高数知识点总结（下册）

——北雁友情提供

向量代数与空间解析几何

空间直角坐标系

    卦限：三个坐标面把空间分成八部分，每一部分即为一个卦限（上下同为逆时针）。

    空间两点间的距离：

向量代数    向量概念（略）。

向量的表示法

几何表示法（有向线段）

    向量相等：模相等、彼此平行且指向相同

    逆向量：与向量a大小相等而方向相反的向量称为a的逆向量

    单位向量：模为1

    零向量：模为0，记为，零向量方向不定，也可以说任意

向量的加、减法与数的乘法

    向量加法规则

    平行四边形法则：两向量、的和是以、为邻边的平行四边形OACB的对角线，即向量，记为=+ (如右图)

    三角形法则：（见图如右侧）

向量加法运算规律

    （1）a+b=b+a           (2)(a+b)+c=a+(b+c)

    （3）a+0=a          (4)a+(-a)=0

向量减法（即向量加法的逆运算） 

    数与向量的乘积：数量与向量a的乘积是一个向量，记为a

    a的模等于|a|与||的乘积，即|a|=|||a|

    a的方向：当>0时，与a同向；当<0时，与a反向；=0时，它是零向量。

数量与向量的乘积规律

    （1）(a)=()a           (2)(+)a=a+a(对数量分配率)

    （3）(a+b)=a+b(对向量分配率)

    单位向量：把与a同向，模为1的向量叫做a的单位向量，记为

        显然有= 或        a=|a|

向量在轴上的投影（见书）

向量的坐标表示

    向量的模 

    方向余弦：

              其中把、、叫做向量的方      向余弦

            ++=1（任何向量的方向余弦的平方和恒等于1）

        a的方向余弦，就是的坐标，即    ={，，}

    方向数：与方向余弦成比例的一组实数l，m，n，即（向量的方向数不是唯一的）

向量的数量积

    定义：两个非零向量a，b的数量积等于两个向量的模和它们间夹角余弦的乘积，记为，即（0）

        |b|cos（a，b）就是向量b在向量a的方向上的投影

    零向量与任何向量的数量积为0

数量积运算规律

    （1）ab=ba       (2)a(b+c) = ab+ac

    （3）(ab）=(a) b=a(b)

    推论：（1）aa=          (2)a,b向量垂直   ab=0

结论：两个非零向量a与b互相垂直的充要条件是ab =0

数量积的坐标表达式

(1) ab=

(2)

两向量互相垂直的充要条件是

两向量的向量积

定义：两向量a与b的向量积食一个向量c，记为c=ab

C的模

C的方向垂直于a和b，即c垂直于a与b决定的平面

向量积运算规律(见书17页)

    （1）a×b=-b×a    

结论：两个非零向量a与b互相平行的充要条件是a×b=0

推论：i×i=0    j×j=0     k×k=0

向量积的坐标表示

两向量平行条件坐标表达式

平面及其方程

曲面方程概念（见书21页）

平面的点法式方程：  

（设为平面的任意一点，向量n={A,B,C}为平面的一个法线向量）

平面的一般式方程：（其中A,B,C不同时为零）

重要结论：平面方程中，如缺x,y,z中的某一项，平面就平行或通过（D=0）某个轴，如缺其中两项，则平面就平行或重合（D=0）与那两项所决定的坐标平面

平面的截距式方程：

两平面的夹角及平面平行、垂直条件

    两平面的夹角公式：两平面法线向量分别为,

       

    两平面垂直的充要条件：

    两平面平行的充要条件： 

空间直线及其方程

    直线参量式方程：设有一点及一个已知向量（l,m,n不

全为零）

    直线的标准式方程：（条件同参量式方程）

    直线的一般式方程： （直线为两平面交线）

空间两直线的夹角及直线平行、垂直条件

    两向量夹角余弦公式：

    两直线垂直的充要条件：

    两直线平行的充要条件：

直线与平面的夹角及平行、垂直条件

    直线L标准式方程：

    平面的方程为：

    直线与平面夹角的正弦为：

    直线与平面垂直的充要条件：

    直线与平面平行的充要条件：

多元函数微分学

    二元函数的定义见书59页（点函数的概念同上）

    二元函数定义域见书61页（几何定义，极限）

    二元函数的连续性

    定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果当点趋于点时，函数的极限等于在点处的函数值即，称函数在点处连续

    表示形式二：      全增量

    定义二：设函数在点的某一邻域内有定义，若，则称函数在点处连续

最大值与最小值定理

    若函数在有界闭域D上连续，则在D上一定取得最大值和最小值，即如下结论

    （1）在D上至少存在一点，恒有

    （2）在D上至少存在一点，恒有

介值定理：若函数在有界闭域D上连续，则在D上必取得介于函数最大值M和最小值m之间的任何值     

多元初等函数在其定义域（是指包含在定义域内的区域）内是连续的

偏导函数概念（见书69页）（几何意义）

高阶偏导数

    定理：如果函数在域D上二阶混合偏导数，连续，则在该区域上必有=。

               

全微分及其应用

    全微分概念（见书79页）

    定理：如果在点处可微，则它在点处连续

    定理：如果函数在点处可微，则在该点处的两个偏导数存在，并且,

    全微分计算公式：  或 

    定理：设在点的某邻域内偏导数、存在，且、连续，则函数在点处可微

    推论：偏导数连续，函数一定可微：     函数可微，偏导数一定存在

            函数可微，函数一定连续

复合函数的微分法

    定理：设函数，在点处有偏导数，而函数在对应点（u，v）处有连续偏导数，则复合函数在点处有偏导数和，且       （多元复合函数偏导数的基本公式）

    z、u、v这三个函数都是x的一元函数，故对x的导数写成..

