实验九 三线摆

一、实验目的

1．掌握三线摆测定转动惯量的原理和方法。

2．验证平行轴定理。

二、实验仪器

三线摆，卷尺，秒表，游标卡尺，物理天平，水准仪，待测物（圆环，形状和质量相同的两个圆柱体）。

三、实验原理

转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特性的一个物理量。转动惯量的大小除与物体质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度）有关。如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可直接计算出它绕特定轴的转动惯量。但在工程实践中，我们常碰到大量形状复杂、且质量分布不均匀刚体，理论计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定。

转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定的形式运动。通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系，进行转换测量。测量刚体转动惯量的方法有多种，三线摆法是具有较好物理思想的实验方法，它具有设备简单、直观、测试方便等优点。

三条等长的悬挂线，对称地将一均匀的圆盘水平地悬挂在固定的小圆盘上。上下圆盘的圆心在同一条竖线上，上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴作扭摆运动，盘面彼此平行，如图1所示，这就是三线摆的实验装置。

把上面小圆盘绕轴线OO′扭转某一角度放开时，下圆盘将绕OO′轴来回扭转摆动。假设每一条悬挂线长为l，上面圆盘的圆心到悬挂点间的距离为r，下面圆盘的圆心到悬挂点间的距离为R，圆盘转角为θ，圆盘上升高度为h，如图2所示。

当下盘转动角度很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可近似看作简谐运动。根据能量守恒定律和刚体转动定律均可以导出物体绕中心轴的转动惯量(推导过程见本实验附录)。

                     （1）

式中各物理量的意义如下：为下盘的质量；、分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；为平衡时上下盘间的垂直距离；T₀为下盘作简谐运动的周期，为重力加速度（在昆明地区g=9.784m/s²）。

将质量为的待测物体放在下盘上，并使待测刚体的转轴与轴重合。测出此时下盘运动周期。同理可求得待测刚体和下圆盘对中心转轴轴的总转动惯量为：

                             （2）

待测物体绕中心轴的转动惯量为:

                       (3)

因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕某轴的转动惯量。

用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为的物体绕过其质心轴的转动惯量为，当转轴平行移动距离时（如图2所示），则此物体对新轴的转动惯量为。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。

实验时将质量均为m'，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下盘有对称的两排小孔）。按同样的方法，测出两小圆柱体和下盘绕中心轴的转动周期，则可求出每个柱体对中心转轴的转动惯量:

                   (4)

如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离以及小圆柱体的半径，则由平行轴定理可求得

                        (5)

比较与的大小,可验证平行轴定理。

四、实验内容

1．调节三根悬挂线的长度使其相等，并使下圆盘达到水平；

2．用钢卷尺测出平衡时上下盘间的垂直距离。用游标卡尺测出上、下圆盘圆心到悬挂点的距离r 和R。由于，悬挂点构成一个正三角形，测量出上圆盘悬挂点之间的距离，则，同法可测R 。用游标卡尺测出圆环的内径D₁和外径D₂。上述各个量都做单次测量；

3．测定周期T₀：当平台完全稳定时，轻轻转动上盘，带动下盘转动，这样可以避免三线摆在作扭摆运动时发生晃动（注意扭摆的转角控制在以内）。将顶盘迅速转一个角度，使下圆盘来回自由转动，经过几个周期，待运动稳定后，用电子秒表计时，测来回扭转50次所需的时间t₀，重复测量四次；

4．测定周期T₁：把圆环水平放置在下圆盘正中位置，按上述方法测出来回扭转50次的时间t₁，重复测量四次。

5. 记录各刚体的质量：待测样品圆环的质量m₁，下圆盘的质量m₀。

在以上操作中要注意使下圆盘作扭转运动，应避免产生左右摆动，另外摆动的转角不宜过大，否则不能按简谐运动来处理。

5．用三线摆验证平行轴定理

将两小圆柱体对称放置在下盘上，测出其与下盘共同转动的周期T _x和两小圆柱体的间距。改变小圆柱体放置的位置，重复测量5次。

五、数据处理

1.       自拟表格进行记录。

2.       计算圆环转动惯量的最佳估计值和标准不确定度。完整表示测量结果。

3.       进行测量结果的评价。

将测量值I与理论计算值（相比，二者是否超过测量误差范围。若差异较大，要分析原因。（自学教材p35“测量结果的评价”。）

六、问题讨论

1补充题：三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大？为什么？

 2.教材p137-138 1、2、3。

 

