不等式合起来，叫做不等式组。

2．不等式组的解：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。

3．解不等式组：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式的解集。　　

第十章　实数

一、算术平方根

1．算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作√a。0的算术平方根为0；

2．平方根：如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么数x就叫做a的平方根(或二次方根)。

3．开平方：求一个数a的平方根的运算(与平方互为逆运算)

4．平方根性质：正数有2个平方根（一正一负），它们是互为相反数；负数没有平方根。

二、立方根

1．立方根：如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么数x就叫做a的立方根(或三次方根)。

2．开立方：求一个数a的立方根的运算(与立方互为逆运算)。

3．立方根性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数。0的立方根是0；

三、实数

1．无理数：无限不循环小数。如：π、√2、√3

2．实数：有理数和无理数统称实数。实数都可以用数轴上的点表示。