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高中数学必修4之平面向量

知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量

2、向量加法：设，则+==

（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；

，但这时必须“首尾相连”．

3、向量的减法：  ① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量

②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）

4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的

5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=

6、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

二.平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：

(1)     若，则

(2)     若，则

(3)     若=(x,y)，则=(x, y)

(4)     若，则

(5)     若，则

若，则

三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积：

已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos

叫做与的数量积（或内积） 规定

2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影

3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积

4向量的模与平方的关系：

5乘法公式成立：

；

6平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：

②对实数的结合律成立：

③分配律成立：

特别注意：（1）结合律不成立：；

（2）消去律不成立不能得到

（3）=0不能得到=或=

7两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量，则·=

8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角

cos==

当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=0⁰，当且仅当与反方向时θ=180⁰，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9垂直：如果与的夹角为90⁰则称与垂直，记作⊥

10两个非零向量垂直的充要条件：

⊥·＝O平面向量数量积的性质

 

第二篇：高二数学《平面向量》复习课(学案)

《平面向量》复习课（学案）

【复习要求】

1、理解和掌握平面向量有关的概念；

2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；

3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；

4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用；

【知识提要】

1、平面向量有关的概念：（1）向量；（2）向量模；（3）相等的向量；（4）负向量；（5）零向量；（6）单位向量；（7）平行向量；（8）垂直向量；（9）向量的夹角；（10）位置向量；（11）向量的坐标。

2、向量的运算：（1）加减法；（2）实数与向量的乘积；（3）向量的数量积。

3、几个重要的结论：设，。（1）；（2）；（3）∥存在，使得；（4）定比分点P的坐标由确定；（5）三角形中线向量公式：；（6）模的性质：。

【超级链接】

相关知识：（1）方向向量；（2）法向量；（3）复数的向量表示；（4）两直线的夹角；（5）相关的三角比公式；（6）正弦定理、余弦定理。

【热身训练】

   1．下列命题中：①若，则；②若∥，则；③若与反向，则；④若与不平行，且存在实数p、q，使得，则。其中真命题的个数为（     ）（A）1   （B）2   （C）3   （D）4

   2． 设P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（     ）   （A） 内心     （B） 外心   （C） 重心   （D） 垂心

   3．已知，，且，则m＝          。

   4．非零向量、满足，则、+夹角大小是          。

   5．已知，，绕点A逆时针旋转，得到，则C点的坐标为           。

【例题精讲】

例题1  填空（或选择）题：
（1）已知，，若，则        。

（2）△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c ，设向量，，若∥，则角C的大小为             。

（3）向量，且与方向相同，则的取值范围是                   。

（4）已知集合，，则（    ）（A）  （B）   （C）   （D）Æ

（5）已知向量，，对任意，恒有，则（     ）
（A）  （B）   （C）   （D）

例题2  平面内有向量，，，点M为直线OP上的一个动 点。（1）当取最小值时，求的坐标；（2）在点M满足（1）的条件下，求
∠AMB的余弦值。







例题3  如图，点D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点，求证：（1）；（2）；（3） 。

例题4 已知，，，动点满足。（1）求（其中O为原点）；（2）是否存在点P，使PA成为∠F₁PF₂的平分线？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。










例题5  中，，,BQ与CR交于点D，AD的延长线交BC于P。（1）用，表示和；（2）若=，求实数和的值。

【追踪练习】

1、在△ABC中，有下列四个命题：①若，则△ABC为等腰
三角形；②若，则△ABC为直角三角形；③若，则△ABC为锐角三角形；④若，则△ABC为等边三角形。其中真命题的个数为（     ）    （A）1    （B）2      （C）3      （D）4

2、已知，，且，，则             。

   3、非零向量、满足，则、+夹角大小是              。

   4、中，，，，D是线段BC上的点，若，则=                。

   5、平行四边形ABCD中，，，,O为原点，求：（1） 的坐标；（2）大小。

   6、是否存在正整数k，使得向量，的夹角大小等于？若存在，求出正整数k；若不存在，请说明理由。

    7、已知，，点A，∥（）。且，求的坐标。

     8、已知， ，与的夹角大小为60⁰，，，当m为何值时，。

9、已知， ，与的夹角大小为，又，，          求。