全微分形式不变性

       dz =du +dv (一阶全微分的形式不变性)

全微分的运算公式

     d(u±v)=du±dv   d(u*v)=udv+vdu   d()= (v≠0)    

复合函数的高阶偏导数（见书95页）

隐函数微分方法

将y=f（x）带入F（x,y）=0，于是有恒等式F[x,f(x)]=0，其左端可以看成x的复合函数，两端对x求导，得 Fx + Fy=0.如果Fy≠0 则有=-    

（由方程F（x,y）=0所确定的隐函数y=f(x)求导公式）

由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数的公式

    将z=f(x,y)带入方程F(x,y,z)=0 于是得 恒等式F[x,y,f(x,y)]=0 左端可以看做是x,y的复合函数，上式两端分别对x和y求偏导得

    Fx + Fz=0 , Fy +Fz=0   若Fz≠0,解出， 得  ，

多元函数微分方法在几何上的应用

     空间曲线的切线与法平面（见书103页）

     曲线L在点M处的切线方程

     曲线L在点M的法平面方程x(t)(x-x)+y( t)(y-y)+z( t)(z-z)=0

空间曲线的切平面与法线               

   曲面S在点M处的切平面方程：

       

多元函数的极值

     设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义，若对于该邻域呢异于点的任何点P(x,y) 恒有f(x,y)<f(x,y)  （或f(x,y)> f(x,y)）则称点为函数f(x,y)的极大值点(或极小值点)

定理：设函数z=(x,y)在点(x,y)处去得极值，且在该点的偏导数存在，则函数在该点的两个偏导数必为零 即，   （极值点的必要条件）

驻点：使，同时成立的点称为函数f(x,y)的驻点

推论：在偏导数存在的条件下函数的极值点必是驻点(驻点不一定是极值点)

定理：设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，假定点是函数的一个驻点即，    记      则有如下结论：

(1) ,当A<0时，为极大值点，为极大值；当A>0是为极小值点，为极小值。

(2),不是极值。

(3), 可能是极值，也可能不是极值。

多元函数的最大、最小值问题（113页）

     条件极值与拉格朗日乘数法

重积分

二重积分的定义（见书126页）

    注意：

    二重积分是个极限值，因此是个数值，这个数值的大小仅与被积函数及积分区域D有关，而与积分变量的记号无关

    二重积分存在定理：如果函数在闭域D上连续，则函数在D上可积，即二重积分存在

二重积分的几何意义：

    如果函数0，则二重积分在数值上等于以函数z=所确定的曲面为顶，以积分域D为底的曲顶柱体的体积。

二重积分的性质

    性质一、函数和（或差）的二重积分等于多个函数的二重积分的和（或差），即

       

    性质二、被积函数的常数因子，可以提到二重积分号的外面，即

       

    性质三、如果积分区域D分为两个区域D1和D2，即D=D1+D2，则

       

    性质四、如果在D上，，则，

    性质五、如果在D上，

        由性质五得到结论：

    性质六、（估值定理）设M和m分别为在闭域D上的最大值和最小值，则，其中为积分域D的面积

    性质七、（二重积分中值定理）如果在闭域D上连续，是区域D的面积，则在D上至少存在一点（）使得下式成立

二重积分的计算

    二重积分在直角坐标系下的计算方法

   

    基本原则：（1）画出积分区域D的图形    （详见书133）

            （2）找x，y的下限     累次积分方法

            （3）求值（套用公式）

    注意：二重积分化为二次积分时，二次积分的上限必须大于下限

二重积分在极坐标系下的计算方法

二重积分在极坐标系下的表达式

   

二重积分化为在极坐标系下的要点是：

    （1）将被积函数中的x，y换成，

    （2）面积元素换成极坐标系下的表达式

    1、极点O在积分域D外部的情况

       

    2、极点O在积分域D内的情况

       

三重积分的概念与在直角坐标系下的计算法（待续）

在柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算法（待续）

重积分的应用（待续）

曲线积分（出大题）概念（175页）

    对弧长的曲线积分——————第一类曲线积分

        或即

    若B与A重合，这是记为

对弧长曲线积分的简单性质

    （1）

    （2）

    （3）若积分路径L上是由m段弧L1，L2，,……lm组成，则

       

    （4）改变积分路径的方向，对弧长的曲线积分值不变，即

       

    结论：对弧长的曲线积分与积分路径方向无关

    若  x=g(y),(),则

    若，则

对弧长曲线积分的计算

    1、平面曲线L由参量方程给出

        若上具有一阶连续导数，且，又f(x,y)在L上连续，则有

    2、平面曲线L由方程y=y(x)给出

        设L:y=y(x),(),其中y(x)在就[a,b]上有一阶连续导数，f(x,y)在L上连续，则有

对坐标的曲线积分（定义181页）

            ……第二类曲线积分（组合曲线积分）

    注意：对坐标的曲线积分必须规定积分弧段的指向为表明积分的起止点，有时记为  

    曲线L也可以是封闭曲线，即起点与重点重合（沿闭路的曲线积分）

    对坐标的曲线积分常分成向量的形式，设F=P(x,y)i+Q(x,y)j,ds=dxi+dyj于是

对坐标曲线积分的性质

    （1）

    （2）改变积分路径的方向，积分值要改变符号，即

        或

    （3）设L是由有向曲线弧L1和弧L2组成，则有（曲线分段）

       

对坐标曲线积分的计算

    1、设曲线L由参数方程给出，L：，具有一阶连续导数，t=a对L的起点，t=b对L的终点，当t由a变到b时，曲线上的对应点恰好画出曲线L，函数P(x,,y),Q(x,y)在L上连续，则有（坐标曲线积分计算公式）

    2、设曲线L以方程y=f(x)给出

       

格林公式       平面曲线积分与路径无关的条件

    定理：设P(x,y),Q(x,y)在单连通域D1内及其边界L上具有连续的一阶偏导数，则  （L取正向）

平面曲线积分与路径无关的条件

    定义：设函数P(x,y),Q(x,y)在区域D内具有连续的一阶偏导数如果对于D内任意指定的两点A，B以及D内任意两条曲线等式恒成立，则除曲线积分在D内与路径无关，反则……

    结论：如果曲线积分与路径无关，即由曲线积分性质得，上式可化为

    重要结论：曲线积分在D1内与路径无关等价于沿D内任意闭曲线C得曲线积分

    定理：设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通域D内具有一阶连续偏导数，则在D内曲线积分与路径无关的充要条件是等式在D内恒成立

