线性代数知识点

 

1、行列式

1.         行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.         代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.         代数余子式和余子式的关系：

4.         设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.         行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6.         对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

7.         证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.         是阶可逆矩阵：

（是非奇异矩阵）；

（是满秩矩阵）

的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组有非零解；

，总有唯一解；

与等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积；

的特征值全不为0；

是正定矩阵；

的行（列）向量组是的一组基；

是中某两组基的过渡矩阵；

2.         对于阶矩阵： 无条件恒成立；

3.        

4.         矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.         关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：

若，则：

Ⅰ、；

Ⅱ、；

②、；（主对角分块）

③、；（副对角分块）

④、；（拉普拉斯）

⑤、；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.         一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；

等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵、，若；

2.         行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3.         初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、  若，则可逆，且；

②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；

③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；

4.         初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；

③、对调两行或两列，符号，且，例如：；

④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；

⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；

5.         矩阵秩的基本性质：

①、；

②、；

③、若，则；

④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、；（※）

⑥、；（※）

⑦、；（※）

⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）

       Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；

       Ⅱ、

⑨、若、均为阶方阵，则；

6.         三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

②、型如的矩阵：利用二项展开式；

       二项展开式：；

       注：Ⅰ、展开后有项；

Ⅱ、

Ⅲ、组合的性质：；

③、利用特征值和相似对角化：

7.         伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩：；

②、伴随矩阵的特征值：；

③、、

8.         关于矩阵秩的描述：

①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）

②、，中有阶子式全部为0；

③、，中有阶子式不为0；

9.   线性方程组：，其中为矩阵，则：

①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；

②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；

10.     线性方程组的求解：

①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

11.     由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：

①、；

②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）

③、（全部按列分块，其中）；

④、（线性表出）

⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1.         个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；

个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2.         ①、向量组的线性相关、无关    有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出          是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示    是否有解；（矩阵方程）

3.         矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)

4.         ；(例15)

5.         维向量线性相关的几何意义：

①、线性相关          ；

②、线性相关       坐标成比例或共线（平行）；

③、线性相关  共面；

6.         线性相关与无关的两套定理：

若线性相关，则必线性相关；

若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：

若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7.         向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则；

向量组能由向量组线性表示，则；

向量组能由向量组线性表示

有解；

       向量组能由向量组等价

8.         方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；

①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解

②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；

③、矩阵等价：（、可逆）；

9.         对于矩阵与：

①、若与行等价，则与的行秩相等；

②、若与行等价，则与同解，与的任何对应的列向量组有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵的行秩等于列秩；

10.     若，则：

①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；

②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）

11.     齐次方程组的解一定是的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明】

①、 只有零解只有零解；

②、   有非零解一定存在非零解；

12.     设向量组可由向量组线性表示为：

（）

       其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：；充分性：反证法）

       注：当时，为方阵，可当作定理使用；

13.     ①、对矩阵，存在，   、的列向量线性无关；

②、对矩阵，存在，     、的行向量线性无关；

14.  线性相关

存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）

有非零解，即有非零解；

，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15.     设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；

16.     若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；

5、相似矩阵和二次型

1.         正交矩阵或（定义），性质：

①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；

②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；

③、若、正交阵，则也是正交阵；

       注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2.         施密特正交化：

；

    ;

3.         对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4.         ①、与等价   经过初等变换得到；

，、可逆；

，、同型；

②、与合同   ，其中可逆；

                            与有相同的正、负惯性指数；

③、与相似   ；

5.         相似一定合同、合同未必相似；

若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

6.         为对称阵，则为二次型矩阵；

7.         元二次型为正定：

的正惯性指数为；

与合同，即存在可逆矩阵，使；

的所有特征值均为正数；

       的各阶顺序主子式均大于0；

       ；(必要条件)

