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线性代数讲义

       

目录 

第一讲   基本概念

     线性方程组  矩阵与向量  初等变换和阶梯形矩阵  线性方程组的矩阵消元法

第二讲   行列式

     完全展开式  化零降阶法  其它性质  克莱姆法则

第三讲   矩阵

     乘法  乘积矩阵的列向量和行向量  矩阵分解  矩阵方程  逆矩阵  伴随矩阵

第四讲   向量组

     线性表示  向量组的线性相关性  向量组的极大无关组和秩  矩阵的秩

第五讲   方程组

     解的性质  解的情况的判别  基础解系和通解

第六讲   特征向量与特征值  相似与对角化

     特征向量与特征值—概念,计算与应用  相似  对角化—判断与实现

附录一    内积 正交矩阵 施密特正交化 实对称矩阵的对角化

第七讲   二次型

     二次型及其矩阵  可逆线性变量替换  实对称矩阵的合同  标准化和规范化  惯性指数  正定二次型与正定矩阵

附录二  向量空间及其子空间

附录三  两个线性方程组的解集的关系

附录四  06,07年考题

第一讲   基本概念

1．线性方程组的基本概念

线性方程组的一般形式为:

   a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,

   a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,

     …  …  …  …

   am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,

其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.

线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,kn)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数xi都用ki替代时都成为等式.

线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.

对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.

b1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.

n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).

把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.

2.矩阵和向量

   (1)基本概念

    矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.

由m´n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m´n型矩阵.例如

为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.

一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.

元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.

两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.

由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.

书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,¼ ,an的向量可表示成

请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1´n矩阵,右边是n´1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)

一个m´n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为a1, a2,¼ ,an时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(a1, a2,¼ ,an).

矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量a和b相等(记作a=b),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.

(2) 线性运算和转置

线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.

加(减)法:两个m´n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m´n矩阵,记作

A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).

数乘: 一个m´n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m´n的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.

这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:

① 加法交换律:A+B=B+A.

② 加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).

③ 加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.

④ 数乘结合律: c(d)A=(cd)A.

⑤ cA=0Û c=0 或A=0.

转置:把一个m´n的矩阵A行和列互换,得到的n´m的矩阵称为A的转置,记作A T(或A¢).

有以下规律:

① (AT)T=A.

② (A+B)T=AT+BT.

③ (cA)T=cAT.

   转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当a是列向量时, a T表示行向量,当a是行向量时,a T表示列向量.

向量组的线性组合:设a1, a2,…,as是一组n维向量, c1,c2,…,cs是一组数,则称

c1a1+c2a2+…+csas

为a1, a2,…,as的(以c1,c2,…,cs为系数的)线性组合.

n维向量组的线性组合也是n维向量.

   (3) n阶矩阵与几个特殊矩阵

行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.

把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)

下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.

对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.

单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).

数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.

上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.

下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.

对称矩阵:满足AT=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.

(反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)

    3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵

矩阵有以下三种初等行变换:

① 交换两行的位置.

② 用一个非0的常数乘某一行的各元素.

③ 把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)

类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.

阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:

① 如果它有零行,则都出现在下面.

② 如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.

简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:

③台角位置的元素为1.

④并且其正上方的元素都为0.

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.

请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.

2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.

4. 线性方程组的矩阵消元法

线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).

线性方程组的同解变换有三种:

① 交换两个方程的上下位置.

② 用一个非0的常数乘某个方程.

③ 把某个方程的倍数加到另一个方程上.

以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.

线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:

(1)写出方程组的增广矩阵(A|b),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|g).

(2)用(B|g)判别解的情况:

如果最下面的非零行为(0,0, ¼,0|d),则无解,否则有解.

有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r

(推论:当方程的个数m

(3)有唯一解时求解的初等变换法:

去掉(B|g)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|g0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|h),则h就是解.

对齐次线性方程组:

(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.

(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r推论:当方程的个数m

讨论题

1.设A是n阶矩阵,则

(A) A是上三角矩阵ÞA是阶梯形矩阵.

(B) A是上三角矩阵ÜA是阶梯形矩阵.

(C) A是上三角矩阵ÛA是阶梯形矩阵.

(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.

2.下列命题中哪几个成立?

(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.

(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.

(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.

(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.

(5) 如果  是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.

第二讲 行列式

一.概念复习

1. 形式和意义

形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:

如果行列式的列向量组为a1, a2, … ,an,则此行列式可表示为|a1, a2, … ,an|.

意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.

请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.

当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)

每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.

行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.

2. 定义(完全展开式)

2阶和3阶行列式的计算公式:

的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:

,

这里把相乘的n个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j1j2…jn构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列),共有n!个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!个项.

所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定t(j1j2…jn)为全排列j1j2…jn的逆序数(意义见下面),则项所乘的是

全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.

逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:

  , t(436512)=3+2+3+2+0+0=10.

至此我们可以写出n阶行列式的值:

这里表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式.

用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.

2. 化零降阶法

把n阶行列式的第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素aij的余子式,记作Mij.称Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余子式.

定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.

命题  第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.

化零降阶法  用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.

化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.

3.其它性质

行列式还有以下性质:

① 把行列式转置值不变,即|AT|=|A| .

② 某一行(列)的公因子可提出.

于是, |cA|=cn|A|.

③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量a=b+g ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量a换为b或g 所得到的行列式.例如

|a,b1+b2,g |=|a,b1,g |+|a,b2,g |.?   

④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.

⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.

⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.

⑦ 如果A与B都是方阵(不必同阶),则

的行列式(或其转置).它由a1,a2 ,a3,…,an所决定,它的值等于

      

因此范德蒙行列式不等于0Û a1,a2 ,a3,…,an两两不同.   

对于元素有规律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.

    4.克莱姆法则

克莱姆法则  应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为

(D1/D, D2/D,¼,Dn/D),

这里D是系数行列式的值, Di是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.

说明与改进:

按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.

实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A|b)作初等行变换,使得A变为单位矩阵:

      (A|b)®(E|h),

h就是解.

    用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|¹0.

二. 典型例题

1.利用性质计算元素有规律的行列式

3.几个n阶行列式

两类爪形行列式及其值:

参考答案

例1  ①(2+4a)(2-a)4.② x3(x+4).  ③ a3(a+10).

例2   1875.

例3  x1x2x3x4+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3.

例4  (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).

例5  1-a+a2-a3+a4-a5.

例6  9,-6

例7  1,-10.

例8  40.

例9  x=0,y=3,z=-1.

例10 -28.

例14  x1=a,x2=b,x3=c..

第三讲   矩阵

一．概念复习

1. 矩阵乘法的定义和性质

定义2.1  当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.

则

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.

矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:

① 矩阵乘法有条件.

② 矩阵乘法无交换律.

③ 矩阵乘法无消去律,即一般地

由AB=0推不出A=0或B=0.

由AB=AC和A¹0推不出B=C.(无左消去律)

由BA=CA和A¹0推不出B=C. (无右消去律)

请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.

矩阵乘法适合以下法则:

① 加乘分配律   A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.

② 数乘性质     (cA)B=c(AB).  

③ 结合律       (AB)C= A(BC).

④ (AB)T=B TA T.

2. n阶矩阵的方幂和多项式

任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质:

 |AB|=|A||B|.

如果AB=BA,则说A和B可交换.

方幂  设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.

显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:

① A kA h= A k+h.

② (A k)h= A kh.

但是一般地(AB)k和A kB k不一定相等!

n阶矩阵的多项式

设f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定

f(A)=amA m+am-1A m-1+…+ a1A+a0E.

称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.

乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如

当A和B可交换时,有:

(A±B)2=A2±2AB+B2;

A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).

二项展开式成立:  等等.

前面两式成立还是A和B可交换的充分必要条件.

 同一个n阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n阶矩阵的多项式可以因式分解.

3. 分块法则 

矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A和B,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A的纵向切割和B的横向切割一致!),再用它们来作乘法.

(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则

A11  A12   B11  B12     = A11B11+A12B21  A11B12+A12B22

A21  A22   B21  B22         A21B11+A22B21  A21B12+A22B22

要求Aij的列数Bjk和的行数相等.

准对角矩阵的乘法:

形如

    A1  0  …  0

    A=  0  A2   …  0

     …  …  …

    0  0  …  An

的矩阵称为准对角矩阵,其中A1,A2,…,Ak都是方阵.

两个准对角矩阵

A1  0  …  0         B1  0  …  0

A= 0  A2   …  0  ,  B=  0  B2   …  0

    …  …  …          …  …  …

       0  0  …  Ak                 0  0  …  Bk

如果类型相同,即Ai和Bi阶数相等,则

A1B1  0  …  0           

AB = 0  A2B2   …  0  .  

       …  …  …         

0    0  …  AkBk     

(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组

设A是m´n矩阵B是n´s矩阵. A的列向量组为a1,a2,…,an,B的列向量组为b1, b2,…,bs, AB的列向量组为g1, g2,…,gs,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):

① AB的每个列向量为:gi=Abi,i=1,2,…,s.

即A(b1, b2,…,bs)=(Ab1,Ab2,…,Abs).

② b=(b1,b2,…,bn)T,则Ab= b1a1+b2a2+…+bnan.

应用这两个性质可以得到:如果bi=(b1i,b2i,…,bni)T,则

  gi=AbI=b1ia1+b2ia2+…+bnian.

即:乘积矩阵AB的第i个列向量gi是A的列向量组a1, a2,…,an的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量bi的各分量.

类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.

以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.

(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.

(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:

用对角矩阵L从左侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵L从右侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.

数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.

两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.

(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.                         

例如设A=(a,b,g), C=(a+2b-g,3a-b+g,a+2g),令

       1   3   1

   B=  2  -1   0  ,则C=AB.

      -1   1   2

(4)  初等矩阵及其在乘法中的作用 

对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.

有三类初等矩阵:

E(i,j):交换E 的i,j两行(或列)所得到的矩阵.

E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.

E(i,j(c))(i¹j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.

命题  对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.

4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)

(1) 矩阵方程

矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:

(I) AX=B.        (II) XA=B.

这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)

当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设 B=(b1, b2,…,bs),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,Xs),则有AXi=bi,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.

这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得

(I)的解法:

将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.

   (A|B)®(E|X)

(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:ATXT=BT.再用解(I)的方法求出XT,转置得X..

   (AT|BT)®(E|XT)

矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.

 

(2) 可逆矩阵的定义与意义

定义  设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.

此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.

如果A可逆,则A在乘法中有消去律:

AB=0ÞB=0；AB=ACÞB=C.(左消去律)；   BA=0ÞB=0；BA=CAÞB=C. (右消去律)

如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):

    AB=CÛB=A-1C. BA=CÛB=CA-1.

由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:

(I) AX=B的解X=A-1B .       (II) XA=B的解X= BA-1.

这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).

(3) 矩阵可逆性的判别与性质

定理  n阶矩阵A可逆Û|A|¹0.

证明  “Þ”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|¹0. (并且|A-1|=|A|-1.)

“Ü”因为|A|¹0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.

推论  如果A和B 都是n阶矩阵,则AB=EÛBA=E.

于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.

可逆矩阵有以下性质:

① 如果A可逆,则

A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.

AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.

当c¹0时, cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1.

对任何正整数k, Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.

(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(Ak)-1=(A-1)k.)

② 如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)

初等矩阵都是可逆矩阵,并且

 E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).

(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵

① 计算逆矩阵的初等变换法

当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:

(A|E)®(E|A-1)

这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.

② 伴随矩阵

若A是n阶矩阵,记Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为     

  A11  A21 … An1            

    A*=   A12 A22 … An2      =(Aij)T.