无穷级数

无穷级数的概念（见书202页）

等比级数（几何级数）

    结论：等比级数当公比q的绝对值|q|<1时，收敛；时发散

无穷级数的基本性质

    性质一、如果级数收敛，其和为S，k为常数，则级数也收敛，其和为kS

    性质二、收敛级数也可以逐项相加或逐项相减，也就是说，设有两个收敛级数，，则级数也收敛，其和为

     性质三、在级数前加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性，只是当级数收敛时，加上有限项或去掉有限项，一般会改变级数的和。

级数收敛的必要条件

     如果级数收敛，则

     注意：如果，级数可能收敛，也可能发散

正向级数

     概念：如果，则称级数为正向级数

     正向级数收敛的必要条件：它的前n项和数列有上界

正向级数收敛性的判别法：

    1、比较判别法

        设    ①，    ②为两个正向级数，则有：

        （1）如果级数②收敛，且，则级数①也收敛

        （2）如果级数②发散，且，则级数①也发散

比较判别法的极限形式

     设与是两个正向级数，如果，则级数与同时收敛或同时发散

比值判别法（达朗贝尔判别法）

     设正向级数，   ③      其中，如果其后项与前项之比的极限存在，即，则

     （1）当q<1时，级数③收敛

     （2）当q>1时，级数③发散

     （3）当q=1时，级数③可能收敛也可能发散

根值判别法（柯西判别法）

     如果正向级数通项的n次方根的极限存在，即，则

     （1）当q<1时，级数收敛  （2）当q>1时，级数发散 （3）当q=1时，级数可能收敛也可能发散

要判定一个正向级数是否收敛，通常按下列步骤进行

     （1）用级数收敛的必要条件：如果，则级数发散，否则进一步……

     （2）用比值判别法(有时也用根值判别法)

            如果，则比值判别法失效，则改用比较判别法

     （3）用比较判别法

        掌握一些敛散性已知的函数，如等比级数，P-级数等

交错级数

            ①

     交错级数收敛性的判别法（莱布尼茨定理）

        如果交错级数①满足条件（1），（2），则级数①收敛，其和，其余项的绝对值||

绝对收敛与条件收敛②为任意项级数，其各项取绝对值，则得到正向级数③

     定理：如果级数③收敛，则级数②也收敛

     定义：如果级数收敛，则称级数为绝对收敛级数

          如果级数收敛，而级数发散，则称级数为条件收敛级数

     注意：对于任意级数，如果收敛，则绝对收敛；但当发散时，只能判定非绝对收敛，却不能判定它必发散。但如果用比值法判定发散，则级数也发散

     定理：如果任意项级数满足条件，则

        （1）当q<1时，级数绝对收敛           （2）当q> 1时，级数发散

幂级数

函数项级数的一半概念（见书226页）

幂级数及其收敛性（见书227页）

正向级数：，记当n充分大时，，且，则，于是

     当时，有下列两种情况

        如果，则级数③绝对收敛

        如果，则级数③发散。

推论：只要是个不为0的正数，就会有一个以原点为中心的对称区间,在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂级数发散，当时，幂级数可能收敛也可能发散，称，为幂级数③的收敛半径。

     当=0时，|x|=0<1，级数③对于一切实数x都绝对收敛，这时规定收敛半径

     如果幂级数③仅在x=0一点处收敛，则规定收敛半径R=0

     定理：如果幂级数③的系数满足则

        （1）当0<<+时，

        （2）当=0时，

        （3）当，R=0

幂级数的收敛区间

     定义：设幂级数③的收敛半径为R，且0<R<+，如果幂级数③在x=R处级数收敛，而在x=-R处级数发散，则幂级数③在区间（-R,R]上收敛，这个区间（-R,R]称为幂级数③的收敛区间。

     推论：幂级数③的收敛区间为[-R,R),或（-R,R），或[-R,R]，如果幂级数③的收敛半径R=+，则它的收敛区间为（-，+），如果幂级数③的收敛半径R=0，则收敛区间化为一点x=0.

幂级数的性质:

    性质一、设二幂级数分别在，内绝对收敛，其中R1>0,R2>0,有对于这两个幂级数，可进行下列运算

     （1）加法：

       

     （2）减法：

       

     （3）乘法：

     性质二、设幂级数，其收敛半径R>0，则幂级数的和函数f(x)在(-R,R)内是连续的

    性质三、设幂级数，其收敛半径为R，则在区间(-R,R)内这个级数可以逐项求导，即

    性质四、设幂级数，其收敛半径为R，则在区间(-R,R)，内的任何闭区间上这个级数可逐项积分，即当-R<x<R是，有，即，且收敛半径为R

函数展开成幂级数

        泰勒级数（见书235页）

        函数展开成幂级数:(直接展开法和间接展开法)

直接展开法：

    把f(x)展开成x的幂级数,如下步骤（最基本方法）

        （1）求出f(x)的各阶导数

     （2）计算f(x)及其导数在点x=0处的值，

        （3）写成幂级数，并求出它的收敛区间

        （4）考察当x在收敛区间内时余项的极限是否为零，如果为零，则由式（3）所求得的幂级数就是f(x)的幂级数的展开式。

        类似得到下述函数的x的幂级数展开式

        （1）         （-1,1）

        （2）当m为实数时它的收敛半径R=1，在x=1处，展开式是否成立，要据m的数值看右端级数是否收敛而决定，（-1,1）当m=-1，时

间接展开法

        （1）变量置换法（对已知的级数进行变量置换而得所需幂级数展开式）

        （2）逐项求导法：

              首先找出所给函数是哪个已知级数的和函数的导数，然后利用

              逐项求导公式（幂级数的性质三）得到所需要的幂级数展开式

        （3）逐项积分法：函数的幂级数展开式的应用（见书241页）；欧拉公式（见书242页）

微分方程

概念：含有未知函数的导数或微分的方程

微分方程的阶：微分方程中的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶

微分方程的解：若将某个函数代入微分方程，能使方程两端相等，则称这个函数为该微分方程的解

通解：如果微分方程中的解中含有任意常数的个数等于微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解

微分方程的初始条件：用来确定通解中任意常熟的条件叫做定解条件，若给出t=0时的条件，则为初始条件（）

特解：有初始条件确定了通解中的任意常数后所得到的解

一阶微分方程

    一阶微分方程的一般形式为

    若能解出，则方程=f(x,y)称为导数已解出的一阶微分方程

    一阶微分方程对称形式

可分离变量的微分方程

    若一阶微分方程可化为g(y)dy=f(x)dx的形式，则原方程称为可分离变量的微分方程

    若g(y),f(x)都是连续函数，设G(y),F(x)分别为g(y),f(x)的一个原函数，则对方程（2）两端积分得，即G(y)=F(x)+C  (3)

