实验七　 用三线摆测量刚体的转动惯量

【实验目的】

1. 学会正确测量长度、质量和时间。

2. 学习用三线摆测量圆盘和圆环绕对称轴的转动惯量。

【实验器材】

    三线摆仪、米尺、游标卡尺、数字毫秒计、气泡水平仪、物理天平和待测圆环等。

【实验原理】

转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于质量分布均匀、外形不复杂的刚体，测出其外形尺寸及质量，就可以计算出其转动惯量；而对于外形复杂、质量分布不均匀的刚体，其转动惯量就难以计算，通常利用转动实验来测定。三线摆就是测量刚体转动惯量的基本方法之一。

图1是三线摆实验装置示意图。三线摆是由上、下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系线点构成等边三角形，下盘处于悬挂状态，并可绕OO^‘轴线作扭转摆动，称为摆盘。由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。

设下圆盘质量为，当它绕OO^＇扭转的最大角位移为时，圆盘的中心位置升高，这时圆盘的动能全部转变为重力势能，有：

    　　（为重力加速度）

当下盘重新回到平衡位置时，重心降到最低点，这时最大角速度为，重力势能被全部转变为动能，有：

式中是下圆盘对于通过其重心且垂直于盘面的OO^‘轴的转动惯量。

如果忽略摩擦力，根据机械能守恒定律可得：

　　                    （1）

    设悬线长度为，下圆盘悬线距圆心为R₀，当下圆盘转过一角度时，从上圆盘B点作下圆盘垂线，与升高h前、后下圆盘分别交于C和C₁，如图2所示，则：

因为　　　　　　　

所以          

在扭转角很小，摆长很长时，sin，而BC+BC₁»2H，其中

H=

 式中H为上下两盘之间的垂直距离,则

　　　　　　　　　                  　　　（2）

由于下盘的扭转角度很小（一般在5度以内），摆动可看作是简谐振动。则圆盘的角位移与时间的关系是

式中， 是圆盘在时间t时的角位移，是角振幅，是振动周期，若认为振动初位相是零，则角速度为：

经过平衡位置时t=0 ,的最大角速度为：

                              （3）

将（2）、（3）式代入（1）式可得

                            （4）

实验时，测出、及，由（4）式求出圆盘的转动惯量。在下盘上放上另一个质量为m，转动惯量为（对OO′轴）的物体时，测出周期为T，则有

               　　 　　 　　　　（5）

从（5）减去（4）得到被测物体的转动惯量为

                    　　 　    　　（6）

在理论上，对于质量为，内、外直径分别为、的均匀圆环，通过其中心垂直轴线的转动惯量为

而对于质量为、直径为的圆盘，相对于中心轴的转动惯量为

【实验步骤】

测量下盘和圆环对中心轴的转动惯量

1. 调节上盘绕线螺丝使三根线等长（50cm左右）；调节底脚螺丝，使上、下盘处于水平状态（水平仪放于下圆盘中心）。

2. 等待三线摆静止后，用手轻轻扭转上盘5°左右随即退回原处，使下盘绕仪器中心轴作小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用数字毫秒计测出50次完全振动的时间，重复测量5次求平均值，计算出下盘空载时的振动周期T₀。

3. 将待测圆环放在下盘上，使它们的中心轴重合。再用数字毫秒计测出50次完全振动的时间t，重复测量5次求平均值，算出此时的振动周期T。

4. 测出圆环质量（）、内外直径（、）及仪器有关参量（等）。

因下盘对称悬挂，使三悬点正好联成一正三角形（见图3）。若测得两悬点间的距离为L，则圆盘的有效半径R（圆心到悬点的距离）等于 L/。

    5.将实验数据填入下表中。先由（4）式推出的相对不确定度公式，算出的相对不确定度、绝对不确定度，并写出的测量结果。再由（6）式算出圆环对中心轴的转动惯量I，并与理论值比较，计算出绝对不确定度、相对不确定度，写出I的测量结果。

【数据处理】

1. 实验数据表格

下盘质量           g，     圆环质量           g

 

2. 根据表中数据计算出相应量，并将测量结果表达为：

下盘:               ,

                    ,              

　　　　＝＝(        ±     )

圆环:　            ,

       ＝            ,   ＝          

　　  　＝＝        ±     （g.C）

【思考题】

1. 在本实验中，计算转动惯量公式中的R₀，是否就是下盘的半径? 它的值应从何处测量到何处?