…  …  …              

A1n A2n … Amn       

请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.

基本公式:    AA*=A*A=|A|E.

于是对于可逆矩阵A,有

A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.

因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.

和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵

  a  b *     d -b

  c  d   =  -c  a  ,

因此当ad-bc¹0时,

  a  b -1     d -b

  c  d   =  -c  a  (ad-bc)  .

伴随矩阵的其它性质:

① 如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.

② |A*|=|A|n-1. 

③ (AT)*=(A*)T.      

④ (cA)*=cn-1A*.

⑤ (AB)*=B*A*；(Ak)*=(A*)k.

⑥ 当n＞2时,(A*)*=|A|n-2A； n=2时,(A*)*=A.

二  典型例题

1.计算题

例1 a=(1,-2,3) T,b=(1,-1/2,1/3)T, A=ab T,求A6.

讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A=ab T,则Ak=(bTa)k-1A=(tr(A ))k-1A .

(2)乘法结合律的应用:遇到形如bTa的地方可把它当作数处理.

①     1  -1   1

aaT= -1  1   -1   ，求aTa.（2003一）

1    -1      1

② 设a=(1,0,-1)T, A=aaT,求|aE-An|.

③n维向量a=(a,0,¼,0,a)T, a＜0, A=E-aaT, A-1=E+a-1aa T,求a. (03三,四)

④ n维向量a=(1/2,0,¼,0,1/2)T, A=E-aa T, B=E+2aa T,求AB. (95四)

⑤ A=E-ab T,其中a,b都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求aTb.

例2(1999三)       1  0  1

设A = 0  2  0  ，求An-2An-1.(n＞1)

             1     0    1

例3               1  0  0    

设A = 1  0  1  ，(1)证明当n＞1时An=An-2+A2-E. (2) 求An.

             0    1    0    

例4  设A为3阶矩阵, a1,a2,a3是线性无关的3维列向量组,满足

Aa1=a1+a2+a3, Aa2=2a2+ a3, Aa3=2a2+3a3.

求作矩阵B,使得A(a1,a2,a3)=(a1,a2,a3)B. (20##年数学四)

例5设3阶矩阵A=(a1,a2,a3),|A|=1,B=(a1+a2+a3,a1+2a2+3a3,a1+4a2+9a3),求|B|.(05)

例6 3维向量a1, a2, a3, b1, b2, b3满足

a1+a3+2b1-b2=0,3a1-a2+b1-b3=0, -a2+a3-b2+b3=0,

已知|a1, a2, a3|=a,求| b1, b2, b3|.

例7设A 是3阶矩阵, a是3维列向量,使得P=(a,Aa,A2a)可逆,并且A3a=3Aa-2A2a.又3阶矩阵B满足A=PBP-1.

(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)

2  1  0

例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A=  1  2  0  ,求|B|.(04一)

                                          0  0  1

例9           3 -5  1

设3阶矩阵A=  1 -1  0  , A-1XA=XA+2A,求X.

              -1  0  2 

例10          1  1 -1

设3阶矩阵A= -1  1  1  , A*X=A-1+2X,求X.

              1 -1  1     

                                           

例11 4阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知

         1  0  0  0

    A*=  0  1  0  0   ,求B. (00一)

         1  0  1  0

         0 -3  0  8

例12       3  0  0       1  0  0

    已知A= 2  1  0  , B= 0  0  0  , XA+2B=AB+2X,求X11.

            2  1  3       0  0 -1

例13   设a1=(5,1,-5)T, a2=(1,-3,2)T, a3=(1,-2,1)T,矩阵A满足

     Aa1=(4,3) T, Aa2=(7,-8) T, Aa3=(5,-5) T,

求A.

2.概念和证明题

例14 设A 是n阶非零实矩阵,满足A*=AT.证明:

(1)|A|＞0.

(2)如果n＞2,则|A|=1.

例15 设矩阵A=(aij)3´3满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为

(A) .(B) 3. (C)1/3. (D) . (20##年数学三)

例16 设A 和B都是n阶矩阵,C= A  0  ,则C*=

0  B

    (A)  |A|A*  0    .   (B) |B|B *   0   .

0   |B|B *           0    |A|A*

    (C)  |A|B*   0   .   (D ) |B|A*   0   .

0   |B|A*           0    |A|B*

 

例17  设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.

例18  设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则

(A) 交换A*的1,2行得到B*.

(B) 交换A*的1,2列得到B*.

(C) 交换A*的1,2行得到-B*.

(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(20##年)

例19  设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.

(1) 证明B可逆.

(2) 求AB-1.

例20  设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.

(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-cE可逆.

讨论: 如果f(A)=0,则

(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.

(2) f(c)¹0时,A-cE可逆.

(3) 上述两条的逆命题不成立.

例21设a是n维非零列向量,记A=E-aaT.证明

(1) A2=AÛaTa =1.

(2) aTa =1Þ A不可逆. (96一)

讨论:  (2)的逆命题也成立.

例22  设A,B都是n阶矩阵,证明

     E-AB可逆Û E-BA可逆.

例23  设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.

(1) 证明A-E可逆.

(2) 设   1 -3  0

      B= 2  1  0  ,求A.

         0  0  2               (91)

例24  设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.

(1) 证明A-2E可逆.

(2) 设   1 -2  0

      B= 1  2  0  ,求A.

         0  0  2                (2002)

例25  设n阶矩阵A,B满足AB=aA+bB.其中ab¹0,证明

(1) A-bE和B-aE都可逆.

(2) A可逆Û B可逆.

(3) AB=BA.

例26  设A,B都是n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.

例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明

(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.

(2) 如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.

(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.

例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为

    (A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (20##年数学四)

参考答案

           1 -1/2  1/3

例1 35A=35 -2   1 –2/3  .

           3  -3/2  1

① 3.② a2(a-2n). ③ -1. ④ E. ⑤ 4.

例2   O.

例3  (1)提示: An=An-2+A2-EÛA n-2(A2-E)=A2-E Û A(A2-E)=A2-E.

(2)n=2k时,       1  0  0

An = k  1  0   .

                  k  0  1

   n=2k+1时,      1  0  0

An = k+1 0  1    .

                   k  1  0

例 4    1  0  0

B=  1  2  2   .

        1  1  3

例5  2.

例 6 –4a.

例 7    0  0  0

B=  1  0  3   . |E+A|=-4

        0  1 -2

例8    1/9.

例 9   -6 10  4

X= -2  4  2   .

       -4 10  0

例 10   1  1  0 

(1/4) 0  1  1   .

        1  0  1

例 11  6  0  0  0

B= 0  6  0  0   .

       6  0  6  0

           0  3  0 -1

例 12   1  0  0

  2  0  0   .

        6 -1 -1

例 13   2 -1  1

 -4 -2 -5   .   

例15  (A).

例16  (D).

例 17   0  1  1

Q=  1  0  0   .

        0  0  1

例18 (D).

例19    E(i,j).

例22  提示:用克莱姆法则.例如证明Þ,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.

例23   1  1/2 0

A= -1/3 1  0   .

        0   0  2

例 24   0  2  0

A= -1 -1  0   .

        0  0 -2

    例25 提示:计算(A-bE)(B-aE).

例28 (A).

第四讲  向量组的线性关系与秩

    一.概念复习

1. 线性表示关系

设a1,a2,…,as是一个n维向量组.

如果n维向量b等于a1,a2,…,as的一个线性组合，就说b可以用a1,a2,…,as线性表示.如果n维向量组b1, b2,…,bt 中的每一个都可以可以用a1,a2,…,as线性表示,就说向量

b1,b2,…,bt可以用a1,a2,…,as线性表示.

判别“b是否可以用a1, a2,…,as线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程

x1a1+x2a2+…+xsas=b

是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以(a1, a2,…,as |b)为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“以(A|b)为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“b是否可以用A的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.

        向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB的每个列向量都可以表示为A的列向量组的线性组合,从而AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示;反之,如果向量组b1,b2,…,bt可以用a1,a2,…,as线性表示,则矩阵(b1,b2,…,bt)等于矩阵(a1,a2,…,as)和一个s´t矩阵C的乘积. C可以这样构造: 它的第i个列向量就是bi对a1,a2,…,as的分解系数(C不是唯一的).

向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组b1,b2,…,bt可以用a1,a2,…,as线性表示,而a1,a2,…,as可以用g1,g2,…,gr线性表示,则b1,b2,…,bt可以用g1,g2,…,gr线性表示.

当向量组a1,a2,…,as 和b1,b2,…,bt互相都可以表示时,就说它们等价,并记作{a1,a2,…,as }@{b1,b2,…,bt}.

等价关系也有传递性.

2. 向量组的线性相关性

(1) 定义(从三个方面看线性相关性)

线性相关性是描述向量组内在关系的概念,它是讨论向量组a1, a2,…,as 中有没有向量可以用其它的s-1个向量线性表示的问题.

定义  设a1,a2,…,as 是n维向量组,如果存在不全为0的一组数c1,c2,…,cs使得

c1a1+c2a2+…+csas=0,

则说a1,a2,…,as线性相关,否则(即要使得c1a1+c2a2+…+csas=0,必须c1,c2,…,cs全为0)就说它们线性无关.

于是, a1,a2,…,as “线性相关还是无关”也就是向量方程x1a1+ x2a2+…+xsas=0“有没有非零解”,也就是以(a1,a2,…,as )为系数矩阵的齐次线性方程组有无非零解.

当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就是它是(不是)零向量.

两个向量的相关就是它们的对应分量成比例.

(2) 性质

① 当向量的个数s大于维数n时, a1, a2,…,as 一定线性相关.

如果向量的个数s等于维数n,则 a1, a2,…,an线性相关Û| a1, a2,…,an|=0.

② 线性无关向量组的每个部分组都无关(从而每个向量都不是零向量).

③ 如果a1,a2,…,as 线性无关,而a1,a2,…,as ,b线性相关,则b可用a1,a2,…,as 线性表示.

④ 如果b可用a1,a2,…,as 线性表示,则表示方式唯一Ûa1,a2,…,as 线性无关.

⑤ 如果b1,b2,…,bt可以用a1,a2,…,as 线性表示，并且t＞s,则b1,b2,…,bt线性相关.

推论  如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等.

3.向量组的极大无关组和秩

(1) 定义

向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大(指包含向量的个数)的线性无关的部分组.

定义  设a1,a2,…,as 是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果

① (I) 线性无关.

② (I) 再扩大就线性相关. 

就称(I)为a1,a2,…,as 的一个极大无关组.

条件②可换为:任何aI都可用(I) 线性表示,也就是(I) 与a1,a2,…,as 等价.

当a1,a2,…,as 不全为零向量时,它就存在极大无关组,并且任意两个极大无关组都等价,从而包含的向量个数相等.

定义   如果a1,a2,…,as 不全为零向量,则把它的极大无关组中所包含向量的个数(是一个正整数)称为a1,a2,…,as 的秩,记作r(a1,a2,…,as).如果a1,a2,…,as 全是零向量,则规定r(a1,a2,…,as)=0.

由定义得出: 如果r(a1,a2,…,as)=k,则

i)  a1,a2,…,as 的一个部分组如果含有多于k个向量,则它一定的相关.

ii) a1,a2,…,as 的每个含有k个向量的线性无关部分组一定是极大无关组.

(2) 应用

① a1,a2,…,as 线性无关Û r(a1,a2,…,as)=s.

② b可用a1,a2,…,as 线性表示Ûr(a1,a2,…,as,b)=r(a1,a2,…,as).