第一章

随机事件

互斥对立加减功，条件独立乘除清；

全概逆概百分比，二项分布是核心；

必然事件随便用，选择先试不可能。

第二、三章

一维、二维随机变量

1）离散问模型，分布列表清，边缘用加乘，条件概率定联合，独立试矩阵

2）连续必分段，草图仔细看，积分是关键，密度微分算

3）离散先列表，连续后求导；分布要分段，积分画图算

第五、六章

数理统计、参数估计

正态方和卡方出，卡方相除变F，

若想得到t分布，一正n卡再相除。

样本总体相互换，矩法估计很方便；

似然函数分开算，对数求导得零蛋；

区间估计有点难，样本函数选在前；

分位维数惹人嫌，导出置信U方甜。

第七章

假设检验

检验均值用U-T，分位对称别大意；

方差检验有卡方，左窄右宽不稀奇；

不论卡方或U-T，维数减一要牢记；

代入比较临界值，拒绝必在否定域！

 

第二篇：考研线性代数知识点归纳

1、行列式

1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)i?jAijAij?(?1)i?jMij

4. 设n行列式D：

n(n?1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1?(?1)

2

D； n(n?1)将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2?(?1)2

D；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D；

将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D； 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n?1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)

2

；

③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； n(n?1)④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)2

；

⑤、拉普拉斯展开式：

AO?AB、

C

AC

B?ACOB

BO

?O

ABC

?(?1)mnAB

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

n

6. 对于n阶行列式A，恒有：?E?A??n

??(?1)kSkk?n?，其中Sk为k阶主子式；k?17. 证明A?0的方法：

①、A??A； ②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.

A是n阶可逆矩阵：

?A?0（是非奇异矩阵）；

?r(A)?n（是满秩矩阵） ?A的行（列）向量组线性无关；

?齐次方程组Ax?0有非零解； ??b?Rn，Ax?b总有唯一解；

1

?A与E等价；

?A可表示成若干个初等矩阵的乘积；

?A的特征值全不为0；

?ATA是正定矩阵；

?A的行（列）向量组是Rn的一组基；

?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE 无条件恒成立；

3. (A?1)*?(A*)?1

(AB)T?BTAT(A?1)T?(AT)?1(AB)*?B*A*(A*)T?(AT)* (AB)?1?B?1A?1

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

?A1?

若A?????A2???，则： ??As?

Ⅰ、A?A1A2?A1?1?

?1Ⅱ、A??????

?1As； ?1A2???； ??As?1??O?；（主对角分块） ?1?B??A?1?AO?②、????OB???O

?O?OA?③、?????1?BO??A

?A?1?AC?④、?????OB??O

?1?1?1B?1??；（副对角分块） O??A?1CB?1??；（拉普拉斯） ?1B?O??；（拉普拉斯） B?1??A?1?AO?⑤、?????1?1?CB???BCA

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F???Er

?OO??； O?m?n

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????AB；

2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若(A?,?E)??(E?,?X)，则A可逆，且X?A?1；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A?1B，即：(A,B)???(E,A?1B)； ③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且x?A?1b；

4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

2 rrc

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ??1?

②、???

???

?2

??

?，左乘矩阵A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列元素；

ii

???n?

?1

?1??1?

???

③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)?1?E(i,j)，例如：??1???1?；

??1?1?????

?1?1?1??

11???1

④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))?E(i())，例如：?k???

?kk??1???

?

?1

??

?(k?0)； ?1??

k??k??1?1

???

⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))?1?E(ij(?k))，如：??1???1?(k?0)；

??1?1?????

5. 矩阵秩的基本性质：

①、0?r(Am?n)?min(m,n)；

②、r(AT)?r(A)；

③、若AB，则r(A)?r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※） ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※） ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A)?r(B)?n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

?1ac?

?

②、型如?01b??的矩阵：利用二项展开式；

?001???

0nn?11

a?C1b?二项展开式：(a?b)n?Cnnamn?mm

?Cnab?

n?11n?1nnmmn?m

?Cnab?Cnb??Cnab；

m?0

n

注：Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项；

n(n?1)(n?m?1)n!

?

123mm!(n?m)!

0n

Cn?Cn?1

n

Ⅱ、Cnm?

mn?m

Ⅲ、组合的性质：Cn?Cnmmm?1

Cn ?1?Cn?Cn

?C

r?0

r

n

?2n

rr?1rCn?nCn?1；

③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：

?n

?

