考研线性代数知识点全面总结

《线性代数》复习提纲

第一章、行列式

1．行列式的定义：用个元素组成的记号称为n阶行列式。

　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n3）行列式的计算：降阶法

　定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

　方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；

行列式值为0的几种情况：

Ⅰ　行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ　行列式某行（列）的对应元素相同；

Ⅲ　行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ　奇数阶的反对称行列式。

3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式、代数余子式

定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。

奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。

n阶行列式也可定义：，t为的逆序数

4.行列式性质：

1、行列式与其转置行列式相等。

2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。

3、行列式某行（列）乘数k,等于k乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。

4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。

5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。

6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则）

7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.

5.克拉默法则：

：若线性方程组的系数行列式，则方程有且仅有唯一解。

：若线性方程组无解或有两个不同的解，则系数行列式D=0.

：若齐次线性方程组的系数行列式，则其没有非零解。

：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0。

6. ，

，（两式要会计算）

题型：Page21（例13）

第二章、矩阵

1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；

2．矩阵的运算

（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；

（2）关于乘法的几个结论：

①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；

②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；

③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；

④|kA|=*|A|。只有方阵才有幂运算。

（3）转置：（kA）^T=kA^T，

（4）方阵的行列式：，，

（5）伴随矩阵：，，的行元素是A的列元素的代数余子式

（6）共轭矩阵：，，，

（7）矩阵分块法：，

3．对称阵：方阵。对称阵特点：元素以对角线为对称轴对应相等。

3．矩阵的秩

（1）定义：非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；

（2）秩的求法：一般不用定义求，而用下面结论：

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

（3）0≤R()≤min{m,n} ；；若，则R(A)=R(B) ；

若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A) ; max{R(A),R(B)} ≤R(A,B) ≤R(A)+R(B) ；

若AB=C，R(C)≤min{R(A),R(B)}

4．逆矩阵

　（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；

　（2）性质：，；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）

　（3）可逆的条件：①　|A|≠0；　②r(A)=n; ③A->I;

　（4）逆的求解：1伴随矩阵法；②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:）

　（5）方阵A可逆的充要条件有：1存在有限个初等矩阵，…，，使 2

第三章、初等变换与线性方程组

1、 初等变换：1，2，3 性质：初等变换可逆。

等价：若A经初等变换成B，则Ａ与Ｂ等价，记作，等价关系具有反身性、对称性、传递性。

初等矩阵：由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵。

定理：对施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵。

等价的充要条件：1 R(A)=R(B)=R(A,B)

2的矩阵Ａ、Ｂ等价存在m阶可逆矩阵P、n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B。

线性方程组解的判定

定理：(1) r(A,b)≠r(A) 无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；

(3)r(A,b)=r(A)<n 有无穷多组解；

特别地：对齐次线性方程组AX=0，(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)<n 有非零解；

再特别，若为方阵，(1)|A|≠0 只有零解；(2)|A|=0 有非零解

2．齐次线性方程组

（1）解的情况：r(A)=n只有零解； r(A)<n有无穷多组非零解。

（2）解的结构：。

（3）求解的方法和步骤：

　①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；②写出对应同解方程组；

③移项，利用自由未知数表示所有未知数；④表示出基础解系；⑤写出通解。

（4）性质：

　1若和是向量方程A*x=0的解，则、也是该方程的解。

　2齐次线性方程组的解集的最大无关组是该齐次线性方程组的基础解系。

　3若，则n元齐次线性方程组A*x=0的解集S的秩。

3．非齐次线性方程组

（1）解的情况：1有解 R(A)=R(A,b)。2唯一解 R(A)=R(A,b)=n。3无限解 R(A)=R(A,b)＜n。

（2）解的结构：　X=u+。

（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。

（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。

（5）1若、都是方程的解，则是对应齐次方程的解

2是方程的解，是的解，则也是的解。

第四章、向量组的线性相关性

1．N维向量的定义(注：向量实际上就是特殊的矩阵——行矩阵和列矩阵；默认向量a为列向量)。

2．向量的运算：

（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；

（2）向量内积　α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；

（3）向量长

（4）向量单位化　(1/|α|)α；

3．线性组合

（1）定义：若，则称b是向量组，，…，的一个线性组合，或称b可以用向量组，，…，的线性表示。

（2）判别方法：将向量组合成矩阵，记　A＝(，，…，)

1 B=(，，…，，β)，则：r (A)=r (B) b可以用向量组，，…，线性表示。

2B=(，，…，)，则： B能由A线性表示R(A)=R(A,B) AX=B有解R(B)≤R(A).

（3）求线性表示表达式的方法：矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。

注：求线性表示的系数既是求解Ax=b

4．向量组的线性相关性

（1）线性相关与线性无关的定义

　设，若k1,k2,…,kn不全为0，称线性相关；若全为0，称线性无关。

（2）判别方法：

① r(α1，α 2，…，αn)<n，线性相关； r(α1，α 2，…，αn)=n，线性无关。

②若有n个n维向量，可用行列式判别：　n阶行列式|{}|＝0，线性相关（≠0无关）

3A:，，…，， B:，，…，，，若A相关则B一定相关，若B相关A不一定相关；

若A无关，B相关，则向量必能由A线性表示，且表示式唯一。

注：含零向量的向量组必定相关。

5．极大无关组与向量组的秩

（1）定义：最大无关组所含向量个数称为向量组的秩

（2）求法：设A＝(，，…，)，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。

（3）矩阵的秩等于它的行向量组的秩也等于它的列向量组的秩。

注：如何证明，.

第五章、相似矩阵及二次型

1、向量内积：。

内积性质：，，;

：当x=0时，，当x0时，

2、向量长度：

性质：非负性、齐次性、三角不等式

3、正交：称x与y正交。若x=0,则x与任何向量都正交。

正交向量组是指一组两两正交的非零向量。

定理：若m维向量，，…，是正交向量组，则，，…，线性无关。

正交阵：，。

性质：若A为正交阵则也是正交阵，且；若A、B都正交，则AB正交。

规范正交基：设m维向量，，…，是向量空间V的一个基，若，，…，两两正交，且都是单位向量，则称，，…，是V的一个规范正交基。

规范正交化：施密特正交化过程：，，……

正交变换：P为正交阵，称为正交变换。有

4、矩阵的特征值和特征向量

1定义：对方阵A，若存在非零向量和数λ使，则称λ是矩阵A的特征值，向量称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。

2特征值和特征向量的求解：求出特征方程||=0的根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组()＝0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。

3重要结论与定理：

（1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；（2）A与A的转置矩阵A'有相同的特征值；

（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。（4）对的特征值有：；。

（5）若λ是A的特征值，则是的特征值，是的特征值。（6），，…，是方阵Ａ的ｍ个特征值，对应特征向量是，，…，，若互不相等，则互不相关。

5、矩阵的相似

1定义：同阶方阵A、B，若有可逆阵P，，则A与B相似。P为把A变为B的相似变换矩阵。

2若n阶矩阵A与对角阵相似，则对角阵元素即是A的n个特征值。

若f(λ)是矩阵Ａ的特征多项式，则f(A)=0。

与对角阵相似A有n个线性无关的特征向量。

若的n个特征值互不相等，则A与对角线对视。

3求A与对角矩阵相似的方法与步骤（求P和）：求出所有特征值；求出所有特征向量；

若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为。

4通过正交变换求与实对称矩阵A相似的对角阵：方法与3相同，但要将所得特征向量正交化且单位化。

6、二次型

1二次型：n元二次多项式f(,,…，)=称为二次型。若=0(i≠j)，则称为二交型的标准型。如果标准型的系数为1、-1或0，则为规范型。

合同：A、B为n阶矩阵，若有可逆阵Ｃ，使，则A与B合同。

2二次型标准化：配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q， =Q'，即正交变换既是相似变换又是合同变换。

3任意给定二次型（），总有正交变换x=Py，使f化为标准型，其中。，，…，是的特征值。

4任给n元二次型，总有可逆变换，使为规范型。

7．二次型或对称矩阵的正定性：

（1）惯性定理：二次型的可逆变换的标准型中的正系数个数不变。概念：正、负惯性指数……

（2）设二次型，如对任何，有>0，则称f为正定二次型，称对称阵A是正定的。

（3）正定的充要条件：①A的所有特征值都是正数，即标准型系数全为正，即正惯性指数为n。

②A的所有顺序主子式都大于0；

第二篇：考研数学知识点-线性代数-必看

考研数学知识点－线性代数

1 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

第一讲基本知识

二．矩阵和向量

1．线性运算与转置

① A + B = B + A

②(A + B)+ C = A +(B + C)

③ c(A + B)= cA + cB (c + d)A = cA + dA

④ ( ) ( )A c dA = cd

⑤cA = 0 ? c = 0 或A = 0 。

向量组的线性组合

s α

α ,α , , 1 2 Λ ，

s s c α +c α +Λ+ c α 1 1 2 2 。

转置

A 的转置AT （或A′ ）

(A ) A T T =

(A ± B)T = AT ± BT

(cA)T = c(AT )。

3． n 阶矩阵

n 行、n 列的矩阵。

对角线，其上元素的行标、列标相等, ,Λ 11 22 a a

对角矩阵

? ? ?

