第十五章 分式

1、分式的定义

一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母， A那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。 B

2、与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0（B?0）

②分式无意义：分母为0（B?0）

?A?0③分式值为0：分子为0且分母不为0（?）

?B?0

④分式值为1：分子分母值相等（A=B）

3、分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 AA?CAA?C字母表示：?，?，其中A、B、C是整式，C?0。 BB?CBB?C

4、分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，

改变其中任何两个，分式的值不变，即

A?A?AA ?????B?BB?B

5、分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：（1）把分式分子分母分解因式

（2）约去分子与分母的公因数。

6、最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式

7、分式的通分：把几个异分母的分式分别化成同分母分式，叫做分式的通分。 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

8、分式的四则运算与分式的乘方

① 分式的乘除法法则：

分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为acada?d ????bdbcb?c

② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。 an?a?式子???n b?b?n

③ 分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。 aba?b式子表示为?? ccc

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。 acad?bc式子表示为?? bdbd

整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，

要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，

有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。 加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

9、整数指数幂

① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数， 并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即

★am?an?am?n ★?am??amn n

★?ab??anbn ★am?an?am?n （a?0） n

an1?a?★???n ★a?n?n （a?0） ba?b?n

★a0?1 （a?0） （任何不等于零的数的零次幂都等于1） 其中m，n均为整数。

10、科学记数法 1.25?10-7 1.2?108

11、分式方程的解的步骤

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根； 如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

12、产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；

②代入最简公分母后值为0。

13、列分式方程解应用题

基本步骤

① 审—仔细审题，找出等量关系。

② 设—合理设未知数。

③ 列—根据等量关系列出方程（组）。

④ 解—解出方程（组）。

⑤ 检—检验。

⑥ 答—答题。

 

第二篇：八年级数学下册知识点总结-分式精华版

分式专项训练

1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。 B

分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

3.分式的通分和约分：关键先是分解因式

4.分式的运算：

分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

acacacadadanan

??;???? ()?nbdbdbdbcbcbb

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减AA?C?BB?CAA?C? （C?0） BB?Caba?bacadbcad?bc??,???? cccbdbdbdbd

0?n混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即a?1(a?0)；当n为正整数时，a

（a?0)

6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)

（1）同底数的幂的乘法：a?a?a

（2）幂的乘方：(am)n?amn;

（3）积的乘方：(ab)?ab；

（4）同底数的幂的除法：a?a?amnm?nmnm?n?1 an； nnn( a≠0)；

anan

（5）商的乘方：()?n；(b≠0) bb

7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤 ：

(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．

增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式

方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．

应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题v顺水＝v静水＋v水流、v顺水＝v静水-v水流

8.科学记数法：把一个数表示成a?10的形式（其中1?a?10，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．

用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n?1

用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)

n

分式对应练习

一、选择题

1．使式子1有意义的x的取值范围为 （ ）

x?1

A.x＞0 B.x≠1 C.x≠－1 D.x≠±1

2．如果分式

A.9

3．若23与的值相等，则x的值是 （ ） x?1x?3 C.5 D.3 B.7 121的值为，则的值为 （ ） 2242y?3y?74y?6y?1

B．－1 C．－A．1 1 7 D．1 5

4．当m＜0

的结果是 ( ) A.-1 B.1 C.m D.-m

a3b?a?，? （ ）. b4b

1411A. B.? C. D. 33445．已知

6．标价为x元的某件商品，按标价八折出售仍能盈利b元，已知该件商品的进价为a元，则x等于 （ ）

A.4?a?b?5?a?b?4?a?b?5?a?b? B. C. D. 5454

二、填空题

|x|?2的值为零． x2?x?2

11?28．已知实数a，b满足：ab=1，那么2的值为 ． a?1b?17．当x? 时，分式

(x－2)(x－1)9．若代数式的值为零，则x的取值应为____________ |x|－1

10

．函数y?x的取值范围是______________. 11．某工程队要修路a米，原计划每天修b米，因天气原因，实际每天少修c米，则工程推迟 天

12．某城建部门计划在城市道路两旁栽1500棵树，原计划每天栽x棵，考虑到季节、人员安排等因素，决定每天比原计划多栽50棵，最后提前5天完成任务，则可以列出的分式方程是 ．

三、解答题

13．计算：（4a?2?a）÷． aa

14．化简（1）?a?2a?3aa?a?(a?1)(a?2)；（2）化简： ?????222???a?2a?2?a?4?a?4a?4a?2a?a?2

11235???； （2）. 6x?221?3xx?1x?1

x3?2?16．已知方程有增根，则这个增根一定是（ ） x?33?x15．解分式方程：(1)

A．2 B．3 C．4 D．5

17．有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，?若设第一块试验田每公顷的产量为xkg，根据题意，可得方程（ ）

900015000900015000?? B． x?3000xxx?3000

900015000900015000??C． D． xx?3000x?3000x

11218．若x+=2，则x+2= ． xxax?119．若关于x的方程-1=0无实根，则a的值为 ． x?1

k?11k?5?2?220．若分式方程2有增根，求k值及增根. x?1x?xx?x

112421．已知a2?3a?1?0，求（1）a?2；（2）a?4. aaA．

一、选择题：

1.若|a?2|与(b?3)2互为相反数，则ba的值为

A.-6 B. C.8 D.9 2、

18

?a2?b2a?b?a?b3．计算??a2?b2?a?b???2ab的结果是 ??