(事实上若b不可用a1,a2,…,as  线性表示,则r(a1,a2,…,as,b)=r(a1,a2,…,as)+1.)

推论1:  b可用a1,a2,…,as 唯一线性表示Ûr(a1,a2,…,as,b)=r(a1,a2,…,as)=s.

推论2:  如果r(a1,a2,…,as)=维数n,则任何n维向量b都可以用a1,a2,…,as 线性表示.

③ b1,b2,…,bt可以用a1,a2,…,as 线性表示Û

r(a1,a2,…,as,b1,b2,…,bt)=r(a1,a2,…,as).

推论:如果 b1,b2,…,bt可以用a1,a2,…,as线性表示,则

      r(b1,b2,…,bt)£r(a1, a2,¼ ,as ).

④ a1,a2,…,as和b1,b2,…,bt等价Û 

 r(a1,a2,…,as)= r(a1,a2,…,as, b1,b2,…,bt)= r(b1,b2,…,bt).

极大无关组和秩的概念可以推广到向量集合上(即包含的向量的个数不必有限),所有性质仍然成立.

4. 秩的计算,有相同线性关系的向量组

两个向量个数相同的向量组a1,a2,…,as,和 b1,b2,…,bs称为有相同线性关系,如果向量方程

x1a1+x2a2+…+xsas=0和x1b1+x2b2+…+xsbs=0

同解,即齐次线性方程组(a1,a2,…,as)X=0和( b1,b2,…,bs)X=0同解.

当a1,a2,…,as和 b1,b2,…,bs有相同线性关系时,

(1)它们的对应部分组有一致的线性相关性.

(2)它们的极大无关组相对应,从而它们的秩相等.

(3)它们有相同的内在线性表示关系.

例如,当A经过初等行变换化为B时, AX=0和BX=0同解,从而A的列向量组和B的列向量组有相同线性关系.于是它们的极大无关组相对应,秩相等.

这样,就产生了计算一个向量组a1,a2,…,as的秩和极大无关组的方法:把此向量组作为列向量组构造矩阵(a1,a2,…,as),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B,则B的非零行数就是a1,a2,…,as的秩,B的各台角所在列号对应的部分组是a1,a2,…,as的的一个极大无关组.

如果A经过初等列变换化为B，则A的列向量组和B的列向量组是等价关系，虽然秩相等,但是极大无关组并没有对应关系.

5.矩阵的秩

(1) 定义

一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等,称此数为矩阵A的秩,记作r(A).

于是

r(A)=0Û A=0.

如果A是m´n矩阵,则r(A)£Min{m,n}.

当r(A)=m时,称A为行满秩的; 当r(A)=n时,称A为列满秩的.

对于n阶矩阵A,则行满秩和列满秩是一样的,此时就称A满秩.于是:

n阶矩阵A满秩Ûr(A)=n(即A的行(列)向量组无关)Û|A|¹0ÛA可逆.

矩阵的秩还可以用它的非0子式来看.

A的r阶子式:任取 A的r行和r列,在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式,如果它的值不为0,就称为非0子式.

命题  r(A)就是A的非0子式的阶数的最大值.(即A的每个阶数大于r(A)的子式的值都为0,但是A有阶数等于r(A)的非0子式.)

(2) 计算

命题  ① 初等变换保持矩阵的秩.

②阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

矩阵秩的计算:用初等变换将其化为阶梯形矩阵,则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩.

(3) 在矩阵运算中,矩阵的秩有性质

① r(A T)=r(A).

② 如果c不为0,则r(cA)=r(A).

③ r(A±B)£r(A)+r(B).

④ r(AB)£Min{r(A),r(B)}.

⑤ 当A(或B)可逆时,r(AB)=r(B)(或r(A)).

⑥ 如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r(A)+r(B)£n.

⑦ 如果A列满秩(r(A)等于列数),则r(AB)=r(B).

⑧一般公式: r(A)+r(B)£n+r(AB).

下面给出⑤和⑦在判别向量组的线性相关性和秩的计算问题上的应用.

设向量组a1, a2,¼ ,as线性无关,向量组b1, b2,¼ ,bt可用a1, a2,¼ ,am线性表示,表示矩阵为C,则

i) r(b1, b2,¼ ,bt)=r(C).

ii) 如果t=s (此时C是t阶矩阵),则b1, b2,¼ ,bs线性无关Û C可逆.

(令A=(a1, a2,¼ ,as), B=(b1, b2,¼ ,bt),则B=AC, 并且r(A)=列数s,用⑦得到r(b1, b2,¼ ,bs)=r(C). t=s时,C可逆Ûr(b1, b2,¼ ,bs)=r(C)=sÛb1, b2,¼ ,bs线性无关.或直接用⑤证明ii): C可逆时r(B)=r(A)=s,从而b1, b2,¼ ,bs线性无关.如果C不可逆,则r(b1, b2,¼ ,bs)£r(C)＜ s, 从而b1, b2,¼ ,bs线性相关.)

6.矩阵的等价 两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称它们等价. 矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同,秩相等.

二.典型例题

1.向量组秩的计算和应用

例1a,b,c满足什么条件时向量组 a1=(a,0,c),a2=(b,c,0),a3=(0,a,b)线性无关？(02)

例2 已知(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,并且a¹1,求a. (05)

例3 设a1=(1+a,1,1)，a2=(1,1+b,1)，a3=(1,1,1-b)，问a,b满足什么条件时r(a1,a2,a3)=2?

例4  设a1=(1+λ，1，1)，a2=(1，1+λ，1)，a3=(1，1，1+λ)，b=(0，λ,λ2)．

① λ为何值时，b可用a1，a2，a3线性表示，并且表示方式唯一？

②λ为何值时，b可用a1，a2，a3线性表示，并且表示方式不唯一？

③ λ为何值时，b不可用a1，a2，a3线性表示？

 

例5 设 a1=(1,0,1,1),a2=(2,-1,0,1),a3=(-1,2,2,0), b1=(0,1,0,1),b2=(1,1,1,1).问: c1,c2满足什么条件时c1b1+c2b2可以用  a1,a2,a3线性表示?

例6设a1=(1,2,0,1),a2 =(1,1,-1,0), a3=(0,1,a,1),g1=(1,0,1,0),g2=(0,1,0,2).a 和k取什么值时, g1+kg2可用a1,a2,a3线性表示?写出表示式.

例7设a1=(1,2,-3)，a2=(3,0,1)，a3=(9,6,-7)，b1=(0,1,-1)，b2=(a,2,1)，b3=(b，1，0)．已知r(a1,a2,a3)=r(b1,b2,b3),并且b3可用a1,a2,a3线性表示，求a,b.(00二)

例8求常数a,使得向量组a1=(1,1,a),a2=(1,a,1),a3=(a,1,1)可由向量组b1=(1,1,a),

b2=(-2,a,4),b3=(-2,a,a)线性表示,但是b1, b2, b3不可用a1,a2,a3线性表示. (20##年数学二)

例9 给定向量组(Ⅰ) a1=(1,0,2)，a2=(1,1,3)，a3=(1,-1,a+2)和(Ⅱ)b1=(1,2, a+3)，b2=( 2,1 ,a+6)，b3=(2,1,a+4)．当a为何值时(Ⅰ)和(Ⅱ)等价? a为何值时(Ⅰ)和(Ⅱ)不等价?(03四)

例10设 a1=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=(1,-2,2,0),a5=(2,1,5,10).它们的下列部分组中,是极大无关组的有哪几个?

(1) a1,a2,a3. (2) a1,a2,a4. (3) a1,a2,a5. (4) a1,a3,a4.

2. 向量组秩的性质的应用

例11已知a1,a2,a3线性相关,而a2,a3,a4线性无关,则a1,a2,a3,a4中,   能用另外3个向量线性表示,而   不能用另外3个向量线性表示.

例12已知r(a1,a2,a3)=r(a1,a2,a3,a4)=3,r(a1,a2,a3,a4,a5)=4，求r(a1,a2,a3,a4-a5)．

(95三)

例13已知b可用a1,a2,…,as 线性表示，但不可用a1,a2,…,as-1线性表示．证明

⑴ as不可用a1,a2,…,as-1线性表示；  

⑵ as可用a1,a2,…,as-1,b线性表示．

例14 a1,a2,a3,b线性无关,而a1,a2,a3,g线性相关,则

(A) a1,a2,a3,cb+g线性相关.

(B) a1,a2,a3,cb+g线性无关.

(C) a1,a2,a3,b+cg线性相关.

(D)  a1,a2,a3,b+cg线性无关.

例15  已知n维向量组a1,a2,…,as 线性无关,则n维向量组b1, b2,…, bs 也线性无关的充分必要条件为

(A) a1,a2,…,as 可用b1, b2,…, bs线性表示.

(B) b1, b2,…, bs可用a1,a2,…,as线性表示.

(C) a1,a2,…,as 与b1, b2,…, bs等价.

(D)  矩阵(a1,a2,…,as )和(b1, b2,…, bs)等价.

3.矩阵的秩

例16 n阶矩阵

    1  a  a  …  a

    a  1  a  …  a

A=  a  a  1  …  a

    ┆ ┆ ┆     ┆

    a  a  a  …  1

的秩为n-1,求a.(98三)

例17 设

         a  b  b

A=  b  a  b  ,已知r(A)+r(A*)=3,求a,b应该满足的关系.(03三)

    b  b  a

例18 设

    1  2  3  4         1  2  3  4

A=  2  3  4  5  ,  B=  0  1  2  3  ,求r(BA+2A).

    3  4  5  6         0  0  1  2

    4  5  6  7         0  0  0  1

例19       a  b  -3       b-1 a 1

3阶矩阵A= 2  0  2  ，B= -1    1    0?，已知r(AB)小于r(A)和r(B),求a,b和

                              3  2  -1       0   2  1    r(AB).

例20  设 a1，a2，a3线性无关，则(    )线性无关：

⑴a1+a2，a2+a3，a3-a1；

⑵ a1+a2，a2+a3， a1+2a2+a3；

⑶ a1+2a2，2a2+3a3，3a3+a1；

⑷a1+a2+a3，2a1-3a2+22a3，3a1+5a2-5a3 ．(97三)

例21  设 a1，a2，a3线性无关，则(    )线性相关：

⑴a1+a2，a2+2a3，a3+4a1；

⑵ a1-a2，a2-2a3， a3-4a1；

⑶ a1+(1/2)a2，a2+a3，3a3+2a1；

⑷a1-(1/2)a2， a2-a3， a3 -2a1．

例22  设A是m´n矩阵, B是n´m矩阵, 则(  )

(A) 当m＞n时, |AB |¹0.   (B)  当m＞n 时, |AB |=0.

(C) 当n＞m 时, |AB|¹0.   (D) 当n＞m 时, |AB |=0.   (99)

   

例23  AB =0, A,B是两个非零矩阵,则

(A) A的列向量组线性相关.B的行向量组线性相关.   

(B) A的列向量组线性相关.B的列向量组线性相关.

(C) A的行向量组线性相关.B的行向量组线性相关.   

(D) A的行向量组线性相关.B的列向量组线性相关.  (04)

4.证明题

例24   设a1,a2 ,…,as是n维向量组.证明r(a1,a2 ,…,as)=n的充分必要条件为:任何n维向量都可用a1,a2,…,as线性表示.

例25  设A是m´n矩阵，证明r(A)=1Û存在m维非零列向量a=(a1,a2,…，a m)T和n维非零列向量b=(b1,b2,…,bn)T，使得A=ab T.

例26  设n阶矩阵A的秩为1，证明A2 =tr(A)A.??

