计算问题

一、尾数法——答案尾数不一样

1加减法——直接尾数加减 2乘除法——除法化除为乘

3指数次幂——底数保留各位，指数除以4保留余数（余数为0变成4）（1，2，3，4）

例子：a的n次幂尾数？a——尾数字，n——n/4余数（余数0变4）

2012的2000次方尾数？2012——2，2000——2000/4余数0——4，2的4次方=16，尾数6

注意：“尾数的和”与“和的尾数”的区别

二、公因数

1加减乘法——提取公因数

2除法——消除公因数

常见3因子和9因子——答案能被3整除

例子：

已知3个质数的倒数和为671/1022，求3个质数的和？

解：3个质数abc，1/a+1/b+1/c=(bc+ac+ab)/abc=671/1022，1022——abc中有偶数，质数a=2，bc=511——511+2(b+c)=671——b+c=80——82

三、列项——分数相加，分母——因数相乘

1/(a*b)=[(1/a)-(1/b)]/(b-a)

a2-b2=(a+b)(a-b)——1/(a2-b2)+1/(b2-c2)??

例子1/42+1/56+1/72+1/90+1/110

=1/(6*7)+1/(7*8)+1/(8*9)+1/(9*10)+1/(10*11)

=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11

=1/6-1/11

=5/66

四、整体代换——存在相同加减项，答案单一

例子（1+1/2+/1/3+1/4)*(1/2+1/3+1/4+1/5)-(1+1/2+1/3+1/4+1/5)*(1/2+1/3+1/4)=?

解：1/2+1/3+1/4=a，1/2+1/3+1/4+1/5=b

(1+a)*b-(1+b)*a=(b+ab)-(a+ab)=b-a=1/5

例子1235*6788-1234*6789——（1大2小—1小2大）=2小—1小

五、定义运算——N个数的和

连续自然数a1，an=a1+(n-1)， Sn=[(a1+a1+n-1)*n]/2，Sn=na1+[n(n-1)*d/2](等差数列)

六、函数运算——化简法，赋值法，公式（a+b)2=a2+2ab+b2

韦达定理：ab=3/4，a+b=2——a和b是4x2-8x+3=0的两个根，x2-2x+3/4=0

七、其他

尾数法，首数法，赋值法（特殊值），代入法，放缩法

1求尾数

例：1998的1999次方+1999的1998次方，尾数（3）

解释：8的1999次方，8，4,2,6,8，4个一轮，1998的1999次方尾数2

9的1998次方，9,1,9,1 ，2个一轮，1999的1998次方尾数1

2利用公式1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

1/(12*13)+1/(13*14)+?+1/(19*20)=1/12-1/13+1/13-1/14+?+1/19-1/20=1/12-1/20=5/60-3/60=

3例：5个相异正整数的平均数15，中位数，18，5个数中最大数的最大值可能为（35）

15*5=75 1,2,18 （19）（75-1-2-18-19=35）

4看答案，倍数约数

例：2人一个小碗，3人一个中碗，4人一个大碗，65个碗，多少人？（60人）

A50 B60 C65 D75

解释：X/2+X/3+X/4=65 X是2，3，4的最大公倍数12

数学运算之尾数计算法专题

自然数N次方的尾数变化情况

2n是以“4”为周期变化的，分别为2，4，8，6。。。。。。

3n是以“4”为周期进行变化的，分别为3，9，7，1。。。。。。

7n是以“4”为周期进行变化的，分别为7，9，3，1。。。。。。

8n是以“4”为周期进行变化的，分别为8，4，2，6。。。。。。

4n是以“2”为周期进行变化的，分别为4，6。。。。。。

9n是以“2”为周期进行变化的，分别为9，1。。。。。。

5n、6n尾数不变。

【例1】2*2007+3*2007+4*2007+5*2007+6*2007+7*2007+8*2007+9*2007的值的个数为是多少?

【解析】原式的个位数等价于2*3+3*3+4*1+5+6+7*3+8*3+9=4.

【例2】1!+2!+3!+4!+5!+??1000!尾数是几?

【解析】5!为0，5以后的数的!都为0，所以我们要算这个数的尾数，只算1!，2!，3!，4!就可以了，1!的尾数为1，2!的尾数为2，3!的尾数为6，4!的尾数为4，所以该式的尾数为(1+2+6+4=13=3。

凑整计算法是简便运算中最常用的计算方法，也就是根据交换规律、结合规律把可以凑成10、20、30、50、100、1000?的相对方便计算的数放在一起运算，从而提高运算速度。

学习凑整计算法，我们首先必须掌握一些最基本的凑整算式，具体如下：

5×2=10

25×4=100

25×8=200

25×16=400

125×4=500

125×8=1000

125×16=2000

625×4=2500

625×8=5000

625×16=10000

??