①、伴随矩阵的秩：r(A*)??1

?0?

r(A)?n?????r(A)?n?1； r(A)?n?1

3

②、伴随矩阵的特征值：

③、A*?AA?1、A*?AA???(AX??X,A*?AA?1???A*X?A?X)； n?1

8. 关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话） ②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；

9. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程； ②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程；

10. 线性方程组Ax?b的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

?a11x1?a12x2??a1nxn?b1????ax?ax??ax?b????2nn2①、?211222；

???am1x1?am2x2??anmxn?bn

?a11?a②、?21

???am1a12a22am2a1n??x1??b1??????a2n??x2??b2???Ax?b（向量方程，A为m?n矩阵，m个方程，n个未知数） ??????????amn??xm??bm?

?x1??b1?????xb2an?????（全部按列分块，其中???2?）； ????????x?n??bn??anxn??（线性表出） ③、?a1a2④、a1x1?a2x2?

⑤、有解的充要条件：r(A)?r(A,?)?n（n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1. m个n维列向量所组成的向量组A：?1,?2,,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,,?m)；

Tm个n维行向量所组成的向量组B：?1T,?2,??1T??T??T构成m?n矩阵B??2?； ,?m?????T???m?

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组）

?Ax?b是否有解；（线性方程组） ②、向量的线性表出

?AX?B是否有解；（矩阵方程） ③、向量组的相互线性表示

3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解；(P101例14) 4.

5. r(ATA)?r(A)；(P101例15)

n维向量线性相关的几何意义：

???0； ①、?线性相关

②、?,?线性相关 ??,?坐标成比例或共线（平行）；

4

③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面；

6. 线性相关与无关的两套定理：

若?1,?2,,?s线性相关，则?1,?2,,?s,?s?1必线性相关；

若?1,?2,,?s线性无关，则?1,?2,,?s?1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r?s(二版P74定理7)；

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)?r(B)；（P86定理3） 向量组A能由向量组B线性表示

?AX?B有解； ?r(A)?r(A,B)（P85定理2）

向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B)（P85定理2推论）

Pl；

8. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl，使A?P1P2

r

①、矩阵行等价：A~B?PA?B（左乘，P可逆）?Ax?0与Bx?0同解

②、矩阵列等价：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）； 对于矩阵Am?n与Bl?n：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax?0与Bx?0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 若Am?sBs?n?Cm?n，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解；

②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解；

设向量组Bn?r:b1,b2,,br可由向量组An?s:a1,a2,,as线性表示为：（P110题19结论）

(b1,b2,

,br)?(a1,a2,

,as)K（B?AK）

c

9.

10.

11.

12.

其中K为s?r，且A线性无关，则B组线性无关?r(K)?r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：r?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r；充分性：反证法）

注：当r?s时，K为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵Am?n，存在Qn?m，AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量线性无关；（P87） ②、对矩阵Am?n，存在Pn?m，PA?En ?r(A)?n、P的行向量线性无关； 14. ?1,?2,,?s线性相关

?存在一组不全为0的数k1,k2,,ks，使得k1?1?k2?2??ks?s?0成立；（定义）

?x1???x

,?s)?2??0有非零解，即Ax?0有非零解；

?????xs?

,?s)?s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

?(?1,?2,

?r(?1,?2,

15. 设m?n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax?0的解集S的秩为：r(S)?n?r；

16. 若?*为Ax?b的一个解，?1,?2,,?n?r为Ax?0的一个基础解系，则?*,?1,?2,,?n?r线性无关；（P111题

33结论）

5

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵?ATA?E或A?1?AT（定义），性质： ①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aT?j

iaj???1i

?0i?j(i,j?1,2,n)；

②、若A为正交矩阵，则A?1?AT也为正交阵，且A??1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；

注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2. 施密特正交化：(a1,a2,,ar)

b1?a1；

b2]

2?a2?[b1,a

[b]b1 1,b1

b[b1,ar]

r?ar?b[b,ar]?[br?1,ar][b1?2]b2?

1,b1][b2,b2[bbr?1; r?1,br?1]

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B；

?PAQ?B，P、Q可逆；

?r(A)?r(B)，A、B同型；

②、A与B合同 ?CTAC?B，其中可逆；

?xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 ?P?1AP?B；

5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTAC?B?AB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A为对称阵，则A为二次型矩阵；

7. n元二次型xTAx为正定：

?A的正惯性指数为n；

?A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC?E； ?A的所有特征值均为正数；

?A的各阶顺序主子式均大于0；

?aii?0,A?0；(必要条件)

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