例27设A*为n阶矩阵A的伴随矩阵,则

            n,    若r(A)=n,

r(A*)=  1,    若r(A)=n-1,

0,    若r(A)

例28  设A为n阶矩阵, a为n维列向量.正整数k使得Aka=0,但是Ak-1a¹0,证明a, Aa,…, Ak-1a线性无关.

例29  证明r(a1,a2,…,as ,b1, b2,…, bt)£r(a1,a2,…,as)+ r(b1, b2,…, bt).

例30  证明r(A+B)£r(A)+r(B).

例31  证明矩阵方程AX=B有解Ûr(A|B)=r(A).

参考答案

例1 abc¹0.

例2 1/2.

例3 a=-1或b=0并且a¹0.

例4 (1) λ¹0和-3.(2) λ=0.(3) λ=-3.

例5  2c1+c2=0.

例6  k=-1,a¹1.

例7  a=15,b=5.

例8  1.

例9  a¹-1时等价, a=-1时不等价.

例10  (2)和(4).

例11  a1能, a4不能.

例12  4.

例14   (D).

例15   (D).

例16  a=1/(1-n).

例17 a=-2b¹0.

例18  2.

例19  a=1,b=2,r(AB)=1.

例20  (C).

例21  (D).

例22  (B).

例23  (A).

第五讲  线性方程组

    一.概念复习

1.  线性方程组的形式

线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式：

矩阵式  AX=b，(齐次方程组AX=0).

向量式  x1a1+x2a2+…+xsas= b， (齐次方程组x1a1+x2a2+…+xsas=0).

2.  线性方程组解的性质

(1) 齐次方程组AX=0

如果h1, h2,…,hs是齐次方程组AX=0的一组解,则它们的任何线性组合c1h1+c2h2+¼ + cshs也都是解.

(2) 非齐次方程组AX=b

如果x1, x2,…,xs是AX=b的一组解,则

① 它们的线性组合c1x1+c2x2+…+csxs也是AX=b解的Ûc1+c2+…+cs=1.

② 它们的线性组合c1x1+c2x2+…+csxs是AX=0的解Û c1+c2+…+cs=0.

如果x0是AX=b的一个解,则n维向量(n是未知数的个数) x也是解Ûx-x0是导出齐次方程组AX=0的解.(也就是说, x是x0与导出组AX=0的一个解的和.)

 3.  线性方程组解的情况的判别

对于方程组AX=b,判别其解的情况用三个数:未知数的个数n,r(A),r(A|b).

① 无解Ûr(A)A|b).

② 有唯一解Ûr(A)=r(A|b)=n.

  (当A是方阵时,就推出克莱姆法则.)

③ 有无穷多解Ûr(A)=r(A|b)

方程的个数m虽然在判别公式中没有出现,但它是r(A)和r(A|b)的上界,因此

当r(A)=m时, AX=b一定有解.

当m

对于齐次方程组AX=0,判别解的情况用两个数: n,r(A).

有非零解Û r(A)=A)=n).

   推论1  当A列满秩时, A在矩阵乘法中有左消去律:

AB=0ÞB=0；AB=ACÞB=C.

证明  设B=(b1,b2,…,bt),则AB=0ÛAbi=0,i=1,2,…,s. Ûb1,b2,…,bt都是AX=0的解. 而A列满秩, AX=0只有零解, bi=0,i=1,2,…,s,即B=0.

?

       推论2  如果A列满秩,则r(AB)=r(B).

证明  只用证明齐次方程组ABX=0和BX=0同解.(此时矩阵AB和B 的列向量组有相同的线性关系,从而秩相等.)

h是ABX=0的解ÛABh=0ÛBh=0(用推论1)Ûh是BX=0的解.

于是ABX=0和BX=0确实同解.

4.  齐次方程组的基础解系  线性方程组的通解

(1) 齐次方程组的基础解系

如果齐次方程组AX=0有非零解,则它的解集(全部解的集合)是无穷集,称解集的每个极大无关组为AX=0的基础解系.

于是, 当h1, h2,…,hs是AX=0的基础解系时:

向量h是AX=0的解Ûh可用h1, h2,…,hs线性表示.

定理 设AX=0有n个未知数,则它的基础解系中包含解的个数(即解集的秩)=n-r(A).

于是,判别一组向量h1, h2,…,hs是AX=0的基础解系的条件为

① h1, h2,…,hs是AX=0的一组解.

② h1, h2,…,hs线性无关.

③ s=n-r(A).

推论  如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r(A)+r(B)£n.

证  记B=(b1, b2,¼, bs),则Abi=0,i=1,2,¼ ,s,即每个bi都是齐次方程组AX=0的解,从而r(B)= r(b1, b2,¼, bs)£n-r(A),即r(A)+r(B)£n.

(2) 线性方程组的通解

如果h1, h2,…,hs是齐次方程组AX=0的基础解系,则AX=0的通解(一般解)为

  c1h1+c2h2+…+ cshs, 其中c1, c2,…,cs,可取任何常数.

如果x0是非齐次方程组AX=b的解, h1,h2,… ,hs是导出组AX=0的基础解系,则AX=b的通解(一般解)为

x0+c1h1+c2h2+…+cshs, 其中c1, c2,…,cs,可取任何常数.

二.典型例题

例1    3x1+2x2-2x3+ x4   =0，

??    ? 6x1+4x2 +5x3+2x4+3x5=0，求此齐次方程组的基础解系和通解.

           9x1+6x2    +3x4+2x5=0，

    例2讨论p,t的取值对下面方程组解的影响, 并在有无穷多解时求通解.(96四)

                 x1+x2-2x3+3x4=0，

             2x1+x2-6x3+4x4=-1，

       3x1+2x2+px3+7x4=-1，

         x1-x2-6x3- x4= t ．

例3 齐次方程组AX=0的系数矩阵为

     1+a 1  1  … … 1

      2 2+a 2  … … 2

A =   3  3 3+a … … 3   ,

        … … … …

      n  n  n … …n+a 

a为什么数时AX=0有非零解?求通解.(04一)

例4  线性方程组的增广矩阵为

        1  a   b  1   0

(A|b)=  2  1   1  2   0  ,

            3 2+a 4+b 4   1

又已知(1,-1,1,-1)T是它的一个解.

(1) 用导出组的基础解系表示通解.

(2) 写出满足x2=x3的全部解.(04四)

例5 设线性方程组为

    x1+a1x2+a12x3=a13,

x1+a2x2+a22x3=a23,

x1+a3x2+a32x3=a33,

x1+a4x2+a42x3=a43.

(1)证明当a1,a2,a3,a4两两不相等时,方程组无解.

(2)设a1=a3=-a2=-a4=k,并且(-1,1,1)T和(1,1,-1)T都是解,求此方程组的通解.(94三)

例6 已知x1=(0,1,0)T和x2=(-3,2,2)T都是方程组

     x1-x2+2x3=-1,

    3x1+x2+4x3=1,

ax1+bx2+cx3=d

的解,求通解.

例7已知 x1=(1,1,-1,-1)T和x2=(1,0,-1,0)T是线性方程组

            x1+ x2 -x3  +x4=2，

x2 +px3+qx 4=s,

           2x1+tx2-x3+tx 4=r  

的解,η=(2,-2,1,1)T是它的导出组的解,求方程组的通解.

例8  设矩阵A=(a1,a2,a3,a4),其中a2,a3,a4线性无关, a1=2a2-a3.又设b=a1+a2+a3+a4,求AX=b的通解.(02一，二)

例9  x1,x2,x3都是AX=b的解,其中x1=(1,2,3,4), x2+x3=(0,1,2,3), r(A)=3.求通解.(00三)

例10                                                   1  2  3

已知3阶矩阵A的第一行为(a,b,c),a,b,c不全为0, 矩阵 B=  2  4  6  ,并且AB=0,

                                                        3  6  k

求齐次线性方程组AX=0的通解. (20##年数学一,二)

例11 设A是m×n矩阵，r(A)=r．则方程组AX = b

       (A)在r=m时有解.

       (B)在m=n时有唯一解.?

(C)在r

(D)在r=n时有唯一解.   (97四)

例12 设x1，x2是非齐次方程组AX=b的两个不同的解,h1,h2为它的导出组AX=0的一个基础解系，则它的通解为(  )

(A)   k1h1+k2h2+(x1-x2)/2.

      (B)   k1h1+k2(h1-h2)+(x1+x2)/2.

(C) k1h1+k2(x1-x2)+(x1-x2)/2.

       (D) k1h1+k2(x1-x2)+(x1+x2)/2.

例13当A=(  )时，(0，1，-1)和(1，0，2)构成齐次方程组AX=0的基础解系．

  (A) -2，1，1；  (B)   2  0  -1   (C)  1  0  2       (D)  0  1 -1

2  -1 –1  .       0  1   1 .      0  1 -1   .        1  0  2

0    1  1  ．(92一)

1     

例14    x1+x3=0，

2x2+x4=0的一个基础解系为

(A)(0,-1,0,2)T.                (B) (0,-1,0,2)T, (0,1/2,0,1)T.

(C) (1,0,-1,0)T,(-2,0,2,0)T.   (D) (0,-1,0,2)T, (1,0,-1,0)T.

例15 已知(1,a,2)T,(-1,4,b)T构成次线性方程组

       sx1+x2-2x3=0,

       2x1-tx2-2x3=0

的一个基础解系,求a,b,s,t.

例16 线性方程组

       2x1+x2+x3-x4=1,

       x1+x2+x3-2x4=0

的通解可以表示为

(A) (1,-1,0,0)T+c(0,1,-1,0)T, c任意. 

(B) (0,1,1,1)T+c1(0,-2,2,0)T+c2(0,1,-1,0)T, c1,c2任意.

(C) (1,-2,1,0)T+c1(-1,2,1,1)T+c2(0,1,-1,0)T, c1,c2任意.

(D) (1,-1,0,0)T+c1(1,-2,1,0)T+c2(0,1,-1,0)T, c1,c2任意.

例17  设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅰ)的系数矩阵为

      2  3 -1  0

1  2  1 -1  ，

(Ⅱ)的一个基础解系为(2,-1,a+2,1)T,(-1,2,4,a+8)T.已知(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解,求a,并求出它们的全部公共解.(02四)

    例18 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅰ)为   x1+x2=0，

x3-x4=0，

 (Ⅱ)有一个基础解系(0,1,1,0)T,(-1,2,2,1)T．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．

例19 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅲ)是将它们合并而得到的方程组.已知(1,0,1,1)T,(-1,0,1,0)T,(0,1,1,0)T是(Ⅰ)的一个基础解系,(0,1,0,1)T,(1,1,-1,0)T是 (Ⅱ) 的一个基础解系．求(Ⅲ)的通解．

  例20  设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是3元非齐次线性方程组,(Ⅰ)有通解x1+c1h1+c2h2,其中x1=

(1,0,1)T,h1=(1,1,0)T,h2=(1,2,1)T；(Ⅱ)有通解x2+ch, x2=(0,1,2)T,h=(1,1,2)T.求(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解.

