由麦克斯韦速率分布律推出平动动能分布律

摘要：麦克斯韦首先把统计学的方法引入分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速率分布率，现根据麦克斯韦速率分布函数，求出相应的气体分子平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质，求出平动动能的最概然值及平均值。并比较相似点和不同点。

前言：麦克斯韦把统计方法引入了分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速分分布律。这是对于大量气体分子才有的统计规律。现做进一步研究，根据其成果麦克斯韦速率分布函数，导出相应的平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质并求出平动动能的最概然值及平均值，并且由此验证其正确性。

方法：采用类比的方法，用同样的思维，在麦克斯韦速率分布函数的基础上，作进一步研究，导出能反映平均动能在附近的单位动能区间内的分子数与总分子数的比的函数的表达式。并由此进一步推出与麦克斯韦分布函数相对应的一些性质，并比较分析一些不同点。

麦克斯韦速率分布律

                 

这个函数称为气体分子的速率分布函数麦克斯韦进一步指出，在平衡态下，分子速率分布函数可以具体地写为

                 

式中T是气体系统的热力学温度，k是玻耳兹曼常量，m是单个分子的质量。式(8-30)称为麦克斯韦速率分布律。 图像如下

           图1  麦克斯韦速率分布函数

图1画出了f (v)与v的关系曲线，这条曲线称为速率分布曲线。由图可见，曲线从坐标原点出--发，随着速率的增大，分布函数迅速到达一极大值，然后很快减小，随速率延伸到无限大，分布函数逐渐趋于零。速率在从v₁到v₂之间的分子数比率DN/N，等于曲线下从v₁到v₂之间的面积, 如图中阴影部分所示。显然，因为所有N个分子的速率必然处于从0到 ¥之间，也就是在速率间隔从0到 ¥的范围内的分子数占分子总数的比率为1，即

 

这是分布函数f (v)必须满足的条件，称为归一化条件。

而     

表示在平衡态下，理想气体分子速率在v₁到v₂  区间的分子数占总分子数的比率。

而应用麦克斯韦速率分布函数可以求出气体分子三个重要的速率：

（1）最概然速率，f(v)的极大值所对应的速率　　

其物理意义为：在平衡态的条件下，理想气体分子速率分布在附近的单位速率的分布区间内的分子数占气体总分子的百分率最大。

（2） 平均速率，用于研究分子碰撞

　　　

（3） 方均根速率，用于研究分子平均平动动能，

　　　

反映的是大量分子无规则运动速率的二次方的平均值的二次方根称为方均根速率。

推导及演绎：

由于分子的平动动能可表示为  

两边同时取微分有        

带入到麦克斯韦速率函数有

现定义为为气体分子的平动动能的分布函数。

平动动能在从到之间的分子数比率DN/N，等于曲线下从到之间的面积, 如图中阴影部分所示。显然，因为所有N个分子的速率必然处于从0到 ¥之间，也就是在速率间隔从0到 ¥的范围内的分子数占分子总数的比率为1，

即         

这说明和麦克斯韦分布率相似平动动能分布函数同样必须满足归一化条件。

而   表示在平衡态下，理想气体分子速率在到 区间的分子数占总分子数的比率。

同样我们也可以根据平动动能分布函数求出最概然平动动能以及平均平动动能

(1)粒子的最概然平动动能

同样地，最概然平动动能也是对应着的极值

由

化简 

解出       

 而其所对应的速率

由此我们看到，最概然平动动能所对应的速率并不是麦克斯韦速率所求得的最概然速率。初看起来似乎很奇怪，可仔细想想，最概然速率代表的是速率分布在附近的单位速率的分布区间内的分子数占气体总分子的百分率最大时的速率。而最平动动能的概然值代表的是平动动能分布在附近的单位动能的分布区间内的分子数占气体总分子的百分率最大时的动能，其对应的速率却不是最该然速率。而计算发现这是其实是由于两个方程求极大值时对应的导函数不同。很显然求的的极大值也不同。

(2)粒子的平均平动动能

同样的，

其中因为

所以         

这个结果是显然的：有麦克斯韦分布律已经得到，这也证明了上面的推导的正确性。

总结：通过以上的讨论和分析，我们不仅进一步了解了麦克斯韦速率分布函数，及其结论，还能挖掘出衍生出来的气体平动动能的分布情况，这样我们会对气体动理论的本质有跟家深刻的理解。

引文：要善于在前人已有的基础之上做进一步试探性的研究，才能衍生出新的知识点，也能有助于深刻的理解原有的知识。

 

