线性代数知识点总结

第一章            行列式

第一节：二阶与三阶行列式

把表达式称为所确定的二阶行列式，并记作，

即结果为一个数。（课本P1）

同理，把表达式称为由数表所确定的三阶行列式，记作。

即=

二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）

注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。

利用行列式计算二元方程组和三元方程组：

对二元方程组

设

则，（课本P2）

对三元方程组，

设，

，，，

则，，。（课本上没有）

注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。

第二节：全排列及其逆序数

全排列：把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）。

n个不同的元素的所有排列的总数，通常用Pn (或An)表示。（课本P5）

逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。

排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）

计算排列逆序数的方法：

方法一：分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。

方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）

第三节：n阶行列式的定义

定义：n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积

的代数和，其中p1 p2 … pn是1， 2， … ，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。也可简记为，其中为行列式D的（i，j元）。（课本P6）

根据定义，有

说明：

1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;

2、n阶行列式是项的代数和;

3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;

4、的符号为，t的符号等于排列的逆序数

5、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆。

推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 。

即

推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于乘以其副对角线上各元的乘积。

即，（上述二推论证明课本P7例6）

第四节：对换

定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。（课本P8）

定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

推论         奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。 （上述二定理证明课本P8）

定理2     n阶行列式的项可以写为，其中q1q2…qn是行标排列，p1p2 …pn是列标排列 。（证明课本P9）

推论         设有n阶行列式，则或或（行列式三种不同表示方法）

推论         在全部阶排列中，奇偶排列各占一半。

证明   设在全部阶排列中有个奇排列，个偶排列，现来证。

       将个奇排列的前两个数对换，则这个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，所以。

若将t个偶排列的前两个数对换，则这个偶排列，全变成奇排列，并且它们彼此不同，于是有。综上有s=t。

第五节：行列式的性质

定义         记，，行列式称为行列式的转置行列式。

性质1     行列式与它的转置行列式相等。（证明课本P9）

说明    行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。

性质2  互换行列式的两行或列，行列式变号。（证明课本P10）

推论         如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。

性质3     行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式；

推论1     的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到的外面;

推论2     中某一行（列）所有元素为零，则。

性质4　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．（证明课本P10）

性质5     若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则

性质6     把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。（课本P11）

计算行列式常用方法：①利用定义；②利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。

说明         行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成立。

第六节行列式按行（列）展开

余子式    在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作。

代数余子式   ，叫做元素的代数余子式。（课本P16）

引理         一个阶行列式，如果其中第行所有元素除（i，j）元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即。（证明课本P16）

定理         阶行列式 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即，，。（证明课本P17）

扩展         范德蒙德(Vandermonde)行列式的证明见课本P18

展开定理推论      阶行列式 的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即（证明课本P19）

第七节   克拉默法则

如果线性方程组的系数行列式不等于零，

即，那么该方程组有唯一解其中Di是用非齐次项代替D中第i列元素后所得的行列式。（证明课本P53，第二章）

注意         克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。

定理4     如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0，则(1)一定有解，且解是唯一的。

逆否定理        如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。

定理5      若齐次线性方程组的系数行列式，则其次线性方程组没有非零解。（即解唯一，只有零解）

逆否定理        如齐次方程组有非零解，则它的系数行列式D必为零。（课本P25）

第二章            矩阵

第一节   矩阵

定义      由个数排成的行列的数表称为m行n列矩阵。简称矩阵，记作，简记为，。

说明         元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

扩展         几种特殊的矩阵：

方阵 ：行数与列数都等于n的矩阵A。 记作：An。

行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。

同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。

相等矩阵：AB同型,且对应元素相等。记作：A＝B

零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）

对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：En(不引起混淆时，也可表示为E )（课本P29—P31）