【例题1】0.0495×2500+49.5×2.4+51×4.95=( )(20xx年中央A类真题)

A. 4.95 B.49.5 C. 495 D. 4950

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【例题2】274+135+326+265=( )

【答案及解析】

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【例题3】1986+2381

【答案及解析】

原式=2000-14+2381

=2000+2381-14

=6381-14=6367

间接利用补数法巧算，假如两个加数没有互补关系，可以间接利用补数进行加法巧算。

【例题4】34.16+47.82+53.84+64.18=( )。

A.198 B.200 C.201 D.203

【答案及解析】B。这是一个“聚10”相加法的典型例题，所谓“聚10”相加法，即当有几个数字相加时，利用加法的交换律与结合律，将加数中能聚成“10”

或“10”的倍数的加数交换顺序，先进行结合，然后再把一些加数相加，得出结果。或者改变运算顺序，将相加得整十、整百、整千的数先结合相加，再与其它数相加，得出结果。这是一种运用非常普普遍的巧算方法，这道题目中四个数字都是由整数部分和小数部分组成。因而可以将此题分成整数部分和小数部分两部分来考虑。若只看整数部分，第二个数与第三个数之和正好是100，第一个数与第四个数之和正好是98，再看小数部分，第一个数的0.16与第三个数的0.84的和正好为1，第二个数的0.82与第四个数的0.18之和也正好为1，因此，总和是整数部分加上小数部分，即100+98+1+1=200。故选B。

【例题5】4023+98+397=( )

A.4418 B.4518 C.4520 D.4618

【答案及解析】B。这是一道“加整减零”的典型题。所谓加整减零是指，如果加数是接近整千，整百，整十的数，可以先加上整千，整百，整十的数，再减去多加了的数;减整加零则是指：如果减数接近整千，整百，整十的数，可以先减去整千，整百，整十的数，再加上多减了的数。通过观察，我们会发现，98，和397接近整数，这样，可采用“加整减零”法进行快速运算，可知B项为正确答案。

【例题6】125×437×32×25=( )

A.43700000 B.87400000 C.87455000 D.43755000

数学运算之因式分解专题

要点提示：提取公因式进行简化计算是一个最基本的四则运算方法，但一定要注意提取公因式时的公因式选择的问题。

【例1】计算999999×777778+333333×666666

方法一：原式=333333×3×777778+333333×666666

=333333×(3×777778+666666)

=333333×(2333334+666666)

=333333×3000000

=999999000000

方法二：原式=999999×777778+333333×3×222222

=999999×777778+999999×222222

=999999×(777778+222222)

=999999×1000000

=999999000000

评：方法一和方法二在公因式的选择上有所不同，导致计算的简便程度不相同。

【例2】1235×6788与1234×6789的差值是：

A.5444 B.5454 C.5544 D.5554 (20xx年中央真题)

解析：原式=1235×6788-1234×6788-1234

=6788×(1235-1234)-1234

=6788-1234

=5554

【例3】2745×1962-2746×1961的值是：

A.674 B.694 C.754 D.784 (20xx年浙江真题)

解析：原式=2745-1761

=784

所以，答案为D。

重复数字的因式分解

核心提示：重复数字的因式分解在公考中是一个重要考点，这个考点是建立在数字构造具有一定规律和特点的基础上的。

例如：2424=24×101，101101=101×1001，2230223=22302230/10=2230×10001/10=223×10001。这些在数字构造上具有一定特点的数字都可以变换成因式相乘的形式。

【经典例题】

1.2002×20032003-2003×20022002=?

原式=2002×2003×10001-2003×2002×10001=0

2.9039030÷43043=?

原式=903×1001×10÷(43×1001)=210

3.37373737÷81818181=?

原式=(37×1010101)÷(81×1010101)=37/81

数学运算之数的分解与拆分专题

数的拆分问题是公务员考试常考的题型之一，考察对数的基本特性的掌握，通常此类问题都比较灵活。一般来说此类问题整体难度不大，不过像考试中常用的代入法等在此将不再实用，故掌握方法就变得特别重要。

1.分解因式型：就是把一个合数分解成若干个质数相乘的形式。运用此方法解题首先要熟练掌握如何分解质因数，还要灵活组合这些质因数来达到解题的目的。

【例1】三个质数的倒数之和为a/231 ，则a=( )

A.68 B.83 C.95 D.131

【解析】将231分解质因数得231=3×7×11，则 1/3+1/7 +1/11 =131/231 ，故a=131。

【例2】 四个连续的自然数的积为3024，它们的和为( )

A.26 B.52 C.30 D.28

【解析】分解质因数：3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9，所以四个连续的四个自然数的和为6+7+8+9=30。

【例3】20^n是2001*2000*1999*1998*??*3*2*1的因数，自然数n最大可能是多少?