例21 设方程组   a11x1+a12x2+…+a16x6=0,

                     a21x1+a22x2+…+a26x6=0,

                     a31x1+a32x2+…+a36x6=0

有基础解系(bi1，bi2 ，…，bi6)T，i=1,2, 3,  求方程组

      b11y1+b12y2+…+b16y6=0,

      b21y1+b22y2+…+b26y6=0,

b31y1+b32y2+…+b36y6=0．

的基础解系．

   

例22 设(Ⅰ)是n元非齐次线性方程组,系数矩阵的秩为s,证明:如果(Ⅰ)有解，则

 ⑴ (Ⅰ)有n-s+1个线性无关的解.⑵ (Ⅰ)的任意n-s+2个解都线性相关．

例23已知齐次方程组

     x1+2x2+3x3=0,        x1+bx2+cx3=0,

    2x1+3x2+5x3=0,   和  2x1+b2x2+(c+1)x3=0

x1+x2+ax3=0

同解,求a,b,c. (20##年数学三,四)

例24已知方程组

           x1+x2+x3=1,          2x1+3x2+ax3=4,

(I)    3x1+5x2+x3=7, (II)   2x1+4x2+(a-1)x3=b+4

(1)a,b取什么值时这两个方程组同解?此时求解.

(2)a,b取什么值时这两个方程组有公共解? 此时求解. 

例25构造齐次方程组,使得(1,1,0,-1)T,(0,2,1,1)T构成它的基础解系.

例26构造非齐次方程组,使得其通解为

(1,0,0,1)T +c1(1,1,0,-1)T+c2(0,2,1,1)T, c1,c2任意.

例27设h1,h2,h3为3个n维向量,已知n元齐次方程组AX=0的每个解都可以用h1,h2,h3线性表示,并且r(A)=n-3,证明h1,h2,h3为AX=0的一个基础解系.?

例28 已知x=(0,1,0)T是方程组

    3x1+2x2-x3=2,

    -x1+bx2+2x3=1,

ax1+3x2+cx3=d

的解,求通解.

    参考答案

    例1 c1(-2/3,1,0,0,0)T+c2(-1/3,0,0,1,0)T+c3(-2/9,0,-1/3,0,1)T, c1,c2,c3任意.

例2 t=-2时有无穷多解.

t=-2,p=-8时通解为

(-1,1,0,0)T+c1(4,-2,1,0)T+c2(-1,-2,0,1)T, c1,c2任意.

t=-2,p¹-8时通解为

(-1,1,0,0)T+c(-1,-2,0,1)T, c任意.

例3 a=0或-n(n+1)/2时有非零解.

a=0时通解为

c1(-1,1,0,…,0)T+c2(-1,0,1,…,0)T+…+cn-1(-1,0,0,…,1)T, c1,c2,…,cn-1任意.

a=-n(n+1)/2时通解为

c(1,2,3,…,n)T, c任意.

例4 a=b.

(1)a=1/2时,通解为

(1,-1,1,-1)T+c1(1,-3,1,0)T+c2(1,2,0,-2)T, c1,c2任意.

a¹1/2时,通解为

(1,-1,1,-1)T+c(-2,1,-1,2)T,c任意.

(2) a=1/2时,通解为(2,1,1,-3)T+c(3,1,1,-4)T,c任意.

a¹1/2时,解为(-1,0,0,1)T.

例5(2) (-1,1,1)T+c(1,0,-1)T,c任意.

例6 (0,1,0)T+c(-3,1,2)T,c任意.

例7 (1,1,-1,-1)T+c1(2,-2,1,1)T+c2(0,-1,0,1)T, c1,c2任意.

例8 (1,1,1,1)T+c(1,-2,1,0)T,c任意.

例9  (1,2,3,4)T+c(2,3,4,5)T,c任意.

例10(1)若k¹9,通解为:

c1(1,2,0)T+c2(0,0,1)T,其中c1,c2任意.

(2) k=9时:

① r(A)=2,通解为:c(1,2,3)T,其中c任意.

② r(A)=1,通解为:c1(1,2,3)T+c2(b,-a,0)T,其中c1,c2任意.

例11 (A).

例12 (B).

例13 (A)

例14 (D)

例15 a=2,b=1,s=2,t=-1.

例16 (C).

例17 a=-1,公共解为c1(2,-1,1,1)T+c2(-1,2,4,7)T, c1,c2任意.

例18  c(1,-1,-1,-1)T,c任意.

例19  c(-3,-2,3,1)T,c任意.

例20  (1/2,3/2,3)T.

例21  (a11,a12,…,a16),(a21,a22,…,a26),(a31,a32,…,a36).

    例23   a=2, b=1,c=2.

例24 (1) a=1, b=2.  (-1,2,0)T+c(-2,1,1)T.

(2) b=2, a任意.

a=1时即同解; a¹1时有唯一公共解,为(-1,2,0)T.

例25 答案不唯一.

一个参考答案为:

   x1-x2+2x3=0,

       x1-3x3+x4=0.

例26 答案不唯一.

一个参考答案为:

   x1-x2+2x3=1,

       x1-3x3+x4=2.

例28  系数矩阵A的秩可能为2和3.

当A的秩为3时,解唯一.

当A的秩为2时,通解为:

(0,1,0)T+c(1,-1,1)T,c任意.

第六讲  特征向量和特征值  相似和对角化

一.概念复习

 1.特征向量和特征值

(1)定义

设A是n阶矩阵.一个n维向量h称为A的特征向量，如果

①h¹0；

② Ah与h线性相关.

此时，存在唯一数l，使得Ah=lh，称l为h的特征值.(并且说h是属于l的特征向量.)

例如对于数量矩阵lE，任何非零向量都是它的特征向量，特征值都是l.

(2)计算

对等式Ah=lh作恒等变形，得(lE-A)h=0.

于是h是A的特征向量,特征值为lÛh是齐次方程组(lE-A)X=0的非零解.

由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：

①?l是A的特征值Û|lE-A|=0，即(lE-A)不可逆.

②?h是属于l的特征向量Ûh是齐次方程组(lE-A)X=0的非零解.

规定A的特征多项式为|xE-A|，则A的特征值就是它的特征多项式的根.

规定特征值l的重数：即l作为特征多项式的根的重数.

例如，对角矩阵的特征值即对角线上的各元素.

计算特征值和特征向量的具体步骤为：

计算A的特征多项式，求出它的根，即A的特征值；然后对每个特征值l，求齐次方程组(lE-A)X=0的非零解，即属于l的特征向量.

(3)性质

A的特征值共有n个(其中有的相同，有的是虚数)，也就是A的全体不同特征值的重数和等于n.

定理  设l是A的特征值，则它的重数³n-r(lE-A).

设l1,l2,…,ln是A的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到： 

①?l1+l2+…+l n=tr(A)( A的迹数，即主对角线上元素之和).??

②?l1l2…ln=|A|.

(4)相关矩阵的特征值

命题  如果h是A的特征向量，特征值为l，即Ah=lh,则

①?h也是A的任何多项式f(A)的特征向量，特征值为f(l)；?

②?如果A可逆，则h也是A-1的特征向量，特征值为1/l;h也是A*的特征向量，特征值为|A|/l .

从特征值方面看，有

命题  如果l是A的特征值，则

①?f(l)是A的多项式f(A)的特征值.

②?如果A可逆，则1/l是A-1的特征值; |A|/l是A*的特征值.

命题  如果A的特征值是l1,l2,…,ln，则

① f(A)的特征值是f(l1),f(l2),…,f(ln).

②?如果A可逆，则

A-1的特征值是1/l1,1/l2,…,1/ln;

A*的特征值是|A|/l1,|A|/l2,…,|A|/ln.

AT和A有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.但是它们的特征向量可能不相同.

2. n阶矩阵的相似关系

(1) n阶矩阵的相似关系

设A,B是两个n阶矩阵,如果存在n阶可逆矩阵U,使得U-1AU=B,则称A与B相似,记作A~B.

当U和A乘积不可交换时,B不等于A;但是如果A是数量矩阵,则只和自己相似.

由定义容易看出, 矩阵的相似关系有对称性和传递性,即A~BÛB~A； 如果A~B,B~C,则A~C.

当A~B时,f(A)~f(B),在A可逆时 A-1~B-1, A*~B*.(事实上,如果U-1f(A)U= f(B),则U-1A-1U=B-1, U-1A*U=B*.)

当两个矩阵A,B相似时,它们有许多相同的性质:

① |A|=|B|.

② r(A)=r(B).

③ tr(A)=tr(B).

④ A,B有相同的特征多项式,从而特征值完全相同.

(但是A和B的特征向量不一定相同,但是有关系:h是A的特征向量Û U-1h是B的特征向量.)

3. n阶矩阵的对角化问题

如果一个n阶矩阵相似与一个对角矩阵,就说它可以对角化.

并不是每个矩阵都可以对角化的,于是我们的问题是:

(1)判断一个n阶矩阵A是否可对角化.

(2)如果可以,怎么构造可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵?

定理1  可逆矩阵U=(h1,h2,…,hn)使得U-1AU是对角矩阵,并且其对角线上的元素为l1,l2,…,lnÛ U的列向量h1,h2,…,hn都是A的特征向量,并且特征值依次为l1,l2,…,ln.

判别法则1 n阶矩阵A可对角化ÛA有n个线性无关的特征向量.

构造可逆矩阵U的方法  以An个线性无关的特征向量h1,h2,…,hn为列向量,构造矩阵U =(h1,h2,…,hn),则U-1AU是对角矩阵.

定理2  A的一组特征向量h1,h2,…,hs线性无关Ûh1,h2,…,hs的每个属于同一特征值的部分组都线性无关.

判别法则2  A可对角化Û对于A的每个特征值l,其重数=n-r(lE-A).

推论  如果A的特征值两两不相同,则A可以对角化.

二.典型例题  

1.特征值和特征向量的计算和应用

例1    -1   2   2

    设A =   2  -1  -2  ，求A和A-1+E的特征值．(89三)

            2  -2   -1 

    例2     a  1  1  1   

求矩阵   1  a  1  1   的特征值和特征向量．(92四)

1  1  a  1

1  1  1  a

    例3                 2 -1  2

已知a=(1，1，-1)T是 5  a  3   的特征向量 ，求a,b和a的特征值．(97一)

-1  b -2    

例4    3  2  2      0  1  0 

    设A =  2  3  2  ,U= 1  0  1   , B=U-1A*U.求B+2E的特征值和特征向量.(03一)

2  2  3      0  0  1

例5          a  -1  c

已知  A =   5   b  3  ，|A|=-1，(-1，-1，1)T是A*的特征向量，特征值为l.??               1-c  0 -a    求a,b,c,和l.(99一)

例6设3阶矩阵A 有3个特征向量h1=(1,2,2)T，h2=(2,-2,1)T，h3=(-2,-1,2)T，它们的特征值依次为1,2,3,求A．(97四)

例7  设3阶矩阵A 有3个特征向量h1=(1,1,1)T,h2=(1,2,4)T,h3=(1,3,9)T,它们的特征值依次为1,2,3.又设a=(1,1,3)T,将a用h1，h2，h3线性表示,并且求Ana.(92一)

例8  已知3阶矩阵A满足|A+E|=|A-E|=|4E-2A|=0,求|A3-5A2|.

                     

例9  设a=(1,2,-1)T, b=(-2,1,-2)T, A=E-abT. 求|A2-2A+2E|.

例10  设4阶矩阵A 满足A3=A.

(1)证明A的特征值不能为0,1,和-1以外的数.

(2)如果A 还满足|A+E|=8,求|A2+E|.

例11已知n阶矩阵A 满足A3=E.

(1)证明A2-2A-3E可逆.

(2)证明A2+A+2E可逆.

2.相似与对角化

例12 设A 和B都是可对角化的n阶矩阵,证明A 和B相似ÛA 和B的特征值完全相同.

    例13           1  2 -3   

    已知3阶矩阵A = -1  4 –3  有一个二重特征值,求a,并且讨论A可否对角化.(04一二)

1  a  5

例14  设n阶矩阵      1  b  …  b   

                  A =  b  1  …  b  ,

                        … … …

                       b  b  …  1

(1)求A 的特征值和特征向量.