    由式（3）所确定的隐函数y=y(x)就是方程（2）的通解

    注意：在解微分方程时，若得到一个含有对数的等式，为了利用对数的性质将结果进一步花间，可将任意常数C写成的形式，k的值可根据实际情况来确定

齐次方程

    如果一阶微分方程中的函数f(x,y)可化为的函数，即，称这种方程为齐次方程。

齐次方程通解的求法：

    （1）将所给方程化为  式（4）

    （2）令，则，代入方程（4）,得到可分离变量的方程

    （3）分离变量后两端积分得，求出积分后，再用代替u，便得齐次方程通解

一阶线性微分方程

    方程 (6)称为一阶线性微分方程（其中p(x),Q(x)都是已知的连续函数，这里方程中的未知函数y及导数都是一次的，Q(x)称为自由项）

    若方程（6）变为 （7）称为一阶线性齐次微分方程

    若，则称为一阶线性非齐次微分方程

一阶线性非齐次微分方程通解的求法如下

    （1）先求一阶线性齐次方程（7）的通解，将方程（7）分离变量，得，两端积分，的方程（7）的通解为

    （2）利用常数变量法球一阶线性非齐次微分方程（6）的通解（通解）（参考过程详见书270页）

可降解的高阶微分方程      

    型微分方程

        这类微分方程的右端仅含有自变量x，因此，只要连续积分n次，即可得到方程的含有n个任意常数的通解

    型微分方程

       这类微分方程不显含未知函数y，只需设，则从而将所给方程化为一阶微分方程

    型微分方程（这类方程不显含自变量x）

        设且把看做y的函数，则有从而将所给方程化为一阶微分方程

二阶线性微分方程解的结构

    微分方程 （1）称为二阶线性微分方程，其中P(x),Q(x),f(x)都是连续函数

    当 时，方程（1）称为二阶线性非齐次微分方程

    当时，方程  （2）称为二阶线性齐次微分方程

二阶线性齐次微分方程解的结构

    定理：如果是方程（2）的两个解，则也是方程（2）的解，其中C1，C2是任意常数

    结论：线性齐次微分方程的解具有叠加性

        当是方程（2）的解时，是方程（2）的解，但不一定是方程（2）的通解

    定义：设是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数k，使得成立，则称在该区间内线性相关，否则称函数在该区间内线性无关

    定理：如果函数是方程（2）的两个线性无关的特解则就是方程（2）的通解，其中C1，C2是任意常数

二阶线性非齐次微分方程的解得结构

    定义：如果是二阶线性非齐次微分方程（1）的一个特解，又是方程（1）所对应的齐次方程（2）的通解，则（3）是方程（1）的通解

    定理：如果是二阶线性非齐次方程的特解，而是二阶线性非齐次方程的特解，则是方程的特解

二阶线性常系数齐次微分方程

概念：如果二阶线性齐次微分方程中的P(x),Q(x)均为常数，即方程  （1）中的p，q为常数，即称方程（1）为二阶线性常系数齐次微分方程

特征方程：

    对，求导，得代入方程（1）得，而，所以  （2）

    （由此可见，只要r满足方程（2），函数就是微分方程（1）的特解，方程（2）是一元二次代数方程，有两个根r1和r2，其中p与q正好是微分方程（1）中与y的系数，我们称方程（2）为微分方程（1）的特征方程，其中r1和r2称为特征根）（有三种情况，据，详课本285页）

求二阶现行常系数其次微分方程

通解的步骤如下

    （1）写出相应的特征方程

    （2）求出特征方程的两个特征根r1及r2

    （3）根据特征根的不同情况，写出微分方程（1）的通解

    便于记忆，列表如下

    特征方程的二根r1，r2             

        二不等实根                            

        二相等实根r1=r2=r                          

        二共轭复根                      

二阶线性常系数非齐次微分方程

    方程  （1）称为二阶线性常系数非齐次微分方程，其中p，q为常数，，它所对应的齐次方程为  （2）（只要求出（1）本身一个特解和它所对应的（2）的通解Y，，Y已经会求，现只要求（1）的特解）

    的形式与方程右端的自由项f(x)的形式密切相关

    若f(x)具有下面两种常用形式之一时，我们可用待定系数法求

    （1），其中为常数，为x的m次多项式

    （2），其中为常数，分别为x的l次和n次多项式

型

    结论：如果，则微分方程（1）有如下形式的特解，，其中同次的多项式，其系数待定，而

型

    如果，则微分方程(1)有如下形式的特解，其中，均为m次多项式，次数其系数待定，而

 

第二篇：高数B(2)6~10章知识点总结

第6章 定 积 分

§6. 1  定积分的概念与性质

1．概念  定积分表示一个和式的极限

其中：，；；

几何意义：表示，，，所围曲边梯形面积的代数和

可积的必要条件：在区间上有界

可积的充分条件：（可积函数类）

（1）若在上连续，则必存在；

（2）若在上有界，且只有有限个第一类间断点，则必存在；

（3）若在上单调、有界，则必存在。

2. 性质

（1） ；        

（2） ； 

（3） ；         

（4）

（5）

（6）若，， 则

推论1：若，， 则

推论2：   

（7）若，， 则

（8）若在上连续，在上不变号，存在一点

 