0 0 *

0 * 0

* 0 0

数量矩阵3E

0 0 3

0 3 0

3 0 0

? ? ?

单位矩阵E或I

? ? ? ?

? ? ?

0 0 1

0 1 0

1 0 0

上（下）三角矩阵

? ? ?

0 0 *

0 * *

* * *

对称矩阵AT = A 。

反对称矩阵AT = ?A。

三．矩阵的初等变换，阶梯形矩阵

初等变换分

? ? ?

初等列变换

初等行变换

三类初等行变换

①交换两行的上下位置

A → B

②用非零常数c 乘某一行。

③把一行的倍数加到另一行上（倍加变换）

阶梯形矩阵

4 3

2 1

1 0

0 0 0 0 0

0 0 0 2 3

0 1 2 5 1

4 1 0 2 0

? ? ? ? ?

①如果有零行，则都在下面。

②各非零行的第一个非0 元素的列号自上而下严格

单调上升。

或各行左边连续出现的0 的个数自上而下严格单调

上升，直到全为0 。

台角：各非零行第一个非0 元素所在位置。

简单阶梯形矩阵：

3．台角位置的元素都为1

4．台角正上方的元素都为0。

每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单

阶梯形矩阵。

如果A 是一个n 阶矩阵

A 是阶梯形矩阵? A 是上三角矩阵，反之不一定，

如? ? ?

? ? ?

0 0 1

0 1 0

0 0 1

是上三角，但非阶梯形

四．线性方程组的矩阵消元法

用同解变换化简方程再求解

三种同解变换：

①交换两个方程的上下位置。

②用一个非0 数c 乘某一个方程。

③把某一方程的倍数加到另一个方程上去，它在反映

在增广矩阵上就是三种初等行变换。

考研数学知识点－线性代数

2 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

矩阵消元法：

①写出增广矩阵(Aβ )，用初等行变换化(Aβ )为阶梯

形矩阵(Bγ )。

②用(Bγ )判别解的情况。

i）如果(Bγ )最下面的非零行为(0,Λ ,0 d)，则无解，

否则有解。

ii）如果有解，记γ 是(Bγ )的非零行数，则

γ = n 时唯一解。

γ < n 时无穷多解。

iii）唯一解求解的方法（初等变换法）

去掉(Bγ )的零行，得( ) 0 0 B γ ，它是n ×(n + c)矩阵，

0 B 是n 阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。

? ? ? ? ? ?

? ?

n n

1 1

0 0 0 0

0 0 0 *

0 0 * *

0 * * *

* * * *

则0 ≠ n n b n n ii ? b ≠ ? Λ b ? ? 0 1 1 都不为0 。

于是把( ) 0 0 B γ 化出的简单阶梯形矩阵应为

? ? ? ? ?

n c

Ο Μ

0 0 0 1

0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 0

其方程为

? ?

2 2

1 1

n n x c

x c

即( ) n c ,c , ,c 1 2 Λ 就是解。

第二讲行列式

一．形式与意义

n n nn

a a a

Λ Λ Λ Λ

1 2

21 22 2

11 12 1

A 是n 阶矩阵， A 表示相应的行列式。

二．定义（完全展开式）

ad bc

c d

a b

= ?

一个n 阶行列式

n n nn

a a a

Λ Λ Λ Λ

1 2

21 22 2

11 12 1

的值：

①是n!项的代数和

②每一项是n 个元素的乘积，它们共有n!项

j j njn a a Λ a

1 1 2 2

其中n j j Λ j 1 2 是1,2,Λ ,n 的一个全排列。

③

j njn a Λ a

1 1 前面乘的应为

( ) ( ) 1 j1 j2Λ jn τ ?

( ) n j j Λ j 1 2 τ 的逆序数

1,2,Λ ,n

= Σ(? ) ( )

j j j

j j nj

j j j a a a

Λ Λ

1 2

1 2 1 τ

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3 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

( ) ( ( ) )

n n

b b b

1 2

2 1 21

* * *

0 * *

0 0 *

0 0 0

? = ? τ

( ( ) ) ( )

1 21 2 ?1

n n ? = C = n n n τ Λ

三．计算（化零降阶法）

余子式和代数余子式

称ij M 为ij a 的余子式。

( ) ij

i j

ij A M = ?1 +

定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列），各元

素与各自代数余子式乘积之和。

n n D a A a A a A21 21 22 22 2 2 = + +Λ+

四．行列式的其它性质

1．转置值不变AT = A

2．用一个数c 乘某一行（列）的各元素值乘c

cA = cn A

3．行列式和求某一行（列）分解

α ,β β ,γ α ,β ,γ α ,β ,γ 1 2 1 2 + = +

( ) 1 2 3 A = α ,α ,α ，3 阶矩阵

( ) 1 2 3 B = β ,β ,β

A+ B ≠ A + B

( )1 1 2 2 3 3 A + B = α + β ,α + β ,α + β

1 1 2 2 3 3 A + B = α + β ,α + β ,α + β

1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 = α ,α + β ,α + β + β ,α + β ,α + β

4．第一类初等变换使值变号

5．如果一个行列式某一行（列）的元素全为0 或者

有两行（列）的元素成比例关系，则行列式的值为0 。

6．一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素

代数余子式之和为0 。

7． A B

? 0

8．范德蒙行列

Π<

= ?

i j

j i

n a a

a a a

( )

1 1 1

1 1 Λ

n C 个

五．元素有规律的行列式的计算

六．克莱姆法则

克莱姆法则：设线性方程组的系数矩阵A 是n 阶矩阵

（即方程个数m = 未知数个数n ），则

A ≠ 0 时，方程组唯一解，此解为

? ?

D 1 , 2 ,Λ , n

i D 是A 的第i 列用

? ? ? ? ?

n b

代替后所得n 阶行列式：

A = 0 时，解如何？

即唯一解?? A ≠ 0 ？

改进： A ≠ 0 ? 唯一解

证明： (Aβ )??行→(B r)

A ≠ 0 ? B ≠ 0

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( )

? ? ? ? ?

= r

B r

nn 0 0 0

0 0 *

0 * *

* * *

若B ≠ 0 ，则≠ 0 ii b , i ? ，故唯一解。

若唯一解，则(B | r)有n 个非零行，且最下面的非零

行不是(0,Λ ,0 | d)于是≠ 0 nn b ，从而每≠ 0 ii b 。

Π=

= ≠

ii B b

求解方法：

(Aβ )??行→(B r)??行→(Eη)

η 就是解。

对于齐次方程组A ≠ 0 ? 只有零解。

第三讲矩阵

一．矩阵的乘法

1．定义与规律

定义：设A 与B 是两个矩阵

如果A 的列数等于B 的行数，则A 可以乘B ，乘积也

是一个矩阵，记作AB 。

当A 是m× n 矩阵，B 是n × s 矩阵时，AB 是m× s 矩

阵。

AB 的(i, j)位元素是A 的第i 行和B 的第j 列对应元

素乘积之和。

ij i j i j in nj C =a b + a b +Λ+ a b 1 1 2 2

遵循的规律

①线性性质

(A A )B A B A B 1 2 1 2 + = + ，

( ) 1 2 1 2 A B + B = AB + AB

(cA)B = c(AB) = A(cB)

②结合律(AB)C = A(BC)

③(AB)T = BT AT

与数的乘法的不同之处

无交换律，无消去律

当AB = 0 时?/ A = 0 或B = 0

由A ≠ 0 和AB = 0 ?/ B = 0

由A ≠ 0 时AB = AC ?/ B = C （无左消去律）

2． n 阶矩阵的方幂与多项式

任何两个n 阶矩阵A 与B 可乘，并且AB 仍是n 阶矩

阵。

行列式性质： AB = A B

A 是n 阶矩阵

64 7 48

k个

Ak = AA A， A0 = E

Ak Al = Ak +l

(Ak )l = Akl

但是(AB)k = Ak Bk 不一定成立！

设( ) 1 0

1 f x a x a xk a x a

k = + ? + + +

? Λ ，

A 是n 阶矩阵，规定

f (A) a A a Ak a A a E

k 1 0

1 = + ? + + +

? Λ

问题：数的乘法公式，因式分解等对矩阵是否仍成

立？

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ？

A2 ? B2 = (A ? B)(A + B)？

‖

A2 + AB + BA + B2

障碍是交换性

当BA AB = 时，( ) Σ=

+ = ?

i i k ik

A B k C A B

一个矩阵A 的每个多项式可以因式分解，例如

A2 ? 2A ? 3E = (A ? 3E)(A + E)

3．乘积矩阵的列向量与行向量

（1）设m× n 矩阵( ) n A α ,α , ,α 1 2 = Λ ，n 维列向量

( )T

n b ,b , ,b 1 2 β = Λ ，则

n n Aβ = bα + b α + Λ + b α 1 1 2 2

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5 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

? ? ?