(2)求作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵.(04三)

    例15       a  1  1               

已知A=  1  a  -1  ,a是一个实数.

  1  -1  a 

(1)  求作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵.

(2) 计算|A-E|.  (02四)

例16     1 -1  1        2  0  0 

    已知A =  2  4 -2  ~B =  0  2  0   .

             -3 –3 x         0  0  y  

(1)求x,y.

(2) 求作可逆矩阵U,使得U-1AU=B.(97四) 

例17   3  2 -2   

    设A = -k -1  k  .

           4  2  -3    

(1)问k为何值时A可对角化?

(2)此时作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵.(99四)

例18    2  2  0     

    已知A=  8  2  a  可对角化,求a, 作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵.(03二)

0  0  6    

例19 设A为3阶矩阵, a1,a2,a3是线性无关的3维列向量组,满足

Aa1=a1+a2+a3, Aa2=2a2+ a3, Aa3=2a2+3a3.

(1)求A的特征值.

(2)求作可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵. (20##年数学四)

例20设l1,l2是A的两个不同特征值,a1,a2分别是对应的特征向量,则a1,A(a1+a2) 线性无关的充分必要条件为

(A) l1¹0.(B) l2¹0. (C) l1=0. (D) l2=0. (20##年数学一,二,三)

参考答案

例1  A的特征值:1,1,-5.

     A-1+E的特征值:2,2,4/5.

例2  a-1,a-1,a-1,a+3.

例3 a=-3, b=0, 特征值-1.

例4  特征值:9,9,3.

属于9的特征向量: c1(1,-1,0)T+c2(1, 1,-1)T, c1,c2不全为0.

属于3的特征向量: c(0,1,1)T c不为0.

例5 a=2,b=-3,c=2, l=1.

例6       7  0 -2

    (1/3)  0  5 -2  .

          -2 -2  6

例7  (2-2n+1+3n, 2-2n+2+3n+1, 2-2n+3+3n+2)T.

例8  -288.

例9  5.

例10的(2) 8.

例13  a=-2(此时可对角化),或a=-2/3(此时不可对角化).

例14 (1) 特征值:1-b(n-1重),1+(n-1)b.(如果b=0则都为1.)

属于1-b的特征向量: c1(1,-1,0,…,0)T+c2(1,0,-1,…,0)T,…,cn-1(1,0,0,…, -1)T ,c1,c2,…,cn-1不全为0.

属于1+(n-1)b的特征向量: c(1,1,1,…,1),c不为0.

(2)    1  1  1 … 0  1            1-b  0   0  …   0 

   U= -1  0  0 … 0  1  , U -1AU=   0  1-b  0  …   0         .

       0 -1  0 … 0  1             0   0  1-b …   0

        … … … …                   … … … …

       0  0  0   -1  1             0   0   0  …1+(n-1)b

例15

    1  1  -1            a+1 0   0

   U=   1  0  1    , U -1AU=  0 a+1  0    .

        0  1  1              0  0  a-2        

例16    (1)x=5,y=6.

(2)   1  1  1              2  0  0

   U=  -1  0 -2    , U -1AU=  0  2  0    .

        0  1  3              0  0  6   

例17  (1)k=0.

(2)   1  0  1              1  0  0

   U=   0  1  0    , U -1AU=  0 -1  0    .

        1  1  2              0  0 -1   

例18 (1)a=0.

(2)   0  1  1              6  0  0

   U=   0  2 -2    , U -1AU=  0  6  0    .

        1  0  0              0  0 -2   

例19 (1) A的特征值为1,1,4.

(2) 令P= (a1-a2, 2a2-a3,a2+a3),则

          1  0  0

P-1AP =  0  1  0  .

          0  0  4

例20 (B).

附录一  内积  正交矩阵  实对称矩阵的对角化

本附录中的向量的分量和矩阵的元素都要求是实数(称为实向量和实矩阵).

1.  实向量的内积

定义  两个n维实向量a=(a1,a2,…,an)T, b=(b1,b2,…,bn)T的内积规定为:

  (a,b)=a1b1+a2b2+…+anbn=aTb.

内积的性质:

(1)正定性: (a,a)³0,并且(a,a)=0Ûa=0.

(2)对称性: (a,b)=(b,a).

(3)双线性性质: (a,b1+b2)=(a,b1)+(a,b2); (a1+a2,b)=(a1,b)+(a2,b).

         (ca,b)=c(a,b)=(a,cb).(c为任意实数)

实向量a的长度:‖a‖=.

显然‖ca‖= |c|‖a‖,‖a‖=0Ûa=0..

长度为1的向量称为单位向量.如果a不是零向量,则a/‖a‖是单位向量,称为a的单位化.

如果(a,b)=0,则说a和b正交.

如果向量组a1, a2,…,as中的每个都是单位向量,并且两两正交,则称它们为单位正交向量组.

2. 正交矩阵 

定义  n阶矩阵Q称为正交矩阵,如果它是实矩阵,并且QQT=E(即Q-1=QT).

命题  Q是正交矩阵ÛQ的列向量组是单位正交向量组.

                 ÛQ的行向量组是单位正交向量组.

3. 施密特正交化

这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法.

以3个线性无关向量a1,a2,a3为例.

(1)令b1=a1,

b2=a2-,

b3=a3--.

此时b1,b2,b3是和a1,a2,a3 等价的正交非零向量组.

(2)作h1=b1/‖b1‖,h2=b2/‖b2‖,h3=b3/‖b3‖,则h1,h2,h3是和a1,a2,a3 等价的单位正交向量组.

4. 实对称矩阵的对角化

时A是实对称矩阵,则它的对角化问题有特殊的结论.

A的特征值和特征向量有以下特点:

(1) 特征值都是实数.

(2) 对每个特征值l,其重数=n-r(lE-A).

(3) 属于不同特征值的特征向量互相正交.

于是,我们得出:实对称矩阵可对角化,并且可以用正交矩阵将其对角化.

设A是实对称矩阵,构造正交矩阵Q(使得Q-1AQ是对角矩阵)的步骤:

(1)求出A的特征值;

(2)对每个特征l,求(lE-A)X=0的单位正交基础解系,合在一起得到A的n个单位正交的特征向量;

(3)用它们为列向量构造正交矩阵Q.

例题

1.关于内积和正交矩阵

例1 设a1,a2,…,as是一组两两正交的非零向量,证明它们线性无关.

例2  设A为实矩阵,证明r(ATA)=r(A).

例3  设A为3阶正交矩阵,它的第一行第一列位置的元素是1,又设b=(1,0,0)T,则方程组AX=b的解为　　　　　　．（04四）

例4  设a1,a2,…,as和b1,b2,…,bt是两个线性无关的n维向量组,并且每个ai和bj都正交,证明a1,a2,…,as,b1,b2,…,bt线性无关.

例5  设A为n阶正交矩阵,a和b都是n维实向量,证明:

(1) 内积(a,b)=(Aa,Ab).

(2) 长度‖a‖=‖Aa‖.

2.实对称矩阵的对角化

例6  设3阶实对称矩阵A的特征值为1,1,-1,(0,1,1)T是属于-1的特征向量,求A.(95一)

例7  设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,3,(1,1,-1)T和(-1,2,1)T分别是属于1和2的特征向量,求属于3的特征向量,并且求A.(97三)

例8  设3阶实对称矩阵A的秩为2,又6是它的二重特征值,向量(1,1,0)T和(2,1,1)T和(-1,2,-3)T都是属于6的特征向量.

(1)求A的另一个特征值与相应的特征向量.

(2)求A.(04四)

    参考答案

    例3  (1,0 0).

例6     1  0  0

  0  0 -1  .

        0 -1  0

例7  属于3的特征值:(c,0,c),c不为0.

    13 -2  5

(1/6)-2  10  2  .

        5  2  13

例8 (1) 0, (c,-c,-c),c不为0.

(2)     4  2  2

  2  4 -2  .

        2 -2  4

第七讲  二次型

一. 概念复习

1.基本概念

(1)二次型及其矩阵

n个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为

   f(x1,x2,…,xn)= a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn+             

                      a22x22+2a23x1x3+…+2a1nx1xn+

……………………  

+annxn2 

                =.

它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵

             a11  a12  a13  …  a1n

         A=  a12  a22  a23  …  a2n  ,

                … … … …

a1n  a2n  a2n  …  ann

记X=(x1,x2,…,xn)T,则f(x1,x2,…,xn)= X TAX.

称A为f(x1,x2,…,xn)的矩阵, 称A的秩为f(x1,x2,…,xn)的秩.

注意:二次型的矩阵是对称矩阵,它和二次型是互相决定的.

实二次型  如果二次型的系数都是实数,并且变量x1,x2,…,xn的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.

大纲的要求限于实二次型.

标准二次型  交叉项的系数都为0的二次型,也就是矩阵为对角矩阵的二次型.

规范二次型  形如x12+…+xp2-xp+12…-xp+q2的二次型,它的矩阵是规范对角矩阵:

        Ep  0   0     

            0  -Eq  0  .

0   0   0    

(2)可逆线性变量替换和矩阵的合同关系

对二次型f(x1,x2,…,xn)引进新的变量y1,y2,…,yn,并且把x1,x2,…,xn表示为它们的齐一次线性函数

    x1=c11y1+c12y2+…+c1nyn,

    x2=c21y1+c22y2+…+c2nyn,

      … … … …

    xn=cn1y1+cn2y2+…+cnnyn,

代入f(x1,x2,…,xn)得到y1,y2,…,yn的二次型g(y1,y2,…,yn). 把上述过程称为对二次型f(x1,x2,…,xn)作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵

      c11 c12 … c1n

  C=  c21 c22 … c2n

       … … …

      cn1 cn2 … cnn

是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:

          X=CY.

设f(x1,x2,…,xn)的矩阵为A,则

g(y1,y2,…,yn)=f(x1,x2,…,xn)=X TAX=YTCTACY.

于是g(y1,y2,…,yn)的矩阵为CTAC.

两个n阶对称矩阵A和B,如果存在可逆矩阵C,使得B=CTAC,则称A和B合同.于是

命题  两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的矩阵合同.

2. 二次型的标准化和规范化

(1) 任何二次型都可用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型.

用矩阵的语言来表述即: 任何实对称矩阵A都合同于对角矩阵和规范对角矩阵.

(作正交矩阵Q,使得Q-1AQ=L是对角矩阵.由于Q-1=QT,QTAQ=L. A和L既相似又合同.)

(2) 标准化和规范化的方法

①正交变换法 对二次型的矩阵A, 作正交矩阵Q,使得Q-1AQ=L是对角矩阵,于是可逆线性变量替换X=QY,把原二次型化为标准二次型.

以上变换中变换矩阵Q是正交矩阵,所以称为正交变换.

请注意,由于L=Q-1AQ和A相似,其对角线上的元素是A特征值,因此一般地它只是对角矩阵,不是规范对角矩阵.于是正交变换法只是将二次型标准化,而不是规范化.

②配方法(略,见例).

(3)惯性定理和惯性指数

惯性定理  一个二次型所化得的标准二次型虽然不是唯一的,但是它们的平方项的系数中,正的个数和负的个数是确定的,把这两个数分别称为原二次型的正惯性指数和负惯性指数.  一个二次型所化得的规范二次型在形式上是唯一的,称为其规范形.即其中的自然数p,q就是原二次型的正,负惯性指数.

这个定理用矩阵的语言来表述即:与一个给定的实对称矩阵A合同的规范对角矩阵是唯一的, 即其中的自然数p,q是确定的,称为A的正,负惯性指数.

