伴随矩阵相关问题求解方法小结（2）

来源：文都教育

在一部分求矩阵的行列式的题目中，会将其与伴随矩阵相结合进行考查. 根据性质AA*?A*A?AE，很容易得到伴随矩阵的行列式，即

若A为n阶矩阵，则A?A*n?1.

*?1例1 设A，B为n阶矩阵，A?2，B??3，则2AB?.

解 由kA?knA，A*?AA?1，A?A*n?1?1及B?B，得到

2A*B?1?2A*B?1?2nA*?B)?2nAn?1B??22n?1.

伴随矩阵的每个元素都是原矩阵A的代数余子式，使得伴随矩阵与矩阵A之间有各种联系. 与伴随矩阵相关的另一个重要的知识点是求矩阵的秩. 矩阵A的秩与其伴随矩阵A的秩之间有如下关系： *

?n,r(A)?n,?设A为n（n?2）阶方阵, 则r(A*)??1,r(A)?n?1, r(A)表示秩(A).

?0,r(A)?n?1.?

上述关系在解与伴随矩阵相关的求解矩阵的秩的题目应用广泛，不仅要会求已知矩阵A的秩求矩阵A*的秩，还要会求已知矩阵A*的秩求矩阵A的秩，应该在理解的基础上熟记，遇到同类题目可直接应用，将会对解题提供很大的便利.

例2 设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A的秩为.

解 根据上述矩阵A的秩与其伴随矩阵A的秩之间的关系，因为A的秩为2<4，因此可得矩阵A的秩为0.

例3 设A是n阶可逆矩阵，A是A的伴随矩阵，常数k≠0，则(kA)等于（ ）. *****?1

?1?1A. kAA B. kA?1A C. k?1A?1A?1 D. kA?1A?1

解 因为A可逆，所以A*?AA?1，从而

(kA*)?1?k?1(A*)?1

?k?1(AA?1)?1

?k?1A(A?1)?1

?k?1A?1?1A. 故选择B.

综上可知，掌握与伴随矩阵相关问题的求解方法，可以很好地解决诸如求已知矩阵A求其伴随矩阵或已知其伴随矩阵求矩阵A，求与伴随矩阵有关的秩，及求逆矩阵问题. 在《2016考研数学客观题简化求解》赠送的《客观题同步测试题》中会有相对于的测试题，帮助考生巩固复习效果，是考生复习过程中的得力助手.

 

第二篇：矩阵小结

(

)

Am×n

a11??a21=???

am1

?

a12a22···am2

?a2n??

?···?

···amn···

···a1n

?

A=AT

A)

A?→A1=Im(ij)A(

k×i

()=kD

A?→A3=Im(ij(l))A(

A)

=b11b22···bnn

??b?11??D=??

???i

b12b22

·········

b1nb2nbnn

=aij+bij,

D=D1+D2D=0

??????????

A

j=1

D1D2=0?D1=0

n?

aijAsj=

?

=D,=0,

i=si=s

D2=0

A,B

n

=?|AT|=|A|,|AB|=|A||B|,|kA|=kn|A|

:

|A+B|=|A|+|B|.

(Ak)l=Akl,AkAl=Ak+l

(AT)T=A,(A+B)T=AT+BT,(AB)T=BTATImAm×n=A,Am×nIn=A

(A±B)2=A2±2AB+B2;

A2?B2=(A?B)(A+B)

A?1=B

1.

n

A

2.

A

3.A?1

??B,AB=BA=I,??|A|=0????A?→D=I??

?A=P1P2···Pk(Pi)????

r(A)=n

(1).(

)A?1=

1

?1

(kkA

=0)?0BAC

A00B

??1

?

0A?1

BA?1?B?1CA?1

?1

5.

(1).(3)

6.

?

?

A0A0

0BCB

??1

A,B

??1?

==?

A

?1

0B?1

0A?10

?

(2).?

(4)

==

?A?1CB?1

B?1

???1?

?

0B?1

?

(1).A?A=AA?=|A|I;

|A|=0,

A?=|A|A?1;(A?)?1=

1