第二篇：大学物理下热力学小论文

第一类永动机不可能制造吗？

要说第一类永动机，我们就不能不提到热力学第一定律，即能量守恒定律。热力学第一定律可表述为：自然界的一切物质都具有能量，能量有各种不同形式，能够从一种形式转化为另一种形式，在转化中，能量的总量不变。其数学描述为：Q=△E+W，其中的Q和W分别表示在状态变化过程中系统与外界交换的热量以及系统对外界所做的功，△E表示能量的增量。

接下来让我们看一下第一类永动机的定义，即某物质循环一周回复到初始状态，不吸热而向外放热或作功，这叫“第一类永动机”，这种机器不需要外界提供能量,却可以源源不断的对外做功。显然，第一类永动机违反热力学第一定律，因此热力学第一定律有可以表述为：不可能制造出第一类永永动机。

      任何定律从提出开始就会受到人们不断的质疑和挑战。所以从热力学第一定律提出之后，人们提出了种种第一类永动机的设计方案。以下我们分析一下几种第一类永动机的设计方案。

（1）奥恩库尔的永动机

据说，13世纪有一个法国人叫奥恩库尔的，他在一个轮子的边缘上等间隔地安装了12根可活动的锤杆。他设想一旦轮子被启动,由于轮子右边的各个重锤距轮轴更远些,就会驱动轮子按箭头方向永不停息地转动下去。

分析：设想该机器置于真空当中，即运行时不受到空气阻力，但我们知道轮轴与转盘的接触面不可能绝对光滑，运行时势必会产生摩擦阻力，此时机械能转化成摩擦热能，机器将会慢慢停止。此方案不可行。

（2）滚珠永动机

    滚珠永动机是利用格板的特殊形状，使一边重球滚到比另一边的距离轮心远些的地方。设计者本以为在两边重球的作用下会使轮子失去平衡而转动不息，但试验的结果却是否定的。

分析：我们先忽略其实践结果。滚珠式永动机的设计原理与奥恩库尔的永动机是相同的，都利用了轮新左右两边力矩不相等使轮轴不断转动。该设想也同样无法解决摩察阻力的问题，且在运转时，可能会出现一个正好使得轴心左右两端力矩相等的位置，这是如果轮轴的角速度正好为零，则机器停止转动。该设计不论从原理上或实践中都是失败的。

（3）软臂永动机

       1570年，意大利的泰斯尼尔斯，提出用磁石的吸力可以实现永动机。A是一个磁石，铁球G受磁石吸引可沿斜面滚下去，滚到上端的E处，从小洞B落下，经曲面BFC返回，复又被磁石吸引，铁球就可以沿螺旋途径连续运动下去。

分析：软臂永动机的臂可以弯曲。臂上有槽，小球沿凹槽滚向伸长的臂端，使力矩增大。转到另一侧，软臂开始弯曲，向轴心靠拢。设计者认为这样可以使机器获得转矩。然而，他没有想到力臂虽然缩短了，力却增大了，转轮只能停止在原地。

（4）阿基米德螺旋永动机

把水从蓄水池里汲到上面的水槽里，让它冲击水轮使之转动，轮子在带动水磨的同时，又通过一组齿轮带动螺旋汲水器把水重新提到水槽里去。这样，整台机械就可以永不停息地运转下去。

可行性分析：这样的设计当然也必然以失败告终。因为即使没有摩擦力，从水槽中流下的水的冲力,也不足以既带动水磨工作,又带动汲水器把全部流下的水重新汲回到原来的高度。

（5）浮力型永动机

    利用球的重力使球串向下并接触水面，进而利用水的浮力上升，推动轮子转动。

    可行性分析：浮力控制，出口的的坡度控制（影响求脱离管子落到轴轮上的速度）都很难精确地实现。运转过程中只要有水漏出，下一个球将无法从管道中落下，且随着轴轮转动时间增长，摩擦阻力增大，轴将停止转动。                     

    认为以上各设计方案都很巧妙，充分利用了大自然中本来就存在的力，如磁力，水的浮力以及力矩作用。当然，近年来也有人提出了可以利用万有引力提供远远不断力的来源，或者可以利用电磁力实现永动。但我们不能忽视一个在所有设想方案中都存在的问题---器械间的摩擦阻力。在实现器械间零摩擦前，不可能制造出第一类永动机。所以解决摩擦问题是关键，近年来提出利用超导体来实现无摩擦。我们知道，温度越低，超导的效果越好，当无限接近绝对零度时，也许可以彻底消除摩擦。但由热力学第三定律，绝对零度不可能达到。以当前的科学技术，实验室温度最多达到一百多开尔文。就当今科学技术发展而言我认为第一类永动机不可能制造出来。

    不过，科技在不断发展，随着一个个定律被推翻，也许，第一类永动机会被成功制造。