A 499 B500 C 498 D501

【解析】20^n=5*2*2的N次方，显然2001*2000*1999*1998*??*3*2*1中，能分解出来的2个个数要远远大于5的个数，所以2001*2000*1999*1998*??*3*2*1中最多能分解多少个5也就是N的最大值，由此计算所求应为【2001÷5】+【2001÷25】+【2001÷125】+【2001÷625】=400+80+16+3=499。 注：【】取整数部分。

2.已知某几个数的和，求积的最大值型：

基本原理：a2+b2≧2ab，(a，b都大于0，当且仅当a=b时取得等号)推 论：a+b=K(常数)，且a，b都大于0，那么ab≦((a+b)/2)2，当且仅当a=b时取得等号。此结论可以推广到多个数的和为定值的情况。

【例1】3个自然数之和为14，它们的的乘积的最大值为( )

A.42 B.84 C.100 D.120

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若使乘积最大，应把14拆分为5+5+4，则积的最大值为5×5×4=100。也就是说，当不能满足拆分的数相等的情况下，就要求拆分的数之间的差异应该尽量的小，这样它们的乘积才能最大，这是做此类问题的指导思想。下面再举一列大家可以自己体会.

【例2】将17拆分成若干个自然数的和，这些自然数的乘积的最大值为( )A.256 B.486 C.556 D.376

【解析】以下内容需要回复才能看到 开通VIP,拥有隐藏帖子免回复特权!不用回复也能看! 将17拆分为17=3+3+3+3+3+2时，其乘积最大，最大值为 ×2=486。

3. 排列组合型: 运用排列组合知识解决数的分解问题。要求对排列组合有较深刻的理解，才能达到灵活运用的目的。

【例1】有多少种方法可以把100表示为(有顺序的)3个自然数之和?( )

A.4851 B.1000 C.256 D.10000

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插板法：100可以想象为100个1相加的形式，现在我们要把这100个1分成3份，那么就相等于在这100个1内部形成的99个空中，任意插入两个板，这样就把它们分成了三个部分。而从99个空任意选出两个空的选法有：C992=99×98/2=4851(种);故选A。

(注：此题没有考虑0已经划入自然数范畴，如果选项中出现把0考虑进去的选项，建议选择考虑0的那个选项。)

【例2】 学校准备了1152块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法?

A.1152 B.384 C.28 D.12

【解析】本题实际上是想把1152分解成两个数的积。

1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36，故有12种不同的拼法。

解法二：(用排列组合知识求解)

由1152=27×32，那么现在我们要做的就是把这7个2和2个3分成两部分，当分配好时，那么长方形的长和宽也就固定了。

具体地： 1)当2个3在一起的时候，有8种分配方法(从后面有0个2一直到7个2); 2)当两个3不在一起时，有4种分配方法，分别是一个3后有0，1，2，3个2。故共有8+4=12种。

解法三：若1152=27×32，那么1152的所有乘积为1152因数的个数为(7+1)×(2+1)=24个，每两个一组，故共有24÷2=12组。

【例1】将450分拆成若干连续自然数的和，有多少种分拆办法?

A9 B8 C7 D10

【解析】整数分拆(严格地讲是自然数分拆)形式多样，解法也很多。

下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。 那么什么是“中间数”呢?其实这里的“中间数”也就是平均数。有的“中间数”是答数中的一个，如：1、2、3、4、5中的“3”便是;也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数，并且是某个数的一半。

一、 把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。

例1、把2000分成25个连续偶数的和，这25个数分别什么?

分析与解：这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数：2000÷25=80，那么80的

左边有12个数，右边也有12个数，再加上80本身，正好是25个数，我们又知相邻两个偶数相差2，那么这25个偶数中最小的便为：80—12×2=56，最大的为：80+12×2=104，故所求的这25个数为：56、

58、???、80、???、102、104。

例2、把105分成10个连续自然数的和，这10个自然数分别是多少?

分析与解：我们仿照例1的办法先求中间数：105÷10=10.5，“10.5”这个数是小数，并不是自然数，很明显“10.5”不是所求的数中的一个，但我们可以把10.5“虚拟”为所求的数中的一个，这样也就是10.5左边有5个数，右边也有5个数，距离10.5最近的分别是10、11，这10个数分别是：6、7、8、9、

10、(10.5)、11、12、13、14、15。

二、 把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。

例3、84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种?分别是多少?