+ +

? ? ?

1 31 2 32 3 33

1 21 2 22 3 23

1 11 2 12 3 13

31 32 33

21 22 23

11 12 13

1 2 3

b a b a b a

a a a

α α α

1 1 2 2 3 3

1 bα b α b α

b = + +

? ? ?

应用于方程组

? ?

+ + + =

m mn n m

n n

a x a x b

a x

a x a x a x b

2 2

1 1

21 1 22 2 2 2

11 1 12 2 1 1

记A 是系数矩阵， ( ) n A α ,α , ,α 1 2 = Λ ，设

( )T

n x x , , x 1 = Λ ，

则

? ? ? ? ?

+ + +

m m mn n

n n

a x a x a x

1 1 2 2

21 1 22 2 2

11 1 12 2 1

，

方程组的矩阵形式

Ax = β ， ( ( )T )

m b ,b , ,b 1 2 β = Λ

方程组的向量形式

α + α + + α = β n n x x Λ x 1 1 2 2

（2）设AB = C ，

记( ) s B β ,β , ,β 1 2 = Λ ， ( ) s C r , r , , r 1 2 = Λ

则r A i s i i = β , = 1,2,Λ ,

或( )s AB Aβ , Aβ , , Aβ 1 2 = Λ

? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

Λ Λ

Λ Λ Λ Λ

2 2

21 22 2

11 12 1

1 2

21 22 2

11 12 1

n n ns m

m m mn

b b b

a a a

于是i i i i ni n r=Aβ = b α + b α +Λ+ b α 1 1 2 2

即AB 的第i 个列向量i r 是A 的列向量组

n α ,α , ,α 1 2 Λ 的线性组合，组合系数是B 的第i 个列向量

的各分量。

类似地： AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性

组合，组合系数是A 的第i 个行向量的各分量。

BT AT = CT

对角矩阵从右侧乘一矩阵A ，即用对角线上的元素依

次乘A 的各列向量。

对角矩阵从左侧乘一矩阵A ，即用对角线上的元素依

次乘A 的各行向量。

于是AE = A ， EA = A

A(kE) = kA， (kE)A = kA

两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘

对角矩阵的k 次方幂只须把每个对角线上元素作k 次

方幂。

4．初等矩阵及其在乘法中的作用

对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵称为初等

矩阵。

共有3 种初等矩阵

（1）E(i, j)：交换E 的第i, j 两行或交换E 的第i, j

两列

n = 5 ， ( )

? ? ? ? ? ?

0 0 0 0 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

1 0 0 0 0

E 2,4

（2） E(i(c))：用数c(≠ 0)乘E 的第i 行或第i 列

n = 5 ， ( )

? ? ? ? ? ?

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0 0

2( )

E c

（3）E(i, j(c))：把E 的第j 行的c 倍加到第i 行上，

或把E 的第i 列的c 倍加到第j 列上。

考研数学知识点－线性代数

6 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

n = 5 ， ( )

? ? ? ? ? ?

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

1 0 0 0

1,4( )

E c

命题：初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A 等同于对A

作一次相当的初等行（列）变换。

( , , , , ) (1,4( )) 1 2 3 4 5 α α α α α E c

( )

? ? ? ? ? ?

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

1 0 0 0

, , , , 1 2 3 4 5

α α α α α

( )1 2 3 1 4 5 = α ,α ,α ,cα +α ,α

5．矩阵分解

6．乘法的分块法则

一般法则：在计算两个矩阵A 和B 的乘积时，可以先

把A 和B 用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A 的纵

向分割与B 的横向分割一致。

两种常用的情况

（1） A, B 都分成4 块

? ??

21 22

11 12

A A

A ， ?

? ??

21 22

11 12

B B

其中i1 A 的列数和j B1 的行数相等， i2 A 的列数和j B2 的

行数相关。

? ??

+ +

21 11 22 21 21 12 22 22

11 11 12 21 11 12 12 22

A A A B A B A B

A B A B A B A B

（2）准对角矩阵

? ? ? ? ?

kk A

0 0

? ? ? ? ?

kk kk kk kk A B

A B

0 0

22 22

11 11

Λ Λ Λ Λ

Μ Ο

对一个n 阶矩阵A ，规定tr(A)为A 的对角线上元素

之和称为A 的迹数。

于是 (αβ T )k (β Tα )k αβ T ?1 =

[tr(αβ T )]k αβ T ?1 =

二．矩阵方程与可逆矩阵

1．两类基本的矩阵方程

AB = C 若知道C 和A ，B 中的一个，求另一个，这

是乘法的逆运算。

两类基本矩阵方程

(I )Ax = B (II )xA = B

都需求A 是方阵，且A ≠ 0

（I）的解法：

(A B)??行→(E x)

（II）的解法，先化为AT xT = BT 。

(AT BT )→ (E xT )。

2．可逆矩阵及其逆矩阵

当a ≠ 0 时，

a?1 = 1 。

对ab = ac 两边乘a?1 ，得b = c 。

①定义与意义

设A 是n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵H ，使得

AH = E ，且HA = E ，则称A 是可逆矩阵，称H 是A 的

逆矩阵，证作A?1 。

考研数学知识点－线性代数

7 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

设A 可逆，则A 有消去律。

左消去律： AB = AC ? B = C 。

右消去律： BA = CA ? B = C 。

②可逆性的判别，逆矩阵的计算

定理： n 阶矩阵A 可逆? A ≠ 0

证明：“? ” AA?1 = E

A A?1 = E = 1。

∴ A 不为0，（且

A?1 = 1 ）。

“ ? ”要找H ，既是Ax = E 的解，又是xA = E 的

解。

A ≠ 0 ， Ax = E 有唯一解，记作B ，xA = E 也有唯

一解，记作C ，则AB = E ，CA = E 。

B = (CA)B = C(AB)= C

A 可逆， A?1 即Ax = E 的解。

求A?1 的方程（初等变换法）

(A E)??→(E A?1 ) 行

推论设A ， B 是两个n 阶矩阵，则

AB = E ? BA = E

③可逆矩阵的性质

i）当A 可逆时，

AT 也可逆，且(AT )?1 (A?1)T = 。

Ak 也可逆，且(Ak )?1 (A?1)k = 。

数c ≠ 0 ， cA 也可逆，( )?1 = 1 A?1

cA 。

cA = cn A ≠ 0

( ) AA E

A c

cA = ??

??? ?

? 1 ?1 1 ?1

。

ii）设A ，B 是两个n 阶可逆矩阵，则AB 也可逆，且

( )?1 ?1 ?1 AB = B A 。

当A ， B 都是n 阶矩阵时

A ， B 都可逆? AB 可逆

命题：初等矩阵都可逆，且

(E(i, j)) 1 = E(i, j) ?

( ) ( ) ( ) ?

? ??

? = ?

E i c 1 E i 1

(E(i j(c))) = E(i j(? c)) ? , 1 ,

E(i, j(c)) = 1。

命题：准对角矩阵

kk A

0 0 0

= 可逆

每个ii A 都可逆，记

0 0 0

? =

kk A

3．伴随矩阵

每个n 阶矩阵A 都有伴随矩阵，证作A* 。

( )T

n n nn

A A A

A =

? ? ? ? ?

Λ Λ Λ Λ

1 2

12 22 2

11 21 1

伴随矩阵的基本性质：

AA* = A* A = A E

考研数学知识点－线性代数

8 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

? ? ? ? ?