特别地，若，则至少存在一点，或，使得

  

（9）若在上连续，则其原函数可导，且

（10）若在上连续，且，则

§6. 2  定积分的计算

1. 换元法          

2. 分部法   ，或

3. 常用公式

（1）

（2），其中，为连续偶函数

（3），其中

（4）

（5）

（6） 

（7）

（8）

（9）

（10）

§6. 3  广义积分

1. 无限区间的积分（无穷积分）

（1）定义与性质

，若极限存在，则原积分收敛；

，若极限存在，则原积分收敛；

，必须右边两积分都收敛，原积分才收敛；

，，，具有相同敛散性；

，即收敛积分和仍收敛

（2）审敛法

比较审敛法：

设，则

比较法的极限形式：

设，则

柯西审敛法：

设，则

特别地，

绝对收敛与条件收敛：

2. 无界函数的积分（瑕积分）

（1）定义与性质

（），若极限存在，则原积分收敛；

（），若极限存在，则原积分收敛；

（），两积分都收敛，原积分才收敛；

，，具有相同敛散性；

，即收敛积分和仍收敛

（2）审敛法

比较审敛法：设非负，且，

若，则

比较法的极限形式：若，则

柯西审敛法：若，或，则

特别地，

§6. 5  典型例题解析

1．变限积分的求导与应用

解题思路 

（1）利用公式

（2）若被积函数含积分限变量，需用变量代换化为变限积分的一般形式求解；

（3）变限积分是由积分限位置变量决定的函数，它与积分变量无关。利用变限积分的求导同样可以分析函数的特性。

2．利用定积分定义求和式的极限

解题思路  若将积分区间等分，，取，则

3. 利用定积分的性质求极限

解题思路 

（1）若极限含定积分，可利用定积分的中值定理求解；或利用定积分的估值性质建立不等式，用夹逼定理求解；

（2）若极限含变限积分，可利用罗必达法、夹逼定理和周期函数的定积分性质求解。

5．利用换元法求定积分

解题思路

（1）计算定积分时，必须考虑积分变元的变化范围和应用牛—莱公式的条件。

（2）应用第一类换元法（凑微分法）直接求解；

（3）若被积函数含，，，分别令，，；

（4）作变量代换时须相应改变积分限。一般地，积分区间为，令；积分区间为，令。

（5）被积函数为，或型积分变量代换条件：积分上下限不变或换位，变换前后形式为  ；或  

6．利用分部法求定积分

解题思路  一般计算方法与不定积分分部法类似。

（1）若被积函数含，，将，取作，其余部分取作；

（2）若被积函数含变限积分，将变限积分取作，其余部分取作；或将原积分化为二重积分，再改变积分次序求解。

7．利用公式求定积分

解题思路  利用恒等变形和变量替换法将积分或部分积分化为已知公式标准型求解

8．利用积分区间的对称性计算定积分

解题思路 

（1）若被积函数是奇、偶函数，用奇偶函数的定积分性质求解

（2）若被积函数不是是奇、偶函数作负代换求解；

（3）若，为连续偶函数，则，注意，可直接验证，则， 

9．分段函数及含绝对值号函数的定积分

解题思路：

（1）以函数分段点将积分区间分为相应子区间，利用定积分的对区域可加性求解；

（2）当被积函数是给定函数的复合函数时，用变量代换化为给定函数的形式求解；

（3）令绝对值表达式为零，去掉绝对值符号，再用分段函数积分法求解。

10．含定积分、变限积分方程的求解

解题思路 

（1）若方程含定积分，令定积分为，方程两边再取相同积分限的定积分求解；

（2）若方程含变限积分，方程两边求导化为微分方程求解；

11．利用定积分定义，性质和几何意义有关命题的证明技巧

解题思路  （1）利用已知不等式将函数改写为和式的极限，再由定积分的定义求证；（2）当函数单减时，曲边梯形的面积个窄条矩形面积之和；

12．应用介质定理、微分和积分中值定理的命题

解题思路 

（1）若结论不含，则将结论改写为的形式，左边设为辅助函数，用介质定理、微分和积分中值定理求解；

（2）若结论含，将结论左边改写为某微分中值定理的标准形式（右边含），再由此作辅助函数（有时需将所含定积分化为积分上限的函数），用微分和积分中值定理求解；

（3）若结论为含的微分方程，可由观察法或解方程求出辅助函数，用微分和积分中值定理求解。

13．定积分不等式的证明

解题思路

 常用定理：定积分的比较定理，估值定理，函数单调性判别法，微分与积分中值定理，泰勒公式；

常用不等式：，，柯西不等式

常用等式：，，

（1）利用换元法、分部法或周期函数的定积分性质直接求证；

（2）若仅知被积函数连续：作辅助函数，将结论所含定积分化为变限积分，移项使右边为零，左边即为辅助函数，再用函数单调性或求证。

（3）若已知被积函数可导，且至少有一端点：将函数化为变限积分，即，或求证；

（4）若已知被积函数二阶可导：将被积函数按泰勒公式展开并缩放，利用定积分比较定理求证。