分析与解：我们先把84分解质因数，84=2×2×3×7由分解式可以看出，84的不同质因数有2、3、7，这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和，但是我们必须明确，有的个数是不符合要求的，例如把84分拆成2个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为3、7、8(2×2×2)个连续自然数的和。 分拆为3个连续自然数的和：(2×2×3×7)÷3=28 ，确定了“中间数”28，再依据例2的方法确定其它数，所以这三个数是27、28、29。 同理，分拆为7个连续自然数的和：(2×2×3×7)÷7=12 ，它们是9、10、11、12、13、14、15。 分拆为8(2×2×2)个连续自然数的和：(2×2×3×7)÷8=10.5 ，它们是7、8、9、10、(10.5)、11、12、13、14。其它情况均不符合要求。 再将此题引伸一步，怎样判断究竟有几种分拆方式呢?就84而言，它有三种分拆方法，下面我们看84的约数有：1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84。其中大于1的奇约数恰有三个。于是可以得此结论：若一个整数(0除外)有n个大于1的奇约数，那么这个整数就有n种分拆成2个或2个以上连续自然数的和的方法。

450=2*3*3*5*5，大于1的奇约数为3，5，9，15，25，45，75，225一共8个，则共有8种拆分方法。

数学运算之数的整除性专题

1、数的整除性质：

(1)对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。

(2)传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

(2) 若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。

(3) 几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。

(4) 若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。

(5) 若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。

(6) 若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

2、数的整除特征：一个数要想被另一个数整除，该数需含有对方所具有的质数因子。

(1)1与0的特性： 1是任何整数的约数，0是任何非零整数的倍数。

(2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

(3)若一个整数的数字和能被3(9)整除，则这个整数能被3(9)整除。

(4) 若一个整数的末尾两位数能被4(25)整除，则这个数能被4(25)整除。

(5)若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

(6)若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

(7)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

(8)若一个整数的末尾三位数能被8(125)整除，则这个数能被8(125)整除。

(9)若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

(10)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。(不够减时依次加11直至够减为止)。11的倍数检验法也可用上述检查7的(割尾法)处理，过程唯一不同的是：

倍数不是2而是1。

(11)若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

(12)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

一个三位以上的整数能否被7(11或13)整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差(以大减小)能否被7(11或13)整除。

另法：将一个多位数从后往前三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差若被7(11或13)整除，则原多位数也被7(11或13)整除。

(13)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

(14)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。

(15)若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

(16)若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

(17)若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。 例题1.(20xx年中央第60题)

有一食品店某天购进了6箱食品，分别装着饼干和面包，重量分别为8、9、16、20、22、27公斤。该店当天只卖出一箱面包，在剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍，则当天食品店购进了( )公斤面包。

A.44 B.45

C.50 D.52

【解析】本题是整除运算题目。由题意可知，6箱食品共重102公斤，设卖出的一箱面包为x公斤，又由于剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍，所以(102-x)应是3的倍数，并且(102-x)÷3应是其余5箱中一箱的重量或几箱重量的和。只有当x=27时符合条件，此时共有面包27+(102-27)÷3=52公斤。故选D。

例题2.(20xx年中央(一类)第50题，(二类)第34题)

一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有( )。

A.5个 B.6个C.7个 D.8个

【解析】本题要运用整除运算。根据“除以5余2”，可知该数的尾数为2或7;而根据“除以4余3”，可知其尾数只能为7，根据“除以9余7”，该数可以表示为9x+7，其中x的范围为11至110;其中尾数为7的有9y+7，其中y的范围为20至110，经检验可知，当y为30、50、70、90、110时，该三位数仍不能符合“除以4余3”的条件，即只有当y为20、40、60、80、100时，该三位数才满足三个条件，因此共有5个三位数。故选A。

例题3：求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。

分析：由于要求被9整除，可只考虑数字和，又由于要求最小的，故从第二位起应尽量用最小的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为9的倍数。

【解析】一个以5为首位数的六位数，要想使它最小，只可能是501234(各位数字均不相同)。但是501234的数字和5+0+1+2+3+4=15，并不是9的倍数，故只能将末位数字改为7，这时， 5+0+1+2+3+7=18是9的倍数，故501237是9的倍数。

即501237是以5为首位，且是9的倍数的最小六位数。

例题4：从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有 几个?

【解析】三位数的数字和字和应被3整除，所以可取的三个数字分别是：

0,1,2; 0,2,4; 0,2,7; 1,4,7。

于是有：(2*2*1)*3+3*2*1=18﹝个﹞

例题5：某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三字依

次是多少?

【解析】这个七位数能被2、3、4、5、6、7、8、9整除，

所以能被2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数整除。

这个最小公倍数是5*6*7*8*9=2520。

1993000/2520=790......2200

2520-2200=320

所以最后三位数依次是3、2、0。

例题6：十个连续的自然数，其中的奇数之和为85，在这10个连续的自然数中，是3的倍数的数字之和最大是多少?

A56 B66 C54 D52

【解析】奇数之和为85，则这个5个奇数为13、15、17、19、21，由此可知这十个最大为13-22，则3的倍数为：12、15、18、21。