A A A

a a a

n n nn

0 0 0

1 2

12 22 2

11 21 1

1 2

21 22 2

11 12 1

Λ Λ Λ Λ

当A 可逆时，

A A* =

得

A?1 = A* ，

求逆矩阵的伴随矩阵法

当2 = n 时： ?

? ??

c d

a b

A ，

则?

? ??

c a

d b

ad bc

c a

d b

? ??

?1 =

要证 A* = A A?1

A E

A * =

得( *)?1 = = (A?1)?

A A

( ) ( ) ?

? ?

= = ? ? ? ?

A A A A 1 * 1 1 1

伴随矩阵的其他性质

①

1 * ? = n A A ,

②(AT )* = (A*)T ,

③(cA)* = cn?1A*,

④(AB)* = B* A*,

⑤(Ak )* = (A*)k ，

⑥(A ) A A n 2 * * ? = 。

2 = n 时， ?

? ??

c d

a b

( ) A

c d

a b

c d

a b

A = ?

? ??

= ?

? ??

* * = *

关于矩阵右上肩记号：T ， k ， ?1，*

i) 任何两个的次序可交换，

如(AT )* = (A*)T ，

( *)?1 ( ?1 )* A = A 等

ii) ( ) , ( )?1 ?1 ?1 AB T = BT AT AB = B A ，

(AB)* = B * A*

（但(AB)k = Bk Ak 不一定成立！）

小结：

1．乘法的定义，与数的乘法的区别

2．在特殊情形下怎么快捷地求乘积矩阵

3．矩阵分解的概念

4．矩阵方程的初等变换法

5．可逆矩阵

Ax = B ， x = A?1B

第四讲向量组的线性关系和秩

一．线性表示

1．β 可以用s

α α ,α , , 1 2 Λ 线性表示，即β 可以表示

为s

α α ,α , , 1 2 Λ 的线性组合，也就是存在s c ,c , ,c 1 2 Λ 使

得

α + α + + α = β s s c c Λ c 1 1 2 2

记号： s

α β α ,α , , 1 2 → Λ

例如s

α 0 α ,α , , 1 2 → Λ i s α α ,α , ,α 1 2 → Λ

β →α α α ? α + α + + α = β s s s Λ x x Λ x 1 2 1 1 2 2 , , , 有

解

?(α α α )x = β s , , , 1 2 Λ 有解

考研数学知识点－线性代数

9 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

( ( )T )

s x x , , x 1 = Λ

Ax = β 有解，即β 可用A 的列向量组表示。

2 ． t s β ,β , ,β α ,α , ,α 1 2 1 2 Λ → Λ ，即每个

i s β α ,α , ,α 1 2 → Λ

如果( ) s AB C r , r , , r 1 2 = = Λ ， ( ) n A α ,α , ,α 1 2 = Λ ，

则s n r , r , , r α ,α , ,α 1 2 1 2 Λ → Λ 。

如果t s β ,β , ,β α ,α , ,α 1 2 1 2 Λ → Λ ，则存在矩阵C ，

使得

( ) ( )C t s β ,β , ,β α ,α , ,α 1 2 1 2 Λ = Λ

例如1 1 2 3 β =α +α +α ， 2 2 3 β = 2α +α ，

3 2 3 β = 2α + 3α ，则

( ) ( )

? _________? ?

? ? ?

1 1 3

1 2 2

1 0 0

, , , , 1 2 3 1 2 3 β β β α α α

线性表示关系有传递性，即当

t s p , , , , , , r , r , , r 1 2 1 2 1 2 β β Λ β →α α Λ α → Λ ，

则t p , , , r , r , , r 1 2 1 2 β β Λ β → Λ 。

3．等价关系：如果s

α α ,α , , 1 2 Λ 与t

β β ,β , , 1 2 Λ 互相

可表示

s t α ,α , ,α β ,β , ,β 1 2 1 2 Λ Λ ← →

就称它们等价，记作s t α ,α , ,α β ,β , ,β 1 2 1 2 Λ ? Λ 。

二．线性相关性

1．定义与意义

考察s

α α ,α , , 1 2 Λ 的内在线性表示关系

? ? ?

1 α

，

? ? ?

2 α ，

? ? ?

3 α ，

? ? ?

4 α

线性相关：存在向量i

α 可用其它向量

i i s α , ,α ,α , ,α 1 1 1 Λ Λ ? + 线性表示。

线性无关：每个向量i

α 都不能用其它向量线性表示

定义：如果存在不全为0 的s c ,c , ,c 1 2 Λ ，使得

0 1 1 2 2 + + + = s s c α c α Λ c α ，

则称s

α α ,α , , 1 2 Λ 线性相关，否则称s

α α ,α , , 1 2 Λ 线

性无关。

例如0 1 c ≠ ，则s s c α =?c α ?Λ? c α 1 1 2 2 ，

c α α α

1 =? ?Λ ? 。

s α

α ,α , , 1 2 Λ 线性无关，即当0 1 1 + + = s s c α Λ c α

时必存0 1 = = = s c Λ c 。

s α

α ,α , , 1 2 Λ 线性相（无）关

0 1 1 ? + + = s s x α Λ x α 有（无）非零解

( , , , ) 0 1 2 ? x = s

α α α Λ 有（无）非零解

s = 1，即单个向量α ， xα = 0

α 相关?α = 0

s = 2 ， 1 2 α ,α 相关? 对应分量成比例

( ) n a ,a , ,a 1 1 2 α = Λ ， ( ) n b ,b , ,b 2 1 2 α = Λ

1 2 α ,α 相关n n a : b a : b a : b 1 1 2 2 ? = = Λ =

2．性质

①如果向量个数s 二维数n ，则1 n α ,Λ ,α 线性相（无）

关( )0 1 ? = ≠ n α Λ α

考研数学知识点－线性代数

10 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

( ) n A α ,α , ,α 1 2 = Λ ， Ax = 0 有非零解? A = 0

如果n s > ，则s

α α ,α , , 1 2 Λ 一定相关。

Ax = 0 的方程个数n < 未知数个数s

②如果s

α α ,α , , 1 2 Λ 无关，则它的每一个部分组都无

关。

例如若1 2 3 4 5 α ,α ,α ,α ,α 无关，则1 2 4 α ,α ,α 一定无关。

③如果s

α α ,α , , 1 2 Λ 无关，而α ,α , ,α ,β 1 2 s Λ 相关，

则

s α

β α ,α , , 1 2 → Λ

设c c c s , , , 1 Λ 不全为0 ，使得

0 1 1 c α + + c α + cβ = s s Λ

则其中c ≠ 0 ，否则s c , ,c 1 Λ 不全为0 ，

0 1 1 + + = s s c c α α Λ ，与条件s

α α , , 1 Λ 无关矛盾。于是

c β =? α ?Λ ? α 1

1 。

④当s

α β α , , 1 Λ → 时，表示方式唯一s αα Λ 1 ? 无

关，

（表示方式不唯一

s α

α Λ 1 ? 相关）

⑤若t s β , ,β α , ,α 1 1 Λ Λ → ，并且s t > ，则t

β β , , 1 Λ

一定线性相关。

记( ) s A α , ,α 1 = Λ ， ( ) t B β , ,β 1 = Λ ，则存在s × t 矩

阵C ，使得

B = AC 。

Cx = 0 有s 个方程，t 个未知数，s < t ，有非零解η ，

Cη = 0 。

则Bη = ACη = 0 ，即η 也是Bx = 0 的非零解，从

而t

β β , , 1 Λ 线性相关。

各性质的逆否形式

①如果s

α α ,α , , 1 2 Λ 无关，则s ≤ n 。

②如果s

α α ,α , , 1 2 Λ 有相关的部分组，则它自己一定

也相关。

③ 如果s

α α Λ 1 无关，而s

α β α , , 1 →/ Λ ，则

α α β s , , 1 Λ 无关。

⑤如果t s β Λ β α Λ α 1 1 → ， t

β β Λ 1 无关，则t ≤ s 。

推论：若两个无关向量组s

α α Λ 1 与t

β β Λ 1 等价，

则s = t 。

三．极大无关组和秩

s α

α ,α , , 1 2 Λ 可以有多大的线性无关的部分组？

? ? ?

1 α

，

? ? ?

2 α ，

? ? ?

? ?

3 α

? ? ?

1 β

，

? ? ?

2 β ，

? ? ?

= ?

3 β ，

? ? ?