2． 当待测物体的转动惯量比下盘的转动惯量小得多时，为什么不宜用三线摆法测量?

 

第二篇：三线摆测量刚体转动惯量

三线摆测量刚体的转动惯量

生命科学学院              PB05007303          李璨

实验数据：

1.       测量D、d、H

实验记录：测量H时，如果直尺距离圆盘太远，读数时会产生很大误差，如果直尺距离圆盘太近，可能会由于直尺的倾斜，而使得测量结果偏大，这时，可将直尺保持正直，将游标卡尺抵住上圆盘下边，然后可从直尺上读出数据。

2.       测量圆盘转动周期

所以， 

     

 3.  测量圆环内外径及加上圆盘时的周期

    R内 = R’内 + 10.00mm

3.       测量加上两圆柱时的周期

4.       已知数据

m0 = 357.8g

m = 398.26g

m’ = 200g

a = 173.33mm

数据处理：

1.       测量下圆盘的转动惯量I0，并计算其不确定度。

根据公式，得：

           下面求I0的A类不确定度：(P = 0.68, t = 1.14)

  

根据不确定度合成公式可得：

下面求I0的B类不确定度：(P = 0.68,KP =1)

        所以，  （P = 0.68）

2. 计算圆环的转动惯量

由公式,代入数值：

        而根据理论公式：

 所以，相对误差为

      %

    3.验证平行轴定理

     （1）当d=0时:

                     

     （2）当d=20mm时:

        

    

（3）当d=40mm时:

          （4）当d=60mm时:

         （5）当d=80mm时:

      

                    Ia—d*d直线拟合图

Linear Regression for Data1_B:

Y = A + B * X

Parameter           Value          Error

------------------------------------------------------------

A                   1.08338          0.16593

B                   42.82759        0.49301

------------------------------------------------------------

R               SD             N            P

------------------------------------------------------------

0.9998        0.26013           5       <0.0001

------------------------------------------------------------

         因为直线拟合的斜率即为两个小圆柱的质量，

         所以，2m=B==428.3g

         %

 思考题：

1． 用三线摆测刚体转动惯量时，扭角α大小对实验有无影响？若有影响，能否进行修正？

答：有影响。因为若α过大，则圆盘的扭动就不能视为简谐振动，同时α越大，形成圆锥摆的可能性也越大，周期测量的准确性也越差，并且由于α的增大，会使dh/dt增大，从而会使计算转动惯量的公式出现较大误差，

首先，我觉得如果α过大，为保证试验的准确性，可暂时不要测量周期，等到圆盘由于空气阻力转动幅度减小时，再测量。如果保持α的角度不变，则要通过阻尼振动计算公式得到周期与转动惯量的关系，不能再用简谐振动的公式了，如果粗略计算，可通过加修正因子的方法来实现。

2． 加上待测物体后，三线摆的周期是不是一定比空盘大？为什么？

答：不一定。从验证平行轴定理计算出的前四组数据即可看出。

根据公式可以看出，T的变化取决于m和I。而I 的大小不仅与质量有关，还与质量分布有关，质量分布越集中，I越小，从而T 越小，这正是前四组数据的T小于空盘周期的原因；反之，质量分布越分散，I越大。当质量分布大体相当时，m增加，则T会增加，所以，最后一组实验得到的周期比空盘周期大。

实验体会：

      在测量转动周期时，一定要使圆盘保持水平，使上下圆盘中心连线所确定的轴线保持竖直，否则会形成圆锥摆，给实验结果造成很大误差。