第二篇：实验2用三线摆测量刚体的转动惯量

实验２　用三线摆测量刚体的转动惯量

转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于质量分布均匀、外形不复杂的刚体，测出其外形尺寸及质量，就可以计算出其转动惯量；而对于外形复杂、质量分布不均匀的刚体，其转动惯量就难以计算，通常利用转动实验来测定。三线摆就是测量刚体转动惯量的基本方法之一。

一. 实验目的

1. 学会正确测量长度、质量和时间。

2. 学习用三线摆测量圆盘和圆环绕对称轴的转动惯量。

二. 实验仪器

三线摆仪、米尺、游标卡尺、数字毫秒计、气泡水平仪、物理天平和待测圆环等。

三. 实验原理

图3-2-1是三线摆实验装置示意图。三线摆是由上、下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系线点构成等边三角形，下盘处于悬挂状态，并可绕OO^‘轴线作扭转摆动，称为摆盘。由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。

设下圆盘质量为，当它绕OO^＇扭转的最大角位移为时，圆盘的中心位置升高，这时圆盘的动能全部转变为重力势能，有：

　　　（为重力加速度）

当下盘重新回到平衡位置时，重心降到最低点，这时最大角速度为，重力势能被全部转变为动能，有：

　　　　　　　

式中是下圆盘对于通过其重心且垂直于盘面的OO^‘轴的转动惯量。

如果忽略摩擦力，根据机械能守恒定律可得：

　　 （3-2-1）

设悬线长度为，下圆盘悬线距圆心为R₀，当下圆盘转过一角度时，从上圆盘B点作下圆盘垂线，与升高h前、后下圆盘分别交于C和C₁，如图3-2-2所示，则：

∵　　　　　　　

∴　　　　　　　

在扭转角很小，摆长很长时，sin，而BC+BC₁»2H，其中

　　　　　　　　　　　H=　　　 （H为上下两盘之间的垂直距离）

则　　　　　　　　　 　　　（3-2-2）

由于下盘的扭转角度很小（一般在5度以内），摆动可看作是简谐振动。则圆盘的角位移与时间的关系是

式中，是圆盘在时间t时的角位移，是角振幅，是振动周期，若认为振动初位相是零，则角速度为：

经过平衡位置时t=0 ,的最大角速度为：

（3-2-3）

将（3-2-2）、（3-2-3）式代入（3-2-1）式可得

　　　　　　　 　　 （3-2-4）

实验时，测出、及，由（3-2-4）式求出圆盘的转动惯量。在下盘上放上另一个质量为m，转动惯量为（对OO′轴）的物体时，测出周期为T，则有

　　　　　　　　　（3-2-5）

从（3-2-5）减去（3-2-4）得到被测物体的转动惯量为

　　　　　　　（3-2-6）

在理论上，对于质量为，内、外直径分别为、的均匀圆环，通过其中心垂直轴线的转动惯量为。而对于质量为、直径为的圆盘，相对于中心轴的转动惯量为。

四. 实验内容

测量下盘和圆环对中心轴的转动惯量

1. 调节上盘绕线螺丝使三根线等长（50cm左右）；调节底脚螺丝，使上、下盘处于水平状态（水平仪放于下圆盘中心）。

2. 等待三线摆静止后，用手轻轻扭转上盘5°左右随即退回原处，使下盘绕仪器中心轴作小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用数字毫秒计测出50次完全振动的时间，重复测量5次求平均值，计算出下盘空载时的振动周期T₀。

3. 将待测圆环放在下盘上，使它们的中心轴重合。再用数字毫秒计测出50次完全振动的时间t，重复测量5次求平均值，算出此时的振动周期T。

4. 测出圆环质量（）、内外直径（、）及仪器有关参量（等）。

因下盘对称悬挂，使三悬点正好联成一正三角形（见图3-2-3）。若测得两悬点间的距离为L，则圆盘的有效半径R（圆心到悬点的距离）等于 L/。

5.将实验数据填入下表中。先由（3-2-4）式推出的相对不确定度公式，算出的相对不确定度、绝对不确定度，并写出的测量结果。再由（3-2-6）式算出圆环对中心轴的转动惯量I，并与理论值比较，计算出绝对不确定度、相对不确定度，写出I的测量结果。

五. 实验数据处理

1. 实验数据表格

下盘质量g， 圆环质量g

2. 根据表中数据计算出相应量，并将测量结果表达为：

下盘: ,

　　　　＝＝(±)

圆环:　 ＝, ＝

　　 　＝＝±（g.C）

六.问题讨论

1. 在本实验中，计算转动惯量公式中的R₀，是否就是下盘的半径? 它的值应从何处测量到何处?

2.  当待测物体的转动惯量比下盘的转动惯量小得多时，为什么不宜用三线摆法测量?