(A) 1． a?b (B)

a?b1． a?b (C) a-b． (D) a+b． ?4．计算?的结果为（ ） ????baa??ab

A．a?b b B．a?b bC．a?b aD．a?b a

二、填空题：

x?31??2的解是x?__________. x?22?x

21?m??． 6．计算：m?33?m5.方程

7． 已知??3，则代数式

三、解方程： 1x1y2x?14xy?2y的值为 x?2xy?y

1251?2x?1 （2）??0 x2?3xx2?xx2?2x

2x1??1 （3）x?5?4 （4）2x?33?2xx?11?x（1）x2?

2x12(x?1)2x?1??1 （5）??6?0（5）22x?32x?3xx

四．化简：

9?a2a2?3a1?1?3?x?? （2）?（1）2 ?1??2a?6a?9a?3a?x?2?x?4

（3m?12m2111x?()?(?)x(2?)??(x2?4). （4）222m?2mm?1m?1m?1xx?2x

a241?)?2（5）( a?2a?2a?2a

五、先化简，再求值：

x?2x?1x2?16?)?（1）(2，其中x?2?2. x?2xx2?4x?4x2?4x

2x?3x2?9?1)?（2）(，其中x?2 xx

a2?b2（3）(aba2?b2a?b，其中a?2，b??1. 2?x2?16x?1（4）?2，其中x?1． ???2x?8x?16x?4x?16??

12a2?411?1)?(?)，其中a?． （5） 2?(2a?44a2a

（6）??

（7）b11???a2?2ab?b2，其中a?1?2，b?1?2． a?ba?b??3x?6x?21??，其中x??6。 2x?4x?4x?2x?2

21?)?(a2?1)，其中a?3?3． a?1a?1（8）(

x?1(x?1)3x?3??（9）2，其中x?1． x?1x4?1x?

1

（10）11x?1?2?2，其中x?1． x?1x?1x?2x?

1

a?a2?1?3a（11）?，其中a?2 ??a?1a?1a??

（12）y(x?y)?(x?y)2?x2?2y2，其中x??，y?3．

a2?2a?1?（13）??1??，其中a??2． a?1?a?13

（14）已知x?3y?0，求

2?1?x?2x?1的值． ?1???x?x?2x?y?(x?y)的值．（15）已知x??2，求22x?2xy?y

16

、已知x?1，求代数式x4?(2?x?)的值 x?22?x

x2?1x?1?17（1）化简分式2，并从?2、?1、0、1、2中选一个能x?2x?1x?1

使分式有意义的数代入求值．

?x21?x?1（2）先将?化简，然后请你选一个自己喜欢的x值，???x?x?1x?1?

求原式的值．

xy18.(6分)把分式化成两个分式的乘积的形式. 2x2?18

19课堂上，李老师出了这样一道题：已知x?2008?3，求代数式x2?2x?1x?3?(1?)的值。 2x?1x?1

小明觉得直接代入计算太繁了，请你来帮他解决，并写出具体过程。

20.（本题满分8分）

若关于x的分式方程2x?a??1的解是正数，求a的取值范围。 x?2

补充练习

（位置的确定、一次函数、二元一次方程组）

一、 选择题（每小题3分，共30分）

1． A（－3，2）关于原点的对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（ ）

A、（3，2） B、（－3，2） C、（3，－2） D、（－2，3）

2．已知点P（－3，－3），Q（－3，4），则直线PQ（ ）

A、平行于x轴 B、平行于y轴 C、垂直于y轴 D、以上都不正确

3．若点P（m+3，m+1）在平面直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（ ）

A、（4，0） B、（－4，0） C、（2，0） D、（0，－2）

4．点A（2－3，2－5）在（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

5．若直线y=kx+b中，k<0，b>0，则直线不经过（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

6．点A（3，y1）和点B（－2，y3）都在直线y=-2x+3上，则y1和y2的大小关系是（ ）

A、y1>y2 B、y1<y2 C、y1=y2 D、不能确定

7．若y=(m－2)x+(m2－4)是正比例函数，则m的取值是（ ）

A、2 B、－2 C、±2 D、

任意实数

8．已知一次函数y=2x+a与y=－x+b的图像都经过A（－4，0），与y轴分别交于B、C两

点，则△ABC的面积为（ ）

A、24 B、18 C、12 D、6

9．等腰三角形的周长是40cm，腰长y(cm)是底边长x(cm)的函数解析式正确的是（ ）

A、 y=－0.5x+20(0<x<20) B、y=－0.5x+20

C、y=－2x+40 D、y=－2x+40

10．如图，OA，BA分别表示甲乙两名学生运动的一次函数的图像，图中s和t分别表示运

动路程和时间，根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）

A、2.5米 B、2米 C、1.5米 D、1米

二、填空题（30分，每小题3分）

11．点A（3，－4）到y轴的距离为_________，到x轴的距离为________，到原点的距离为_______

12．若一次函数y=kx+b的图像经过A（－1，－5），B（2，1），则该一次函数的表达式为__________

13．已知某一次函数的图像与直线y=3x－1平行，且过点（0，12），那么此一次函数为__________.

14．将直线y=－2x－1向右平移3个单位后得到的直线为__________

15．若函数y=2x+3与y=3x－2b的图像交于x轴同一点，则b=__________

16．已知方程组ax-by=4

ax+by=2的解为x=2

y=1

2，则2a－3b的值为_________ 17．设实数x，y满足x+y-5+(x-4y)=0，则xy=_________

18．当c=_________时，方程组2x-y=c+1

x+2y=2c，满足x=y。

19．在平面直角坐标系中，点A（x，4）,B（0，8）和C（－4，0）在同一直线上，则x=________

20．解方程组ax+y=8x-by=7时，由于粗心，小红看错了方程组中的a，而得解为x=-3y=5，小

华看错了方程组中的b而得解为x

=－1

y=10，则原方程组的正确解为________