4 β

1．定义

s α

α ,α , , 1 2 Λ 的一个部分组(I ) 称为它的一个极大无

考研数学知识点－线性代数

11 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

关组，如果满足：

i） (I )线性无关。

ii） (I )再扩大就相关。

(I ) s

α α ,α , , 1 2 Λ ← → (II ) (I ) s ? α Λ α ? 1

规定s

α α ,α , , 1 2 Λ 的秩( ) (I ) s , , , # 1 2 γ α α Λ α = 。

如果s

α α ,α , , 1 2 Λ 每个元素都是零向量，则规定其秩

为0 。

( ) {n s} s 0 , , min , 1 ≤ γ α Λ α ≤

讨论：设 ( , , ) 3 1 = s

α γ α Λ

① 1 2 4 6 α ,α ,α ,α 相关无关？

② 1 2 α ,α 相关无关？

结论：一个线性无关部分组(I ) ，若#(I ) 等于秩

→ (I ) 1 2 4 6 α ,α ,α ,α ， (I )就一定是极大无关组。

2．性质（应用）

① s

α α ,α , , 1 2 Λ 无关? ( ) s s γ α ,α , ,α = 1 2 Λ 。

②

( ) ( ) s s s β α ,α , ,α γ α ,α , ,α ,β γ α , ,α 1 2 1 2 1 → Λ ? Λ = Λ

取s

α α ,α , , 1 2 Λ 的一个极大无关组(I )

(I ) 也是α ,α , ,α ,β 1 2 s Λ 的极大无关组? (I ),β 相

关。

β α , ,α β ( ) ( ),β 1 I I s → Λ ? → ? 相关。

( ) ( )

( ) ?

→ +

→

s s

s γ α α β α α

γ α α β α α

γ α α β

, , 1, / , ,

, , ,

1 1

1 Λ Λ

Λ Λ

③ β 可用s

α α , , 1 Λ 唯一表示

( ) ( ) s s s ? γ α , ,α ,β = γ α , ,α = 1 1 Λ Λ

④

( ) ( ) t s s t s β , ,β α , ,α γ α , ,α ,β , ,β γ α , ,α 1 1 1 1 1 Λ → Λ ? Λ Λ = Λ

( ) ( ) t s γ β , ,β γ α , ,α 1 1 ? Λ ≤ Λ

⑤ ? ? s t α , ,α β , ,β 1 1 Λ Λ

( ) ( ) ( ) s s t t γ α , ,α γ α α ,β β γ β , ,β 1 1 1 1 Λ = Λ Λ = Λ

向量组s

α α ,α , , 1 2 Λ 的秩的计算方法：

( )→

行

s α

α ,α , , 1 2 Λ 阶梯形矩阵B

( ) B s γ α , ,α = 1 Λ 的非零行数。

3．有相同线性关系的向量组

两个向量若有相同个数的向量：

s s α ,α , ,α ,β ,β , ,β 1 2 1 2 Λ Λ ，并且向量方程

, 0 1 1 2 2 + + + = s s x α x α Λ x α 与

0 1 1 2 2 + + + = s s x β x β Λ x β 同解，则称它们有相同的线

性关系。

①对应的部分组有一致的相关性。

1 2 4 α ,α ,α 的对应部分组1 2 4 β ,β ,β ，

若1 2 4 α ,α ,α 相关，有不全为0 的1 2 4 c ,c ,c 使得

0 1 1 2 2 4 4 c α + c α + c α = ，

即( , ,0, ,0, ,0) 1 2 4 c c c Λ 是

0 1 1 2 2 + + + = s s x α x α Λ x α 的解，

从而也是0 1 1 2 2 + + + = s s x β x β Λ x β 的解，则有

0 1 1 2 2 4 4 c β + c β + c β = ，

1 2 3 β ,β ,β 也相关。

②极大无关组相对应，从而秩相等。

③有一致的内在线表示关系。

如3 1 2 4 3 1 2 4 α = 3α + 2α ?α ? β = 3β + 2β ? β 。

考研数学知识点－线性代数

12 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

设： ( ) s A α ,α , ,α 1 2 = Λ ， ( ) s B β ,β , ,β 1 2 = Λ ，则

0 1 1 2 2 + + + = s s x α x α Λ x α 即 Ax = 0 ，

0 1 1 2 2 + + + = s s x β x β Λ x β 即 Bx = 0 。

s α

α ,α , , 1 2 Λ 与s

β β ,β , , 1 2 Λ 有相同的线性关系即

Ax = 0 与Bx = 0 同解。

反之，当Ax = 0 与Bx = 0 同解时， A 和B 的列向量

组有相同的线性关系。

四．矩阵的秩

1．定义

A 是m× n 矩阵

定理：矩阵A 的行向量组的秩=列向量组的秩。

规定r(A) = 行（列）向量组的秩。

A = C

? ? ? ? ?

??→

? ? ? ? ?

? ?

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 3 0 2

4 2 14 0 10

2 1 7 2 5

1 3 0 2 1

1 0 3 1 2

行

A 的行秩=C 的行秩

A 的列秩=C 的列秩

r(A)的计算：用初等变换化A 为阶梯形矩阵B ，则B

的非零行数即r(A)。

命题： r(A) = A的非零子式阶数的最大值。

2．矩阵的秩的简单性质

0 ≤ r(A) ≤ min{m, n}

r(A) = 0 ? A = 0

A 行满秩： r(A) = m

A 列满秩： r(A) = n

n 阶矩阵A 满秩： r(A) = n

A 满秩? A 的行（列）向量组线性无关

? A ≠ 0

? A 可逆

? Ax = 0 只有零解， Ax = β 唯一解。

3．矩阵在运算中秩的变化

初等变换保持矩阵的秩

① r(AT )= r(A)

② c ≠ 0 时， r(cA)= r(A)

③ r(A ± B) ≤ r(A)+ r(B)

④ r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}

⑤ A 可逆时， r(AB)= r(B)

B 可逆时， r(AB)= r(A)

r(AB) ≤ r(B)

B = A?1 (AB)， r(B) ≤ r(AB)

⑥若AB = 0 ，则r(A)+ r(B)≤ n（ A 的列数，B 的

行数）

⑦ A 列满秩时r(AB)= r(B)

B 行满秩时r(AB)= r(A)

⑧ r(AB)+ n ≥ r(A)+ r(B)

考研数学知识点－线性代数

13 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

第五讲线性方程组

一．方程组的表达形式

1．

? ?

+ + + =

m m mn n m

n n

a x a x a x b

1 1 2 2

21 1 22 2 2 2

11 1 12 2 1 1

2． Ax = β

η 是解? Aη = β

3． α + α + + α = β n n x x Λ x 1 1 2 2

有解n β α ,α , ,α 1 2 ? → Λ

二．解的性质

1． Ax = 0 的解的性质。

如果e

η η ,η , , 1 2 Λ 是一组解，则它们的任意线性组合

e e c η +c η +Λ + c η 1 1 2 2 一定也是解。

, 0 ( ) 0 1 1 2 2 ? = ? + + + = i i e e Aη A c η c η Λ c η

2． Ax = β(β ≠ 0)

①如果e ξ ,ξ , ,ξ 1 2 Λ 是Ax = β 的一组解，则

e e c ξ +c ξ +Λ + c ξ 1 1 2 2 也是Ax = β 的解

1 1 2 ? + + + = e c c Λ c

e e c ξ +c ξ +Λ + c ξ 1 1 2 2 是Ax = 0 的解

0 1 2 ? + + + = e c c Λ c

A i i ξ = β ? ?