14．广义积分的计算

解题思路  分清积分的类型。一般将无穷积分，瑕积分化为常义积分，再取极限求解；混合型广义积分则须拆分积分区间，按无穷积分和瑕积分分别求解。

§6. 4  定积分的应用

1．定积分的微元法

设所求量A可表为，则，于是

2．直角坐标下平面图形的面积

（1）由，，及轴所围的平面图形的面积

（2）由，，，及轴所围的平面图形的面积

（3）由，，，及轴所围的平面图形的面积

（4）由参数方程表示的曲线所围面积可作换元处理

3．极坐标下平面图形的面积

一般若平面图形的边界是圆或圆弧，可考虑用极坐标求解。

（1）由，，所围的平面图形的面积

（2）由闭合曲线所围的平面图形，若极点在图形内部，则面积

4．平行截面面积已知的立体体积

已知平行截面面积为，，或，，则其体积

，或

（1）一曲线绕坐标轴一周的旋转体体积

，

（2）两曲线绕坐标轴的一周的旋转体体积

，

（3）曲边梯形面积绕轴或一周的体积为

，或，

曲边梯形面积绕轴或一周的体积为

，或，

5．定积分在经济分析中的应用

（1）由边际函数求原函数

原经济函数为其边际函数的不定积分；原经济函数的增量为其边际函数的定积分，即，

（2）由边际函数求最优问题

最低成本：，  

最大收益：，  

最大利润：，  

（3）消费者剩余和生产者剩余

消费者剩余：；生产者剩余：

其中，均衡价格，均衡供需量，需求函数，供给函数。

（4）资本现值和投资问题

资本现值：；        纯收入贴现值：

其中，收入率，按连续复利的折算因子，投资时间，投资额

17．定积分在几何方面的应用

解题思路  （1）将无限分割，小曲边梯形宽为，高为，则面积微元，再将这无穷多个小曲边梯形面积微元“加”起来得曲边梯形的面积；

（2）将无限分割，小区间宽为，截面积为，则体积微元，再将这无穷多个圆形薄片体积微元“加”起来得曲边梯形的面积绕轴一周的体积；

（3）将无限分割，小曲边扇形圆心角为，半径为，则面积微元，再将这无穷多个小曲边扇形面积微元“加”起来，得曲边扇形的面积。

第7章  多元函数微积分

§7. 1  多元函数微分学

1．多元函数，极限与连续

（1）空间直角坐标系

空间任意一点都与一个三元有序数组一一对应，称为点M的坐标，记为。空间任意两点，之间的距离为

（2）曲面与方程

在空间直角坐标系中，任何一个方程，都表示一张曲面；曲面上任一点的坐标都满足方程；不在曲面上的点不满足方程。

平面：（任何一个三元一次方程都表示空间的一张平面）

柱面： 其母线平行于轴，准线为平面曲线

球面：；

椭球面：

旋转抛物面： 其图形为平面曲线或绕z轴所成曲面

双曲抛物面：

（3）多元函数

二原函数：        

二元函数表示一张空间曲面，而其在平面上的投影即为函数的定义域。

多元函数：        

（4）二元函数的极限与连续

设在的某去心邻域内有定义，当以任意方式趋近于时，函数的值趋近于确定的常数，则称是函数趋近时极限。记为

，或

若在处连续，则

（5）性质与定理：多元函数的和，差，积，商仍为连续函数（商的分母不为零）；多元连续函数的复合函数仍为连续函数；有界闭区域D上的连续函数必有最值（有界）；有界闭区域D上的连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值；多元基本初等函数在其定义区间内为连续函数多元初等函数在其定义区间内为连续函数

2．多元函数微分法

（1）二元函数的偏导数

；

（2）二元函数的全微分

偏导数存在是可全微分的必要条件，偏导数连续是可全微分的充要条件。

（3）复合函数微分法

        （称为全导数）

     ，

     ，

  ，

（4）一阶全微分形式不变性

（5）隐函数微分法，设是由方程确定，则

；

（6）二阶偏导数与全微分

，，，

若函数的两阶混合偏导数连续，则混合偏导数相等，即

3．多元函数的极值和最值

（1）无条件极值  设二阶可偏导

必要条件：    

充分条件：设，则

（2）条件极值  设，求在条件下的极值

作拉格朗日函数： 

  解出就是可能极值点

注意：从中解出代入，化为的一元函数极值问题来解决；条件极值点唯一时即为所求最值点。

（3）多元函数的最值  

§7. 2  二 重 积 分

1．二重积分的定义

 （为面积元素）

由定义知，二重积分为一个确定的数值。从几何上可以解释为：若在区域上，，则二重积分表示以区域为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积。

2．二重积分的性质

（1）

（2）    （）

（3），，  （表示的面积）

（4）若，，则

     