两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相等.(即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相等.)

由正交变换法看出, 实对称矩阵A的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数.

3.正定二次型和正定矩阵

(1)定义 二次型f(x1,x2,…,xn)称为正定二次型,如果当x1,x2,…,xn不全为时,一定有f(x1,x2,…,xn)＞0.

如果实对称矩阵A所决定的二次型正定,则称A为正定矩阵, 于是A为正定矩阵也就是满足性质:当X¹0时,一定有X TAX＞0.

二次型的正定性是在可逆线性变量替换中保持不变的. 即实对称矩阵的正定性在合同变换时保持不变.

(2)性质与判断

 实对称矩阵A正定Û合同于单位矩阵.

Û存在可逆矩C,使得A=CTC.

ÛA的正惯性指数等于其阶数n.

ÛA的特征值都是正数.

                 ÛA的顺序主子式全大于0.

顺序主子式:一个n阶矩阵有n个顺序主子式,第r个(或称r阶)顺序主子式即A的左上角的r阶矩阵Ar的行列式|Ar|.

判断正定性的方法: 顺序主子式法,特征值法,定义法.

                                   

二.典型例题

1.概念考核题

例1  设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式. 二次型

f(x1,x2,…,xn)=.

(1)用矩阵乘积的形式写出此二次型.

(2) f(x1,x2,…,xn)的规范形和X TAX的规范形是否相同?为什么?(01三)

例2(选择题)设

      1  1  1  1         4  0  0  0

  A=  1  1  1  1  ,  B=  0  0  0  0  ,则

      1  1  1  1         0  0  0  0

      1  1  1  1         0  0  0  0

(A)A与B既合同又相似.

(B) A与B合同但不相似.

 (C) A与B不合同但相似.

(D) A与B既不合同又不相似.

2.化二次型为标准型

例3  用配方法化二次型为标准型

(1) f(x1,x2,x3)= x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3.

(2) f(x1,x2,x3)= x1x2+x1x3+x2x3.

例4  已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32,求a和所作正交变换.(93一)

例5  设二次型

   f(x1,x2,x3)=X TAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3,(b＞0)

其中A的特征值之和为1, 特征值之积为-12.

(1) 求a,b.

(2) 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准型.(03三)

例6  已知二次型

f(x1,x2,x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3

可用正交变换化为6y12.求a,并且作实现此转化的正交变换.(02一)

例7已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.

(1)求a.

(2)求作正交变换X=QY,把f(x1,x2,x3)化为标准形.

(3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解. (20##年数学一)

例8  已知3是矩阵

0  1  0  0

A=   1  0  0  0  ,

     0  0  y  1  

0  0  1  2

的特征值.

(1) 求y.

(2) 求作可逆矩阵P,使得(AP)TAP是对角矩阵.(96三)

3.关于正定的判断

例9  已知二次型

f(x1,x2,x3)=x12+4x22+4x32+2cx1x2-2x1x3+4x2x3.

当c满足什么条件时f(x1,x2,x3) 正定?(91三)

例10 已知二次型

f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2.

a1,a2,…,an满足什么条件时f(x1,x2,…,xn) 正定?(2000三)

例11  已知A是正定矩阵,证明|A+E|＞1.

例12 设   1  0  1

      A=  0  2  0  , B=(A+kE)2.

          1  0  1

(1)求作对角矩阵D,使得B~D.

(2)k满足什么条件时B正定?(98三)

例13  设A和B都是m´n实矩阵,满足r(A+B)=n,证明ATA+BTB 正定.

例14   设A是m阶正定矩阵,B是m´n实矩阵,证明:

    BTAB 正定Ûr(B)=n.(99一)

例15  设A是3阶实对称矩阵,满足A2+2A=0,并且r(A)=2.

(1) 求A的特征值.

(1) 当实数k满足什么条件时A+kE正定?(02三)

 

   例16  设D= A  C 是正定矩阵,其中A,B分别是m,n阶矩阵.记P=  Em –A-1C  .

               CT  B                                           O   En

   (1)求 PTDP .

   (2)判断B-CTA-1C是否正定?说明理由.

参考答案

例1 (1) f(x1,x2,…,xn)= X TA-1X.

(2)相同.

例2  (A)

例4 a=2.

例5 a=1,b=2.

例6  a=2.

例7  (1)a=0.

(3) f(x1,x2,x3)=0的通解为(c,-c,0),c任意.

例8  (1)y=2.

例9  -2

例10 a1a2…an¹(-1)N.

例11 (2)k¹0,-2.

例15 (1)-2,-2,0.

(2)k＞2.   

    例16 (1)     A     0   .

             0 B-CTA-1C    

附录二 向量空间

1. n维向量空间及其子空间

记为Rn由全部n维实向量构成的集合,这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合,我们把它称为n维向量空间.

设V是Rn的一个子集,如果它满足

(1)当a1,a2都属于V时, a1+a2也属于V.

(2)对V的每个元素a和任何实数c,ca也在V中.

(也就是说, V中任意一组元素的任意线性组合仍在V中)则称V为Rn的一个子空间.

例如n元齐次方程组AX=0的全部解构成Rn的一个子空间,称为AX=0的解空间.但是非齐次方程组AX=b的全部解则不构成Rn的子空间.

对于Rn中的一组元素a1, a2,…,as,记它们的全部线性组合的集合为 

       L(a1, a2,…,as)={c1a1+c2a2+…+csas|ci任意},

它也是Rn的一个子空间.

    2.基,维数,坐标

设V是Rn的一个非0子空间(即它含有非0元素),称V的秩为其维数,记作dimV.称V的排了次序的极大无关组为V的基.

例如AX=0的解空间的维数为n-r(A),它的每个有序的基础解系构成基.

又如dimL(a1, a2,…,as)=r(a1, a2,…,as), a1, a2,…,as的每个有序的极大无关组构成基.

设h1,h2,…,hk是V的一个基,则V的每个元素a都可以用h1,h2,…,hk唯一线性表示:

   a=c1h1+c2h2+…+ckhk,

称其中的系数c1,c2,…,ck为a关于基h1,h2,…,hk的坐标,它是一个k维向量.

坐标有线性性质:

(1) 两个向量和的坐标等于它们的坐标的和:

如果向量a和b关于基h1,h2,…,hk的坐标分别为(c1,c2,…,ck)和(d1,d2,…,dk),则a+b关于基h1,h2,…,hk的坐标为(c1+d1,c2+d2,…,ck+dk)=(c1,c2,…,ck)+(d1,d2,…,dk).

(2) 向量的数乘的坐标等于坐标乘数:

如果向量a关于基h1,h2,…,hk的坐标为(c1,c2,…,ck),则ca关于基h1,h2,…,hk的坐标为(cc1,cc2,…,cck)=c(c1,c2,…,ck).

坐标的意义:设V中的一个向量组a1, a2,…,at关于某个基的坐标依次为g1, g2,…,gt,则a1, a2,…,at和g1, g2,…,gt有相同的线性关系.这使得我们可以用坐标来判断向量组的相关性,计算秩和极大无关组等等.

3.过渡矩阵,坐标变换公式

设h1,h2,…,hk和x1,x2,…,xk都是V的一个基,并上设xI在h1,h2,…,hk中的坐标为(c1i,c2i,…,cki),构造矩阵

       c11  c12   …  c1k

   C=  c21  c22   …  c2k    ,

         … … … …

       Ck1  ck2   …  ckk

称C为h1,h2,…,hk到x1,x2,…,xk的过渡矩阵.

可以利用矩阵分解的工具,用矩阵乘法写出过渡矩阵和两个基的关系:

(x1,x2,…,xk)=(h1,h2,…,hk)C.

如果V中向量a在基h1,h2,…,hk和x1,x2,…,xk中的坐标分别为x=(x1,x2,…,xk)T和y=(y1,y2,…,yk)T,即有a=(h1,h2,…,hk)x,并且

a=(x1,x2,…,xk)y=(h1,h2,…,hk)Cy.

于是有坐标变换公式:

x=Cy.

4.规范正交基 

如果V的一个基h1,h2,…,hk是单位正交向量组,则称为规范正交基.

两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积.

两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵.

例  设A是5´4矩阵,r(A)=2,(1,1,2,3),(-1,1,4,-1)和(5,-1,-8,9)都是AX=0的解,求AX=0的解空间的一个规范正交基.,

附录三  两个线性方程组的解集的关系

线性方程组是考研数学卷线性代数部分的重点.不仅要考计算题(求通解),方程组的理论部分也是重要考点.两个线性方程组的解的关系是近年来在试题中已经屡屡涉及到的问题,但是这个问题不仅有关的教材都没有讨论, 一般的辅导材料中也找不到它.下面是对这个问题的一些探讨.

(一)  线性方程组的公共解

如果两个线性方程组(I)和(II)都有n个未知数,则它们的公共解就是既满足(I)又满足(II)的n为维向量.当这两个都已具体给出时,只须将它们联立求解,就得到它们的公共解.问题是:如果其中一个方程组(或两个方程组)只给了通解,没有给出其他形式,怎么来求公共解？

例1(94年的考题)设(I)和(II)都是4元线性方程组,其中(I)为

为    x1+x2=0，

x3-x4=0，h

(II)的一个基础解系为h1=(0,1,1,0),h2=(-1,2,2,1).求(I)和(II)的公共解.

解  一种思路是构造一个线性方程组(III),使得它也以h1,h2为基础解系.于是(III)和(II)同解,从而(I)和(II)的公共解也就是(I)和(III)的公共解,可以解(I)和(III)的联立方程组来求得.例如(III)可以是:

  x2-x3=0,

  x1+x4=0.

这种思路的困难在于构造方程组(III),在考场上不是每个考生都能很顺利完成的.

另一种思路为: (I)和(II)的公共解都必定是(II)的解,因此有c1h1+c2h2的形式.它又满足  (I),由此可决定c1与c2应该满足的条件.具体计算过程:将c1h1+c2h2=(-c2, c1+2c2, c1+2c2,c1)代入(I),得到

 -c2+c1+2c2=0,

c1+2c2-c2=0,

解出c1+c2 =0.即当c1+c2 =0时c1h1+c2h2也是(I)的解. 于是(I)和(II)的公共解为:

c(h1-h2),其中c可取任意常数. ð

例2 设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是4元齐次线性方程组，已知x1=(1,0,1,1),x2= (-1,0,1,0)，x3= (0,1,1,0)是(Ⅰ)的一个基础解系,h1=(0,1,0,1), h2=(1,1,-1,0)是 (Ⅱ) 的一个基础解系．求(Ⅰ)和(Ⅱ)公共解．

解  用例1的第二种思路解.现在(Ⅰ)也没有给出具体形式,因此不能用例1的方法决定为使c1h1+c1h2满足(Ⅰ)，c1与c2应该满足的条件.替代的结论是: c1h1+c1h2满足(Ⅰ) 的充分必要条件为c1h1+c2h2能用x1,x2,x3线性表示,即r(x1,x2,x3,c1h1+c2h2)=r(x1,x2,x3).利用秩来计算:

   1  -1  0    c2      1  0  0    c1

0   0  1   c1+c2  ® 0  1  0   c1-c2      ,

1   1  1   -c2           0  0  1   -2c1  

   1   0  0    c1      0  0  0  3c1+c2

于是当 3c1+c2 =0时c1h1+c2h2也是(I)的解. 从而(I)和(II)的公共解为:

c(h1-3h2),其中c可取任意常数. ð

这两个例子中出现的线性方程组都是齐次的，但是所用的方法稍作修改也可用到非齐次线性方程组上.