( ) e e e e A c ξ+c ξ + Λ + c ξ = c Aξ + c Aξ +Λ+ c Aξ 1 1 2 2 1 1 2 2

( )β e = c + c +Λ + c 1 2

当1 2 ξ ,ξ 是Ax = β 的两个解时， 1 2 ξ ?ξ 是Ax = 0 的

解

② 如果0 ξ 是Ax = β 的解，则n 维向量ξ 也是

β = Ax 的解0

ξ ?ξ ? 是Ax = 0 的解。

三．解的情况判别

Ax = β ，即α + α + + α = β n n x x Λ x 1 1 2 2

有解n β α ,α , ,α 1 2 ? → Λ

( ) ( ) n n γ α ,α , ,α ,β γ α ,α , ,α 1 2 1 2 ? Λ = Λ

? γ (A | β )= γ (A)

无解? γ (A | β )> γ (A)

唯一解( ) ( )n ? γ A | β = γ A =

无穷多解( ) ( )n ? γ A | β = γ A <

方程个数m ：

γ (A | β ) ≤ m,γ (A) ≤ m

①当γ (A) = m时，γ(A | β)= m，有解

②当m < n 时，γ (A) < n ，不会是唯一解

对于齐次线性方程组Ax = 0 ，

只有零解? γ (A) = n （即A 列满秩）

（有非零解? γ (A) < n ）

推论1 如果A 列满秩，则A 有左消去律，即

① AB = 0 ? B = 0

② AB = AC ? B = C

证：①记( ) s B β ,β , ,β 1 2 = Λ ，则

( ) s AB Aβ , , Aβ 1 = Λ ， AB = 0 即对每个i ， = 0 i Aβ ，

即i

β 是Ax = 0 的解。Ax = 0 只有零解，故= 0 i

β 。

② A(B ? C) = 0 ， B ? C = 0 。

推论2 如果A 列满秩，则γ (AB)= γ (B)

考研数学知识点－线性代数

14 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

证：下面证ABx = 0 与Bx = 0 同解。

η 是ABx = 0 的解? ABη = 0

? Bη = 0 ?η 是Bx = 0 的解

四．基础解系和通解

1． Ax = 0 有非零解时的基础解系

记J 是Ax = 0 的全部解的集合。

称J 的极大无关组为Ax = 0 的基础解系。

e η

η ,η , , 1 2 Λ 是Ax = 0 的基础解系的条件：

①每个i

η 都是Ax = 0 的解

② e

η η ,η , , 1 2 Λ 线性无关

③ 0 = Ax 的每个解e

η η η ,η , , 1 2 → Λ

定理：γ (J ) = n ?γ (A)

γ (J )+γ (A) = n

??行→ A 阶梯形矩阵B

γ (A) = B 的非零行数

Bx = 0 有γ (A)个方程（除去J 0 = 0 ），因此有

n ?γ (A)个自由未知量。

于是e

η η ,η , , 1 2 Λ 是Ax = 0 的基础解系的条件③可换

为③/ l = n ?γ (A)

证明：当AB = 0 时，γ (A)+γ (B) ≤ n .

证：记( ) s B β ,β , ,β 1 2 = Λ

? = 0 AB 每个i

β 都是0 = Ax 的解

(B) ( ) (J) n (A) s γ = γ β ,β , ,β ≤ γ = ?γ 1 2 Λ

γ (A)+γ (B) ≤ n

2．通解

①如果e

η η ,η , , 1 2 Λ 是Ax = 0 的一个基础解系，则

Ax = 0 的通解为

e e c η + c η + Λ + c η 1 1 2 2 ， i c 任意

②如果0 ξ 是( ) 0 ≠ = β β Ax 的一个解， e

η η ,η , , 1 2 Λ

是Ax = 0 的基础解系，则Ax = β 的通解为

e e ξ + c η + c η + Λ + c η 0 1 1 2 2 ， i c 任意

第六讲特征向量与特征值，相似与对角化

一．特征向量与特征值

设A 是n 阶矩阵，η 是n 维非零列向量， Aη 与η 是

否相关？

例如： ?

? ??

0 2

1 1

A ， ? ??

? ??

， ?

? ??

， ?

? ??

， ?

? ??

= ?

? ??

A ， ?

? ??

= ?

? ??

A ， ?

? ??

= ?

? ??

A ，

? ?? ?

? ??

= ?

? ??

1．定义：如果η ≠ 0 ，并且Aη 与η 线性相关，则称

η 是A 的一个特征向量。此时，有数λ ，使得Aη = λη ，

称λ 为η 的特征值。

设A 是数量矩阵λE ，则对每个n 维列向量η ，

Aη = λη ，于是，任何非零列向量都是λE 的特征向量，

特征值都是λ 。

①特征值有限

特征向量无穷多

若Aη = λη ， A(cη ) = cAη = cλη = λ (cη )

考研数学知识点－线性代数

15 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

2 2

1 1 η η η η λ η η

η λη

A c c c A c A c c

? + = + = +

? ? ?

②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有

相同的特征值。

③计算时先求特征值，后求特征向量。

2．计算

A n 阶矩阵，求A 的特征向量与特征值

Aη = λη ,η ≠ 0

?(λE ? A)η = 0,η ≠ 0

?η 是(λE ? A)x = 0的非零解

命题：①λ 是A 的特征值? λ E ? A = 0

②η 是属于λ 的特征向量?η 是(λ E ? A)x = 0 的非

零解

称多项式xE ? A 为A 的特征多项式。

λ 是A 的特征值? λ 是A 的特征多项式xE ? A 的

根。

λ 的重数：λ 作为xE ? A 的根的重数。

n 阶矩阵A 的特征值有n 个： n , , , 1 2 λ λ Λ λ ，可能

其中有的不是实数，有的是多重的。

计算步骤：

①求出特征多项式xE ? A 。

②求xE ? A 的根，得特征值。

③对每个特征值i λ ，求( E ? A)x = 0 i λ 的非零解，

得属于i λ 的特征向量。

复杂，困难，不作一般的要求。

两种特殊情形：

（1） A 是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即

对角线上的元素。

? ? ?

= ?

0 0

* *

( )( )( ) 1 2 3

0 0

* *

λ λ λ

= ? ? ?

? ??

? ? ?

? = x x x

xE A

（2） r(A) = 1时： A 的特征值为0,0,Λ ,0,tr(A)

3．特征值的性质

命题： n 阶矩阵A 的特征值λ 的重数

≥ n ? r(λ E ? A)

命题：设A 的特征值为n , , , 1 2 λ λ Λ λ ，则

① A n = 1 2 λ λ Λ λ

② tr(A) n + + + = 1 2 λ λ Λ λ

( )( )( )( ) 1 2 3 4

41 42 43 44

31 32 33 34

21 22 23 24

11 12 13 14

= ?λ ?λ ?λ ?λ

? ? ? ?

x x x x

a a a x a

a a x a a

a x a a a

x a a a a

比较两边的常数项部分得①

比较两边的x3 的系数得② ：右边为

( ) 1 2 3 4 ? λ + λ + λ + λ 左边会x3 的项且有

( )( )( )( ) 11 22 33 44 x ? a x ? a x ? a x ? a ，其系数为

? (a + a + a + a )= ?tr(A) 11 22 33 44

4．与A 相关的矩阵的特征向量与特征值

命题：设η 是A 的特征向量，特征值为λ ，即

Aη = λη ，则

①对于A 的每个多项式f (A)， f (A)η = f (x)η

例如： Aη = AAAη = λ 3η

考研数学知识点－线性代数

16 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

(2A + E)η = 2Aη +η =(2λ +1)η

(A5 ? 4A3 + 2A2 ? E)η = (λ 5? 4λ 3+ 2λ 2 ?1)η

②当A 可逆时， η

A?1η = 1 ， η

A*η = | A |

Aη = λη ?η = λA?1η ? A?1η = 1

| A |η = λA*η ? A*η ? | A | 。

命题：设A 的特征值为n , , , 1 2 λ λ Λ λ ，则

① f (A)的特征值为( ) ( ) ( ) n f , f , , f 1 2 λ λ Λ λ

② A 可逆时， A?1 的特征值为

, 1 , , 1

1 2 λ λ λ

A* 的特征值为

A A A

1 2

, | | , , | |

| |

λ λ λ

③ AT 的特征值也是n , , , 1 2 λ λ Λ λ

| xE ? AT |=(xE ? A)T = xE ? A 。

5．特征值的应用

①求行列式n | A | , , , 1 2 = λ λ Λ λ

②判别可逆性

λ 是A 的特征值? λ E ? A = 0 ? A ? λ E 不可逆

A ? λ E 可逆? λ 不是A 的特征值。

当f (A) = 0 时，如果f (c) ≠ 0 ，则A ? cE 可逆

若λ 是A 的特征值，则f (λ ) 是f (A) 的特征值

? f (λ ) = 0 。

f (c) ≠ 0 ? c 不是A 的特征值? AcE 可逆。

二．n 阶矩阵的相似关系

设A ，B 是两个n 阶矩阵。如果存在n 阶可逆矩阵U ，

使得U ?1AU = B ，则称A 与B 相似，记作A ~ B 。

当AU = UA 时， B = A ，而AU ≠ UA时， B ≠ A 。

相似关系有i）对称性： A ~ B ? B ~ A

U ?1AU = B ，则A =UBU ?1

ii）有传递性： A ~ B ， B ~ C ，则A ~ C

U ?1AU = B ，V ?1BV = C ，则

(UV )?1 A(UV ) = V ?1U ?1AUV = V ?1BV = C

命题当A ~ B 时， A 和B 有许多相同的性质

① A = B

B = U ?1AU = U ?1 A U = A

②γ (A) = γ (B)

③ A ， B 的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

xE ? B = xE ?U ?1AU = U ?1(xE ? A)U = xE ? A

A 与B 的特征向量的关系：η 是A 的属于λ 的特征

向量? U ?1η 是B 的属于λ 的特征向量。

( ) ( )

η λ η η λ( η)

η λη η λ η

1 1 1 1 1

1 1

? ? ? ? ?