（5）若，，则

（6）若在区域上连续，则在上至少存在一点，使得

（7）二次积分的无关性质，

3．二重积分的计算

（1）直角坐标系下的计算（）

若为  ，，则

若为  ，，则

若为  ，；或，，则

注意：如下积分须改变积分次序：

，，，，，，

（2）利用域的对称性和函数奇偶性简化计算

若关于轴对称（，），则

若关于轴对称（，），则

若关于原点对称（是被过原点的直线切割的一半），则

若关于对称，则

（3）极坐标系下的计算（）

若极点在区域外部，：，，则

若极点在区域边界上，：，，则

若极点在区域内部，：，，则

注意：凡积分域为：圆、圆环、扇形、环扇形宜用极坐标计算。

（4）二重积分变量替换公式

其中，平面上区域令  平面上区域，则该变换的雅可比行列式为，且

§7. 3  典型例题解析

1．利用多元函数的概念解题

解题思路 

（1）利用函数与复合函数的定义求函数的解析式；

（2）利用初等函数的定义域与性质求多元函数的定义域。

2．利用多元函数的极限和连续的定义解题

解题思路 

（1）利用多元函数极限的定义求极限；

（2）利用等价无穷小的替换、变量替换、夹逼定理等一元函数的方法求极限；

（3）利用不同路径的不同极限值判断极限不存在；

（4）二元函数连续与间断与一元函数类似，关键是二元函数极限的求法不同。

3．多元复合函数的偏导数和其微分法

解题思路 

（1）分清函数复合的结构，利用链导法求解；

（2）求某点偏导数时，可先把（或）的值代入求对（或）的偏导数，这样可简化计算；

（3）利用全微分形式不变性，函数对中间变量求全微分，中间变量对自变量求全微分，然后带回求解；

（4）对幂指函数或乘除因子较多的函数可利用取对数求导法公式求解；

（5）对多元复合隐函数分别求偏导数后，有时要联立方程求出各偏导数；

（6）求二阶偏导数时，可对中间变量编号处理，特别注意一阶偏导数仍是多元函数

4．利用偏导数和全微分的概念解题

解题思路 

（1）利用不定积分求二元函数的函数解析式，注意对一个变量积分时，积分常数是另一个变量的函数；

（2）利用二元函数全微分存在条件确定常数

5．多元函数的极值与最值的有关命题

解题思路

（1）利用极值的定义判别函数极值与最值；

（2）利用极值的必要条件和充分条件求函数的无条件极值；

（3）利用拉格朗日乘数法求函数的条件极值；

（4）若极值唯一，则极值即为最值

6．二重积分的计算

解题思路（1）选择坐标系：若积分区域是圆域，圆环域，扇形域，扇环域，或被积函数是，的形式宜采用极坐标，其他区域用直角坐标；

（2）选择积分次序：积分域的划分尽可能少，积分函数先易后难；

（3）累次积分的定限原则：后积先定限，限内划射线，先交为下限，后交为上限（后积分的积分限均为常数；射线平行于先积分变量坐标轴且同向）；

（4）若二次积分不能用初等函数表示，应考虑交换积分次序：由累次积分限划出积分域，由（3）的方法确定新的累次积分；

（5）利用被积函数的奇偶性与积分域的对称性可以简化计算；

（6）利用二重积分变量替换公式。

7．利用二重积分定义和性质求极限

解题思路

（1）若二元和式的通项为的形式，则可利用二重积分的定义求其极限：将域等分成个矩形曲顶柱体，则第个曲顶柱体体积为，当时，体积微元为，，；

（2）利用二重积分化二次积分求极限；

（3）利用二重积分的中值定理求极限；

（4）交换积分次序，变量替换后用洛必达法则求解；

（5）利用二重积分的对区域可加性求极限。

8．变限二重积分的求导及含二重积分方程的求解

解题思路

（1）变限二重积分的求导一般用变量替换法和累次积分法或分部积分法将二重积分化为积分限函数再求导；

（2）若域已知，求被积函数：设方程所含二重积分为常数，两边再取相同域的二重积分，从而得关于的方程求解；

（3）若方程含变限二重积分，求被积函数：用变限二重积分的求导法将方程化为常微分方程求解。

9．有关二重积分等式和不等式的证明

解题思路

（1）已化为累次积分型可用交换积分次序、分部积分法和无关特性求解；

（2）利用已知不等式和二重积分的无关性质求证；

（3）利用函数的单调性和二重积分的符号性质求证；

（4）利用柯西不等式求证；

（5）利用域的缩放和二重积分的估值定理求证。

第8章  无 穷 级 数

§8. 1  常数项级数

1．级数的概念

（1）数列的各项依次相加所得的表达式称为无穷级数

（2），称为级数的前项部分和。

（3）若，则收敛，且；若不存在，则发散。

收敛原理：收敛    ，使当，对任何自然数有

2. 级数的性质

（1）若，，则

（2）加上或去掉有限项不影响级数的敛散性

（3）收敛级数加括号后仍收敛于原级数的和

（4）若收敛，则必有

注意：（1）与具有相同敛散性；

（2）若收敛，发散，则发散；

（3）若，均发散，则敛散性不确定；

（4）若加括号后级数发散，则原级数发散；若加括号后级数收敛，则原级数敛散性不确定；

（5）级数收敛的必要条件常用来判别级数发散。

3. 正项级数审敛法（设与为正项级数，）

（1）正项级数收敛的充分必要条件是其部分和序列有界。

（2）比较判别法：若（），则

比较法的极限形式：若，则

注意：（1）若分母，分子关于的最高次数分别为，则；

（2）若当时，，则与具有相同敛散性；

（3）当时，，后者较前者趋于的速度快

两个重要级数：

几何级数  ；级数 

（3）比值/根值判别法：

（4）积分判别法：若在上非负单调连续，则

与具有相同敛散性

4. 任意项级数

（1）交错级数判别法：若满足，则

收敛，且其和，其余和

常用递减的判别：；；，

（2）任意项级数判别法（符号不定）

定理表明任意项级数的收敛问题可以转化为正项级数的问题，因此可以用正项级数的判别法判定级数是否绝对收敛。

注意：（1）若比值/根值判别法得发散，则必发散；

（2）绝对收敛级数的所有正项（或负项）所构成的级数一定收敛；

（3）条件收敛级数的所有正项（或负项）所构成的级数一定发散。

§8. 2  幂 级 数

1．幂级数的概念

（1）由幂函数构成的级数称为幂级数，即 ，或

（2）阿贝尔定理：

（3）收敛半径，收敛区间，收敛域

若，则

2．收敛半径的求法

（1）不缺项情形  若 ， 则

（2）缺项情形（以为例）

，

3．幂级数在收敛区间内的性质

设，；，

（1），

（2），

（3），

（4）幂级数在其收敛区间内的和函数为连续函数；若幂级数在收敛，则其和函数在连续；若幂级数在收敛，则其和函数在连续。

（5）幂级数在其收敛区间内可以逐项求导或积分，且其收敛区间不变。

4．函数的幂级数展开

（1）泰勒级数  设在内具有任意阶导数，且泰勒余项，则在处的幂级数为

若，则的麦可劳林级数为

（2）若能展开为幂级数，则其展开式唯一，即

，

，

（3）常用函数的展开式

 

 

 

   

   

 