注意         矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

第二节矩阵的运算

矩阵的加法   设有两个矩阵，那么矩阵与的和记作，规定为

说明   只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33）

矩阵加法的运算规律

；

，称为矩阵的

。（课本P33）

数与矩阵相乘      

数乘矩阵的运算规律（设为矩阵，为数）

；

；

。（课本P33）

矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

矩阵与矩阵相乘  设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵，其中，，并把此乘积记作

注意        

1。A与B能相乘的条件是：A的列数＝B的行数。

2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。

3。对于n阶方阵A和B，若AB=BA，则称A与B是可交换的。

矩阵乘法的运算规律

；

，

若A是n阶方阵，则称 Ak为A的k次幂，即，并且，。规定：A0＝E

注意　矩阵不满足交换律，即，（但也有例外）（课本P36）

纯量阵    矩阵称为纯量阵，作用是将图形放大倍。且有，A为n阶方阵时，有，表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。（课本P36）

转置矩阵        把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作，如，。

转置矩阵的运算性质

；

；

；

。（课本P39）

方阵的行列式       由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或（记住这个符号）

注意         矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。

运算性质

；

；

（课本P40）

对称阵    设A为n 阶方阵，如果满足A=AT ，即那么A称为对称阵。

说明         对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果则称矩阵为反对称的。即反对称矩阵A=（aij）中的元素满足aij＝－aji，i，j=1，2，…n

伴随矩阵        行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵。

性质         （易忘知识点）（课本P41）

共轭矩阵        （略）（课本P42）

总结        

（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。

（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。

第三节   逆矩阵

定义         对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B,使得AB＝BA＝E则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。，。

说明        

1  A ，B互为逆阵， A = B-1

2         只对方阵定义逆阵。

3.若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。

定理1     矩阵A可逆的充分必要条件是，并且当A可逆时，有（重要）（证明见课本P43）

奇异矩阵与非奇异矩阵      当时，称为奇异矩阵，当时，称为非奇异矩阵。即。

推论         若，则（证明见课本P43）

求逆矩阵方法      

逆矩阵的运算性质

。

。（以上证明见课本P43）

。

。

方阵的多项式       设为的次多项式，A为n阶矩阵，记称为矩阵A的次多项式。（课本P46）

注意         矩阵A的任意两个多项式j(A)与f(A)可交换，即，矩阵A多项式可以像x的多项式一样相乘或因式分解。

矩阵多项式的计算

，则

（重要）

总结         逆矩阵的计算方法

；；

第四节   矩阵分块法

矩阵分块        将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。

分块矩阵的运算规则

加法         A与B同型，且A、B的分块方法相同，则A与B的和定义为对应子块相加。

数乘         。

转置         。

乘法         首先AB有意义，其次A的列的分法与B的行的分法相同。，，。

结论         分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。

分块对角阵（准对角矩阵）

设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵，即，，则有：

。

，（diag（A）表示对角阵A）（课本P50）

有用的结论

线性方程组的分块表示

线性方程组，，

其中A为系数矩阵，x称为未知数向量，b称为常数向量，B称为增广矩阵。增广矩阵可以分块表示为：

第三章            矩阵的初等变换与线性方程组

第一节   矩阵的初等变换

初等行变换  

。

。

。

初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r”换成“c”。

扩展         矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。

矩阵等价       

等价关系的性质

（1）反身性  A~A

（课本P59）

行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。

行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.

标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A等价的矩阵中形状最简单的矩阵。

初等变换的性质

设A与B为m×n矩阵，那么

初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。

初等矩阵的性质

设A是一个m×n矩阵，则

（1）对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；

（2）对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵；

即

（4）方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵。

（5）（课本P61—P63）

初等变换的应用

（1）求逆矩阵：或。

（2）求A-1B：A即，则P=A-1B。或.

第二节矩阵的秩

矩阵的秩    任何矩阵，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）

矩阵的秩    在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r + 1阶子式(如果存在的话)全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式。数r称为矩阵A的秩，记作R(A).规定零矩阵的秩，R(0)=0.

说明     

1. 矩阵Am×n，则 R(A) ≤min{m,n};

2. R(A) = R(AT);

3. R(A)≥r的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零;

4. R(A)≤r的充分必要条件是所有r + 1 阶子式都为零.

满秩和满秩矩阵     矩阵，若，称A为行满秩矩阵；若，称A为列满秩矩阵；。

矩阵秩的求法

定理1    矩阵A经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若A～B，则R(A)=R(B)。

矩阵Am×n，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是A的秩。（证明课本P67）

推论         （课本P67）

矩阵秩的性质总结

。（课本P71）

第三节   线性方程组的解

线性方程组如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容的。

定理2  n元齐次线性方程组 Ax=0

（1）R(A) = n Ax=0 有唯一解，零解 

（2）R(A) ＜ n Ax=0 有非零解. 