? ?

= ? =

U A U U AUU U

A B U U

χ χ

三．n 阶矩阵的对角化

A 是否相似于一个对角矩阵？

不是每个矩阵都相似于对角矩阵的，例如

? ??

0 1

1 1

A 。若?

? ??

? =

1 1

U AU ，则 1 1 2 λ = λ = ，

则A = E 。

基本问题

①判别n 阶矩阵A 是否相似于对角矩阵（可对角化）

②实现问题，构造可逆矩阵U ，使U ?1AU 是对角矩

阵基本定理 A 可对角化? A 有n 个线性无关的特征

向量。

设可逆矩阵( ) n U η ,η , ,η 1 2 = Λ ，则

? ? ? ? ?

? =

U AU

0 0 0

考研数学知识点－线性代数

17 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

( ) ( ) n n

n A U λ η λ η λ η

η η η , , ,

0 0 0

, , , 1 1 2 2

1 2 Λ

Λ =

? ? ? ? ?

? =

i i i ? Aη = λ η ， i = 1,2,Λ ,n

判别法则

A 可对角化? 对于A 的每个特征值λ ， λ 的重数

= n ?γ(λE ? A)。

当i

λ 是一重特征值时，重数n r( E A) i = ? ? 1 λ 一定成

立。只须对重数> 1的特征值检查。

推论：如果A 有n 个不同的特征值，则A 一定可对角

化。对角化的实现（可逆矩阵U 的构造）：

对每个特征值i

λ ，求出( E ? A)x = 0 i

λ 的一个基础解

系，把它们合在一起，得到n 个线性无关的特征向量，

n η , ,η 1 Λ 。令( ) n U η ,η , ,η 1 2 = Λ ，则

? ? ? ? ?

? =

U AU

0 0 0

，其中i

λ 为i

η 的特征

值。

第七讲二次型（实二次型）

一．基本概念

1．二次型及其矩阵

二次型是多个变量的二次齐次多项式函数。如

( ) 1 2 1 3 2 3

1 2 3 1 f x , x , x = 3x ? 2x + x + 4x x ? 6x x + 5x x

是一个三元二次型，它的每一项都是二次，或是一个变量

的平方，称为平方项或是两个不同变量的乘积，称为交叉

项。

一个n 元二次型的一般形式为

( ) i j

i j

n ii i f x x x Σa x Σa x x

= <

, , , = +2

1 2 Λ

只有平方项的二次型称为标准二次型。

形如： 2 2

2 2

1 p p p q x x x x x + + + + Λ + ? ?Λ? 的n 元二

次型称为规范二次型。

对每个n 阶实矩阵A ，记( )T

n x x , x , , x 1 2 = Λ ，则

xT Ax 是一个二次型。

例如n = 3 时，

? ? ?

31 32 33

21 22 23

11 12 13

a a a

A ，则

( )

? ? ?

31 32 33

21 22 23

11 12 13

1 2 3 , ,

a a a

xT Ax x x x

( )

? ? ?

+ +

31 1 32 2 33 3

21 1 22 2 23 3

11 1 12 2 13 3

1 2 3 , ,

a x a x a x

x x x

Σ=

i, j 1

ij i j a x x

其中平方项的系数都是A 的对角线上的元素，而交叉

项i j x x 的系数是ij ji a + a 。

我们可利用矩阵的形式来写出一个二次型，如把

( ) 1 2 1 3 2 3

1 2 3 1 f x , x , x = 3x ? 2x + x + 4x x ? 6x x + 5x x

写成xT Ax 的形式， A 的对角线上的元素是确定的，

依次为3 11 a = ， 2 22 a = ? ， 1 33 a = ，但对角线外的元素

不是唯一确定的，只要满足。

4 12 21 a + a = ， 6 13 31 a + a = ? ， 5 23 32 a + a = ，就

可以。

我们要求A 是一个对称矩阵，则它就是唯一确定的

了。

称这个实对称矩阵A 为该二次型的矩阵。

f (x x x ) xT Ax

n , , , = 1 2 Λ

称A 的秩γ (A)为这个二次型的秩。标准二次型的矩

阵是对角矩阵。

2．可逆线性变量替换

椭圆方程1 2

+ =

设有一个n 元二次型( ) n f x , x , , x 1 2 Λ ，引进新的一组

考研数学知识点－线性代数

18 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

变量n y , y , , y 1 2 Λ ，并把n x , x , , x 1 2 Λ 用它们表示。

? ?

= + + +

n n n nn n

n n

x c y c y c y

1 1 2 2

2 21 1 22 2 2

1 11 1 12 2 1

（并要求矩阵

? ? ? ? ?

n n nn

c c c

Λ Λ Λ Λ

1 2

21 22 2

11 12 1

是可逆矩阵）

代入( ) n f x , x , , x 1 2 Λ ，得到n y , , y 1 Λ 的一个二次型

( ) n g y , , y 1 Λ 这样的操作称为对( ) n f x Λ x 1 作了一次可逆

线性变量替换。

设( )T

n Y y , y , , y 1 2 = Λ ，则上面的变换式可写成

x = CY

则( ) ( ) n

T T T

n f x x x Ax Y C ACY g y , , y 1 1 Λ = = = Λ

于是( ) n g y ,Λ y 1 的矩阵为CT AC

(CT AC)T = CT ATCT = CT AC

3．实对称矩阵的合同

两个n 阶实对称矩阵A 和B ，如果存在n 阶实可逆矩

阵C ，值得CT AC = B 。称A 与B 合同，记作A~? B 。

命题：二次型f(x x ) xT Ax

n Λ = 1 可用可逆线性变换替

换化为

g(y y ) Y T BY A B

n = ? ~? 1 Λ

二．二次型的标准化和规范化

1．每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二

次型和规范二次型。

也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角

矩阵。

设A 是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵Q ，使得

D = Q?1AQ是对角矩阵。

QT AQ = Q?1AQ = D

A ~ D， A~?D

2．标准化和规范化的方法

①正交变换法

② 配方法

3．惯性定理与惯性指数

定理一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准

形的各个平方项的系数中，大于0 的个数和小于0 的个数

是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性

指数。

一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也

即相应的规范对角矩阵是唯一的。

用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵A 会同于唯一规

范对角矩阵。

二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不

变；两个二次型可互相转化的充要条件是它们的正、负惯

性指数相等。

实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征

值的个数。

三．正定二次型与正定矩阵

1．定义

一个二次型( ) n f x , x , , x 1 2 Λ 称为正定二次型，如果当

n x , , x 1 Λ 不全为0 时， ( , , , ) 0 1 2 > n f x x Λ x 。

例如，标准二次型

( ) 2 2

2 2

1 2 1 1 , , , n n n f x x Λ x =d x + d x +Λ+ d x 正定

? > 0 i d ， i = 1,Λ ,n

（必要性“ ? ”，取1 1 x = ， 0 2 = = = x x Λ x ，此

时(1,0, ,0) 0 1 f Λ = d > 同样可证每个> 0 i d ）

实对称矩阵正定即二次型xT Ax 正定，也就是：当

x ≠ 0 时， xT Ax > 0。

考研数学知识点－线性代数

19 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

例如实对角矩阵

? ? ? ? ?