§8. 3  典型例题解析

1．常数项级数的审敛法

解题思路

（1）利用已知不等式用比较法求解；

（2）利用无穷大与无穷小的主部原则，用比较法的极限形式求解；

（3）利用比值法、根值法和积分审敛法求解。

2．常数项级数的有关命题的证明

解题思路

（1）利用数列极限的定义证明部分和数列极限存在，从而级数收敛；

（2）对正项级数部分和适当缩放和拆项处理证明其部分和数列有界，从而级数收敛；

（3）利用已知条件及递推关系推出级数收敛的充分必要条件；

（4）利用已知不等式和正项级数的相关审敛法证明级数的敛散性。

3．数项级数的绝对收敛与条件收敛

解题思路

（1）若，则发散；

（2）若，则；

（3）若比较法

4．函数项级数与幂级数的审敛法

解题思路

（1）求函数项级数的收敛域，一般是对运用比较法及其极限形式，比值法和根值法；

（2）幂级数收敛域的求法与函数项级数相同，其收敛半径为收敛区间的一半；（3）利用阿贝尔定理和收敛级数的性质求幂级数的收敛域；

（4）利用级数收敛的定义求幂级数的收敛域；

（5）利用数列极限准则确定，求幂级数的收敛域。

5．函数的幂级数展开法

解题思路   直接展开法与间接展开法，通常采用间接展开法。即利用初等变换，求导或积分，将函数化为基本展开式形式求解。

6．幂级数的和函数求法

解题思路

（1）；

（2）；

（3）由已知幂级数建立关于和函数的微分方程求解；

（4）利用幂级数下标变换求和函数；

（5）若幂级数由函数解析式给出，利用函数展开为幂级数和展开式的唯一性求解；

6．数项级数的求和法

解题思路 

（1）拆项法：把通项拆成两项差的形式；用级数和的定义求和；

拆项公式 ，

（2）直接法：若通项为（或可化为）等差或等比数列的形式，用级数和的定义求和；（3）阿贝尔法（构造幂级数法）：

7．函数项级数有关命题

解题思路

（1）利用级数收敛的必要条件（收敛  ）证明极限为零；

（2）利用级数收敛的定义和级数求和的方法求无穷和式的极限；

（3）利用函数幂级数展开式的唯一性，比较系数求函数在处的高阶导数；

（4）利用已知条件及递推关系，用级数收敛定义，比较法或其它审敛法证明级数收敛；

（5）利用函数幂级数展开与幂级数的求和证明等式或不等式。

第9章  微分方程初步

1. 微分方程  含有未知函数的导数或微分的方程

2. 常微分方程  未知函数为一元函数的微分方程

一般形式：；标准形式：

3. 微分方程的阶  未知函数的导数或微分的最高阶数

4. 微分方程的解  满足微分方程的函数。（1）含任意常数的解称为微分方程的通解，阶微分方程的通解含个独立任意常数；（2）不含任意常数（通解中的任意常数已由初始条件求出）的解称为微分方程的特解；（3）解的图形为方程的积分曲线。

§9. 1  一阶微分方程

1. 变量可分离的微分方程

（1）        

（2）  

2. 齐次微分方程

（1）    令，    （变量可分离）

（2）可化为齐次型   

      

3.一阶线性微分方程

非齐次方程：；    齐次方程：

（1）通解公式     

（2）常数变异法：齐次通解，非齐次通解

将代入原方程可得 

4. 伯努利方程        

令    

5. 全微分方程    （）

    

§9. 2  二阶微分方程

1. 高阶特型微分方程

（1）    连续次积分可求解

（2）  令，，可化为一阶微分方程

（3）  令，，可化为一阶微分方程

2. 二阶线性微分方程解的结构

二阶线性非齐次方程      

二阶线性齐次方程         

（1）若，是齐次方程的两个解，则也是齐次方程的解

（2）若，是齐次方程的两个线性无关解，则是齐次方程通解

（3）若是齐次方程的通解，是非齐次方程的一个特解，则

（非齐次通解齐次通解非齐次特解）

（4）若，则

    特解

（5）若，是非齐次方程的两个解，则是齐次方程的解

3. 二阶常系数线性齐次方程通解的求法

二阶常系数线性齐次方程   

特征方程为，判别式，则通解为

4. 二阶常系数线性非齐次方程特解的求法

二阶常系数线性非齐次方程   

待定系数法：

（1）若，设 

其中,，均为次多项式

（2）若，设

（3）若，

设

其中，，均为次多项式,

常数变异法：若齐次方程通解为 ，

设非齐次方程特解为 ，代入方程得

  ，其中

微分算子法：设，，得，，则

  

令，称微分算子多项式，则特解为

的运算性质：

（1）；

（2） ，；

，；

（3）；

（4）

其中，为除以按升幂排列所得商式，其最高次幂为。

注意：表示微分，表示积分；，。

§9. 3  典型例题解析

1. 变量可分离微分方程解法

解题思路

（1）分离变量后两边取不定积分求通解；

（2）若方程含，，等形式项时，可利用相应变量代换（或直接用凑微分法）化为可分离变量方程求解；

（3）若方程为（或可化为）或型齐次方程，令或求解；

2. 一阶线性微分方程解法

解题思路

（1）将方程化为的形式，利用通解公式求解；

（2）利用常数变异法求解；

（3）贝努利型方程可通过变量代换化为一阶线性方程求解。

*3. 全微分方程的解法

解题思路  将方程化为的形式，验证；用凑微分法或公式法求解。通解形式为。

4. 一阶微分方程综合题

解题思路

（1）由导数的定义或已知条件列方程求函数解析式；

（2）由积分限函数的导数改写积分方程求函数解析式；

（3）利用偏导数和全导数关系列方程求函数解析式；

（4）利用定积分的性质求函数解析式

5. 高阶特型微分方程的解法

解题思路  若方程不含，令；若方程不含，令；若方程不含，令，。

6. 二阶常系数线性微分方程的解法

解题思路

（1）写出对应齐次方程的特征方程，由特征根的不同形式写出相应的通解；

（2）用待定系数法、微分算子法或常数变异法求非齐次方程的特解；

（3）非齐次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程的特解；

（4）用变量代换法将变系数方程化为常系数方程求解。

7. 二阶微分方程的反问题

解题思路

（1）已知通解求方程：对通解直接求二阶导数即可还原所求方程；或由通解的结构由特征根求出特征方程还原齐次方程；

（2）已知非齐次方程的两个或三个特解求方程：用解的结构定理求解；

（3）已知非齐次方程和其特解求方程所含常数：将特解代入方程比较系数求解。

（4）已知齐次方程和其一个解求方程通解：可设另一个线性无关解为，代入方程求出，从而求出通解；

8. 二阶微分方程综合题

解题思路 

（1）利用偏导数关系及全微分条件列方程求函数解析式；

（2）利用反函数关系进行反函数代换化简方程求解；

（3）利用已知关系建立方程或已知微分方程求幂级数的和函数。

9. 微分方程的几何应用

10. 微分方程在经济分析中的应用