轴对称知识点总结

1、轴对称图形：

一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：

两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：

（1）区别:轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系:把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、

轴对称的性质：

（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：

（1）定义:经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

如图2，

∵CA=CB，

  直线m⊥AB于C，  

∴直线m是线段AB的垂直平分线。

 

        

（2）性质:线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。 

（3）如图3，∵CA=CB，

  直线m⊥AB于C，

  点P是直线m上的点。

∴PA=PB 。

（4）判定:

    与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3，∵PA=PB，         

        直线m是线段AB的垂直平分线，

       ∴点P在直线m上 。

6、等腰三角形：

（1）定义:有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

?相等的两条边叫做腰。

第三条边叫做底。

?两腰的夹角叫做顶角。

?腰与底的夹角叫做底角。

说明：顶角=180°- 2底角

     

底角=

可见，底角只能是锐角。

（2）性质:

?等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。

?等边对等角。

如图5，在△ABC中

      ∵AB=AC

      ∴∠B=∠C 。

? 三线合一。

（3）判定:                

?有两条边相等的三角形是等腰三角形。

如图5，在△ABC中，

      ∵AB=AC

      ∴△ABC是等腰三角形 。

?有两个角相等的三角形是等腰三角形。

如图5，在△ABC中

      ∵∠B=∠C

      ∴△ABC是等腰三角形 。

7、等边三角形：

（1）定义:三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。

（2）性质:

?等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。

?三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。      

?等边三角形的三个内角都等于60°。

如图6，在△ABC中

      ∵AB=AC=BC

      ∴∠A=∠B=∠C=60°。

 

（3）判定:   

?三条边都相等的三角形是等边三角形。

如图6，在△ABC中

      ∵AB=AC=BC

      ∴△ABC是等边三角形 。

?三个内角都相等的三角形是等边三角形。

如图6，在△ABC中

      ∵∠A=∠B=∠C

      ∴△ABC是等边三角形 。

?有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。

如图6，在△ABC中

      ∵AB=AC（或AB=BC,AC=BC）

        ∠A=60°（∠B=60°，∠C=60°）

      ∴△ABC是等边三角形 。

（4）重要结论:在Rt△中，30°角所对直角边等于斜边的一半。

如图7，

∵在Rt△ABC中，

  ∠C=90°，∠A=30°

∴BC=AB

或AB=2BC

 

8、平面直角坐标系中的轴对称：

(1)

(2)

说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。对称点的作法见11（1）。

9、对称轴的画法：

在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。

注意：?有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。

      ?成轴对称的两个图形只有一条对称轴。

10、常见的轴对称图形：

（1）英文字母。

     A B D E H I K M O T U V W X Y

（2）中文。日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，山，甲，由，田，天，又，只，支，圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。

（3）数字。0  3  8

（4）图形。

 

说明：?圆有无数条对称轴。

      ?正n边形有n条对称轴。

11、掌握几个作图：

（1）作出点A关于直线m对称的点A^/ 。

作法：如图

?以点A为圆心，适当的长为半径画圆弧。使圆弧与直线MN交于两点C、D。?分别以点C,D为圆心，大于的长为半径画圆弧，设两条圆弧交于点E。

?作射线AE，设交直线mn于点F。

4在射线AE上截取FA^/=FA，点A^/即为所求。

12、找一点使距离之和最短【重点】

条件：如下左图，Ａ、Ｂ是直线Ｌ同旁的两个定点．

问题：在直线Ｌ上确定一点Ｐ，使PA＋PB的值最小．

方法：作点A关于直线L的对称点A＇，连结A＇B交L于点P，则PA+PB=A＇B的值最小。

注：这个知识点非常有技巧，以后遇到的很多题型如果会运用这个方法就省很多事。

 

第二篇：八年级上十二章轴对称知识点总结(最全最新)

                         轴对称知识点

（一）轴对称和轴对称图形

1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．

2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）

3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。　连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．  轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系

区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．

联系：1：都是折叠重合   2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线

（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．

（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．

（四）用坐标表示轴对称

1、  点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；

2、  点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；

3、  点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。

关于谁谁不变，关于原点都相反

(五）关于坐标轴夹角平分线对称

点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）

点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝ －x对称的点的坐标是（－y，－x）

（六）关于平行于坐标轴的直线对称

（七）点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；

点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；

(七）等腰三角形

1、  等腰三角形性质：

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）

2、  等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）

（八）等边三角形

（九）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。

1、  性质和判定：

（1）       等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。

（2）       三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）       有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。

（4）       在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（九）其他结论

（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

                                     作图题专练

1．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．

2．已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．

（1）如图，在l上求作一点M，使得｜ AM－BM ｜最小；

作法：

（2）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大            

作法：

（3）如图，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．

（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题

变式练习

1、如图，已知直线MN与MN同侧两点A、B求作：点P，使点P在MN上，且∠APM＝∠BPN 

2．如图点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；

3.如图已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．

4、已知：如图点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；

5、已知：如图3－14，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．

6、一条河两岸有A、B两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B两地，问路线怎样走，桥应架在什么地方，才能使从A到B所走的路线最短？