定理3  n元非齐次线性方程组

（1）       无解的充分必要条件是

（2）       有唯一解的充分必要条件是

（3）       有无限多接的充分必要条件是（证明课本P71）

基础解系        齐次线性方程组的通解具有形式(c1, c2为任意常数)，称通解式中向量构成该齐次线性方程组的基础解系。

线性方程组的解法

齐次线性方程组：将系数矩阵A化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解. 若有非零解，化成行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为n－R(A)，齐次线性方程组的通解可以表成基础解系的“线性组合”。

非齐次线性方程组：将增广矩阵B=(A,b)化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由的。

非齐次线性方程组解的通解具有形式 (c1, c2为任意常数)，不带参数部分是非齐次方程组的一个解；带参数部分的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。

定理         矩阵方程AX＝B有解的充分必要条件是R(A)＝R(A,B)

定理        

第四章            向量组的线性相关性

第一节           向量组及其线性组合

n维向量n个数a1,a2,…,an组成的一个有序数组(a1,a2,…,an) 称为一个n维向量,记为，其中第i个数ai称为向量的第i个分量。

说明        

1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵

2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则

进行运算；

3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。行向量可看作是列向量的转置。

零向量             0=(0,0,…,0)T(维数不同, 零向量不同)

负向量             。

向量相等        设，若则。

向量运算规律：

①  

②  

③  

④  

⑤  

⑥  

⑦  

⑧  

满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。

向量与矩阵的关系

向量组             若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。

设矩阵A=(aij)m×n有n个m维列向量，即，。同理，也可说矩阵A有m个行向量组组成。

，
。

另外，线性方程组的解也可以用一个向量来描述；线性方程组的解集合(通解)可以用一个向量组来描述。

向量，向量组，矩阵与方程组的关系

向量组矩阵：

向量方程 方程组：，

可简写作

向量方程方程组矩阵形式

线性组合        给定向量组和向量b，如果存在一组数使，则向量b是向量组A的线性组合，这时称b向量能由向量组A线性表示。

定义         给定向量组，对于任一组实数，向量称为向量组的一个线性组合。称为这个线性组合的系数。

定理1     向量b能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩。即R(A)=R(A,b)。

定理2     向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩，即R（A）=R(A,B)。

推论         向量组与向量组等价的充分必要条件是，其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。（证明课本P84）

定理3     设向量组能由向量组线性表示，则（易忘知识点）

向量组的线性表示       设有两个向量组，若B组中每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

扩展         向量组能由向量组线性表示

第二节向量组的线性相关性

向量组的线性相关       给定向量组，如果存在不全为零的数使，则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关；若当且仅当时上式成立，则称向量组A线性无关。

注意

1.对于向量组来说，不是线性无关，就是线性相关。

2.对于两个向量来说，线性相关意味着两向量的分量对应成比例，几何含义两向量共线；三个向量线性相关意味着三向量共面。

4.包含零向量的任何向量组是线性相关的，此时总存在不为零的k，使得

线性相关性的判定      

定理　向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示

定理4     向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵小于向量的个数m，向量组线性无关的充分必要条件是R（A）=m。

最大线性无关向量组  设有向量组A，如果在A中能选出r个向量，满足：

；

(2)    向量组A中任意r +1个向量(如果有的话)都线性相关；

则称向量组是向量组A的一个最大线性无关向量组。

(2)*    向量组A中任何一个(其它)向量可由线性表示。

定理  向量组与它的最大无关组等价，向量组的两个最大无关组之间等价。

定义  向量组的最大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记向量组的秩为RA，RA=R（）。

矩阵A的秩＝非零子式的最高阶数

＝矩阵A行向量组的秩

＝矩阵A列向量组的秩

＝有效方程的个数

第二节   向量组的线性相关性