n 0 0 0

0 0 0

正定

? > 0 i λ ， i = 1,Λ ,n

2．性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性。

( ) n f x , x , , x 1 2 Λ 变为( ) n g y , y , , y 1 2 Λ ，则它们同时正

定或同时不正定。

A~? B ，则A ， B 同时正定，同时不正定。

例如B = CT AC 。如果A 正定，则对每个x ≠ 0

xT Bx = xTCT ACx = (Cx)T ACx > 0

（C 可逆， x ≠ 0 ，∴Cx ≠ 0 ！）

我们给出关于正定的以下性质。

A 正定? A~? E

? 存在实可逆矩阵C ， A = CTC 。

? A 的正惯性指数= n 。

? A 的特征值全大于0 。

? A 的每个顺序主子式全大于0 。

设A 是一个n 阶矩阵，记r A 是A 的西北角的r 阶小方

阵，称r A 为A 的第r 个顺序主子式（或r 阶顺序主子式）。

判断A 正定的三种方法：

①顺序主子式法。

②特征值法。

③定义法。

附录一内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化

以下谈到的向量，矩阵都是在实数的范围中心，而向

量的分量都是实数，矩阵的元素也都是实数。

一．向量的内积

1．定义

两个n 维实向量α ,β 的内积是一个数，记作(α ,β )，

规定为它们对应分量乘积之和。

设? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

n n b

Μ Μ

α ,β ，则

( ) n n = a b + a b + Λ + a b 1 1 2 2 α ,β

=α T β

2．性质

①对称性： (α ,β ) = (β ,α )

②双线性性质： (α α ,β ) (α ,β ) (α ,β ) 1 2 1 2 + = +

( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 α ,β + β = α ,β + α ,β

(cα ,β )= c(α ,β )= (α ,cβ )

③正交性： (α ,α ) ≥ 0 ，且(α ,α)= 0 ?α = 0

( ) Σ=

i a

α ,α 2

3．长度与正交

向量α 的长度( ) Σ=

= =

i a

α α ,α 2

α = 0 ?α = 0

cα = c α

单位向量：长度为1的向量

? ? ?

，

? ? ?

，

? ? ? ? ? ?

，

若α ≠ 0 ，则

是单位向量，称为α 的单位化。

= 1 α = 1

α α

两个向量α ,β 如果内积为0：(α ,β)= 0 ，称它们是

考研数学知识点－线性代数

20 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

正交的。

如果n 维向量组s

α α ,α , , 1 2 Λ 两两正交，并且每个都

是单位向量，则称为单位正交向量组。

二．正交矩阵

一个实n 阶矩阵A 如果满足AAT = E ，就称为正交矩

阵。

AT = A?1

定理 A 是正交矩阵? A 的行向量组是单位正交向

量组。

? A 的列向量组是单位正交向量组。

证：设( ) n A α ,a , ,α 1 2 = Λ ，则

( ) ( )

( )

( ) ?

? ? ? ? ?

2 1 2

1 2 1

, ,

n n

AT A

α α α

α α α α α

Μ Ο Μ

Λ Λ

于是n

AT A E α ,α , ,α 1 2 = ? Λ 是单位正交向量组。

三．施密特正交化方法

这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位

正交向量组的方法。

β = β ? β = β ? cα 2 1

设1 2 3 α ,α ,α 线性无关

①正交化：令1 1 β =α

( )

( ) 1

1 1

1 2

2 2 ,

, β

β β

β α

β =α ?

（设2 2 1 β =α ? kβ ，_______( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 β ,β = α ,β ? k β ,β

当( )

( ) 1 1

2 1

β β

α β

k = 时， 2 1 β ,β 正交。）

( )

( ) 2

2 2

2 3

1 1

1 3

3 3 ,

, β

β β

β α

β β

β α

β =α ? ?

②单位化：令

1 β

η = ，

2 β

η = ，

3 β

η =

则1 2 3 η ,η ,η 是与1 2 3 α ,α ,α 等价的单位正交向量组。

四．实对称矩阵的对角化

设A 是一个实的对称矩阵，则

① A 的每个特征值都是实数。

②对每个特征值λ ，重数= n ? r(λE ? A)。即A 可

以对角化。

③属于不同特征值的特征向量互相正交。

于是：存在正交矩阵Q，使得Q?1AQ是对角矩阵。

对每个特征值λ ，找(λE ? A)x = 0 的一个单位正交

基础的解，合在一起构造正交矩阵。

附录二向量空间

1． n 维向量空间及其子空间

记为Rn 由全部n 维实向量构成的集合，这是一个

规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为

n 维向量空间。

设V 是Rn 的一个子集，如果它满足

（1）当1 2 α ,α 都属于V 时， 1 2 α +α 也属于V 。

（2）对V 的每个元素α 和任何实数c ，cα 也在V 中。

则称V 为Rn 的一个子空间。

例如n 元齐次方程组AX = 0 的全部解构成Rn 的一

个子空间，称为AX = 0 的解空间。

但是非齐次方程组AX = β 的全部解则不构成Rn 的

子空间。

对于n R 中的一组元素s

α α ,α , , 1 2 Λ ，记它们的全部

线性组合的集合为

( ) { 任意} s s s i L α α Λ α = c α + c α +Λ+ c α c 1 2 1 1 2 2 , , , ，它

考研数学知识点－线性代数

21 Edited by 杨凯钧 20## 年10 月

也是Rn 的一个子空间。

2．基，维数，坐标

设V 是Rn 的一个非0 子空间（即它含有非0 元素），

称V 的秩为其维数，记作dimV 。

称V 的排了次序的极大无关组为V 的基。

例如AX = 0 的解空间的维数为n ? r(A)，它的每个有

序的基础解系构成基。

又如[ ( )] ( ) s s dim L α ,α , ,α r α ,α , ,α 1 2 1 2 Λ = Λ ，

s α

α ,α , , 1 2 Λ 的每个有序的极大无关组构成基。

设k

η η ,η , , 1 2 Λ 是V 的一个基，则V 的每个元素α 都

可以用k

η η ,η , , 1 2 Λ 唯一线性表示：

k k α =c η + c η +Λ + c η 1 1 2 2

称其中的系数( ) k c ,c , ,c 1 2 Λ 为α 关于基k

η η ,η , , 1 2 Λ

的坐标，它是一个k 维向量。

坐标有线性性质：

（1）两个向量和的坐标等于它们的坐标的和：

如果向量α 和β 关于基k

η η ,η , , 1 2 Λ 的坐标分别为

( ) k c ,c , ,c 1 2 Λ 和( ) k d ,d , ,d 1 2 Λ ，则α + β 关于基

k η

η ,η , , 1 2 Λ 的坐标为

( ) ( ) ( ) k k k k c d ,c d , ,c d c ,c , ,c d ,d , ,d 1 1 2 2 1 2 1 2 + + Λ + = Λ + Λ

（2）向量的数乘的坐标等于坐标乘数：

如果向量α 关于基k

η η ,η , , 1 2 Λ 的坐标为

( ) k c ,c , ,c 1 2 Λ ，则α c 关于基k

η η ,η , , 1 2 Λ 的坐标为

( ) ( ) k k cc ,cc , ,cc c c ,c , ,c 1 2 1 2 Λ = Λ 。

坐标的意义：设V 中的一个向量组t

α α ,α , , 1 2 Λ 关于

基k

η η ,η , , 1 2 Λ 的坐标依次为t

γ γ ,γ , , 1 2 Λ ，则

t α

α ,α , , 1 2 Λ 和t

γ γ ,γ , , 1 2 Λ 有相同的线性关系。

于是，我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算

秩和极大无关组等等。

3．过渡矩阵，坐标变换公式

设k

η η ,η , , 1 2 Λ 和k ξ ,ξ , ,ξ 1 2 Λ 都是V 的一个基，并

设1

在k

η η ,η , , 1 2 Λ 中的坐标为( ) i i ki c ,c , ,c 1 2 Λ ，构造矩

阵

? ? ? ? ?

k k kk

c c c

Λ Λ Λ Λ

1 2

21 22 2

11 12 1

，

称C 为k

η η ,η , , 1 2 Λ 到k ξ ,ξ , ,ξ 1 2 Λ 的过渡矩阵。

( ) ( )C k k ξ ,ξ , ,ξ η ,η , ,η 1 2 1 2 Λ = Λ 。

如果V 中向量α 在其k

η η ,η , , 1 2 Λ 和

k ξ ,ξ , ,ξ 1 2 Λ 中的坐标分别为

( )T

k x x , x , , x 1 2 = Λ 和( )T

k y y , y , , y 1 2 = Λ ，则

( )x k

η α η ,η , , 1 2 = Λ

( ) k α ξ ,ξ , ,ξ 1 2 = Λ y ( )Cy k

η η ,η , , 1 2 = Λ

于是关系式：

x = Cy

称为坐标变换公式。

4．规范正交基

如果V 的一基k

η η ,η , , 1 2 Λ 是单位正交向量组，则称

为规范正交基。

两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的

内积。

设α 的坐标为( ) k c ,c , ,c 1 2 Λ ， β 的坐标为

( ) k d ,d , ,d 1 2 Λ ，

则( ) k k = c d + c d + Λ + c d 1 1 2 2 α ,β

两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。

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