例3  设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是4元非齐次线性方程组， (Ⅰ)为

      x1-x2+x3=3,

      x2-x4=t.

(Ⅱ)的通解为x+c1h1+c2h2(c1,c2可取任意常数),其中

x=(1,0,1,0),h1=(0,1,0,2),h2=(1,1,1,0).

已知(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共解,求t和它们的全部公共解.

解  把x+c1h1+c2h2=(1+c2, c1+c2, 1+c2, 2c1)代入(Ⅰ),得到

   c2-c1 =1,

   c2-c1 =t,

于是t=1,(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解为x+ch1+(c+1) h2(c可取任意常数). ð   

例4  设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是3元非齐次线性方程组,(Ⅰ)有通解x1+c1h1+c2h2,(c1,c2可取任意常数), x1=(1,0,1,),h1=(1,1,0),h2=(1,2,1)；(Ⅱ)有通解x2+ch, x2=(0,1,2), h=(1,1,2).求(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解.

解 公共解有x2+ch的形式,它又是(Ⅰ)的解,从而存在c1,c2使得

x2+ch=x1+c1h1+c2h2,

于是x2+ch-x1可用h1,h2线性表示,即r(h1,h2, x2+ch-x1)=r(h1,h2).

          1  1   c-1      1  1   c-1

          1  2   c+1  ®  0  1    2

          0  1  2c+1      0  0   2c-1  ,

得到c=1/2,从而(Ⅰ)和(Ⅱ)有一个公共解x2+h/2=(1/2,3/2,3). ð

下面得出两个齐次线性方程组AX=0和BX=0有公共非零解的充分必要条件:

(1) r  A 

       B

(2)(设BX=0有基础解系 h1,h2,… ,hs)Ah1,Ah2,… ,Ahs线性相关.

(3) (设AX=0和BX=0分别有基础解系g1, g2,… , gk和 h1,h2,… ,hs)向量组 g1, g2,… , gk,

h1,h2,… ,hs线性相关.

(二) 两个线性方程组的解集的包含关系

设(I)和(II) 都是有n个未知数的线性方程组,如果(II)的每个解也都是(I)的解,就说(II)的解集包含在(I)的解集中，记作J(II)ÌJ(I)，这里J(I)和J(II)分别表示(I)和(II)的解集.如果J(I)=J(II),就说这两个方程组同解.问题是:怎样用方程组的系数矩阵和增广矩阵来判别这种包含关系和同解关系?

对于两个n元齐次方程组AX=0和BX=0,同解Þr(A)=r(B)(因为n-r(A)=n-r(B)).

命题  (1)设齐次线性方程组(I)AX=0和(II)BX=0都有n个未知数.则J(II)ÌJ(I)Û

r(B)= r  A  .

            B

(2) 设(I)AX=b 和(II)BX=g是两个n元非齐次线性方程组,则:

(II)有解,并且J(II)ÌJ(I) Ûr(B)=r  A  b .

                                 B    g

证 (1) J(II)ÌJ(I)即(II)和(I)与(II)的联立方程组同解,从而

r(B)= r  A  .

            B

反之,因为(I)与(II)的解, 一定也是(II)的解,所以当

r(B)= r  A 

            B

时, (I)与(II)的联立方程组的基础解系一定也是(II)的基础解系,从而 (I)与(II)的联立方程组和(II)同解,即J(II)ÌJ(I).  

(2)的“Þ”

取定(II)的一个解x,则它也是(I)的解，从而是联立方程组的解.

下面先说明(II)的导出组BX=0的解集包含在(I)的导出组AX=0的解集中:如果 h是BX=0的解,则x+h是(II)的解,从而也是(I)的解,因此h也是AX=0的解.

r A  b =r  A  =r(B).

     B    g      B

    “Ü”条件

    r(B)=r  A  b 

          B    g

说明

r A  b =r  A  =r(B|g)=r(B),

     B    g      B

从而(I)与(II)的联立方程组有解,并且BX=0的解集包含在(I)的导出组AX=0的解集中,从而即J(II)ÌJ(I).

推论  (1) 两个齐次线性方程组AX=0和BX=0同解的充分必要条件:

 r  A  =r(A)=r(B).

       B

(2) 两个n元非齐次线性方程组(I)AX=b 和(II)BX=g都有解,并且同解的充分必要条件:

r A  b =r(A)=r(B).

     B    g    

例5(98年考研题) 已知方程组

           x1+mx2-x3- x4=-5            x1 +x2  -2x4 =-6

  (Ⅰ)      nx2-x3-2x4=-11  (Ⅱ)      4x1-x2-x3-x4=1

                  x3-2x4=1-t          3x1-x2-x3     =3

同解，求m，n，t．

解  方法一  思路:求出(Ⅱ)的一个解,使得它的第二个分量不为0(为什么?请读者思考),代入(Ⅰ)的各个方程,决定m，n，t的值.

1  1  0  2  -6     1  1  0   2  -6      1  0  0   1  -2

4  -1  -1  -1     1   ®   0    1    0      1    -4    ®   0    1    0      1    -4

3  -1  -1   0      3          0    0   -1   -2  -5      0    0   1      2    -5  ,

(-2,-4,-5,0)是(Ⅱ)的一个解,代入(Ⅰ)的各个方程,求出

m=2,n=4,t=6.

方法二 思路:利用命题的结果,方程组(I)的增广矩阵的行向量组可以用方程组(I)的增广矩阵的行向量组线性表示,于是可通过计算秩来决定m，n，t．

1  4  3   1  0   0       1  4  3   1  0   0

1 -1 -1   m  n   0       0  1  1   1  1  -1

0 -1 -1  -1 -1   1  ®   0  0  1   6  9  -5

-2 -1  0  -1 -2 –2       0  0  0  m-2 n-4 0

-6  1  3  -5 -11 1-t      0  0  0   0  0 t-6  ,

得m=2,n=4,t=6.ð

    注:方法二按理还应该验证两个方程组都有解,但在考试中不做验证不算问题,并且秩的计算中也可看出(Ⅱ)有解.

附录四  06,07年考题

06年考题

数学一

(5)设矩阵A= 2  1   ,E为2阶单位矩阵, 2阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=(   ).

          -1  2

(11)设a1,a2,…,as 都是n维向量，A是m´n矩阵，下列选项中正确的是（  ）.

(A) 若a1,a2,…,as线性相关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性相关.

(B) 若a1,a2,…,as线性相关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关.

(C) 若a1,a2,…,as线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性相关.

(D) 若a1,a2,…,as线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关.

(12)设A是3阶矩阵,将A的第2行加到第1行上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记   1  1  0

      P=  0  1  0  ,则

          0  0  1

(A) C=P-1AP.

(B) C=PAP-1.

(C) C=PTAP.

(D) C=PAPT.

(20)已知非齐次线性方程组

                      x1+x2+x3+x4=-1,

          4x1+3x2+5x3-x4=-1，

            ax1+x2+3x3+bx4=1

有3个线性无关的解.

① 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.

② 求a,b的值和方程组的通解.  

(21) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量a1=(-1,2,-1)T, a2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.

① 求A的特征值和特征向量.

② 求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得

    Q TAQ=L.

数学二

(6)设矩阵A= 2  1   ,E为2阶单位矩阵, 2阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=(   ).

          -1  2

(13)设a1,a2,…,as 都是n维向量，A是m´n矩阵，下列选项中正确的是（  ）.

(A) 若a1,a2,…,as线性相关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性相关.

(B) 若a1,a2,…,as线性相关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关.

(C) 若a1,a2,…,as线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性相关.

(D) 若a1,a2,…,as线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关.

(14) 设A是3阶矩阵,将A的第2行加到第1行上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记   1  1  0

      P=  0  1  0  ,则

          0  0  1

(A) C=P-1AP.

(B) C=PAP-1.

(C) C=PTAP.

(D) C=PAPT.

(22) 已知非齐次线性方程组

                      x1+x2+x3+x4=-1,

          4x1+3x2+5x3-x4=-1，

            ax1+x2+3x3+bx4=1

有3个线性无关的解.

① 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.

② 求a,b的值和方程组的通解.  

(23) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量a1=(-1,2,-1)T, a2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.

① 求A的特征值和特征向量.

② 求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得

    Q TAQ=L.

数学三

(4)设矩阵A= 2  1   ,E为2阶单位矩阵, 2阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=(   ).

          -1  2

(12) a1,a2,…,as 都是n维向量，A是m´n矩阵，下列选项中正确的是（  ）.

(A) 若a1,a2,…,as线性相关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性相关.

(B) 若a1,a2,…,as线性相关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关.

(C) 若a1,a2,…,as线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性相关.

(D) 若a1,a2,…,as线性无关,则Aa1,Aa2,…,Aas线性无关.

(13) 设A是3阶矩阵,将A的第2行加到第1行上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记   1  1  0

      P=  0  1  0  ,则

          0  0  1

(A) C=P-1AP.

(B) C=PAP-1.

(C) C=PTAP.

(D) C=PAPT.

(20) 设 a1=(1+a,1,1,1),a2=(2,2+a,2,2),  a3=(3,3,3+a,3), a4=(4,4,4,4+a).问a为什么数时a1,a2,a3,a4线性相关?在a1,a2,a3,a4线性相关时求其一个极大线性无关组,并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出.

(21) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量a1=(-1,2,-1)T, a2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.

① 求A的特征值和特征向量.

② 求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得

    Q TAQ=L.

③ 求A及[A-(3/2)E]6.

数学四

(4) 已知a1,a2为2维列向量,矩阵A=(2a1+a2, a1-a2),B=(a1, a2).若|A|=6,则|B|=(   ).

(5)设矩阵A= 2  1   ,E为2阶单位矩阵, 2阶矩阵B满足BA=B+2E,则B=(   ).

          -1  2

 (12) 设A是3阶矩阵,将A的第2行加到第1行上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记   1  1  0

      P=  0  1  0  ,则

          0  0  1

(A) C=P-1AP.

(B) C=PAP-1.

(C) C=PTAP.

(D) C=PAPT.

(20) 设 a1=(1+a,1,1,1),a2=(2,2+a,2,2),  a3=(3,3,3+a,3), a4=(4,4,4,4+a).问a为什么数时a1,a2,a3,a4线性相关?在a1,a2,a3,a4线性相关时求其一个极大线性无关组,并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出.

(21) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量a1=(-1,2,-1)T, a2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.

① 求A的特征值和特征向量.

② 求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得

    Q TAQ=L.

③ 求A及[A-(3/2)E]6.

07年考题

1．设 a1，a2，a3线性无关，则(    )线性相关：

A.a1-a2，a2-a3，a3-a1；            

B.a1+a2，a2+a3， a3+a1；

C. a1-2a2，a2-2a3，a3-2a1；

D.a1+2a2， a2+2a3，a3+2a1．

2．设

      2  -1  -1           1  0  0 

  A=  -1  2  -1   ,  B=  0  1  0    ,则

      -1  -1  2          0  0  0

A.A与B既合同又相似.

B. A与B合同但不相似.

C. A与B不合同但相似.

D. A与B既不合同又不相似.

3．设

      0  1  0  0      

  A=  0  0  1  0  , 则A3的秩为       .

      0  0  0  1     

0    0  0  0  

4. 已知方程组

      x1+x2+x3=0,      

    x1+2x2+ax3=0,   和  x1+2x2+x3=a-1有公共解,求a和全部公共解.

x1+4x2+a2x3=0

5.3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,-2, a1=(1,-1,1)T是A的属于1的特征向量.记

B=A5-4A4+E.

(1)验证a1也是B的特征向量.

(2)求B的特征值和特征向量.

(3) 求B.