分式知识点总结

第三章  分式

3.1 分式

1、分式概念：形如的式子，其中A，B是分式，B中有字母，这样的式子叫做分式.

例1：判断哪些是分式：-5，,,,,.

2、分式有无意义的条件

有意义：分母不为0

无意义：分母为0

例2：分式有意义，满足什么条件？

练习：有意义，则满足什么条件？

3、分式值为0的条件：分子为0，分母不为0.

例3：值为0，则=        .

练习：，那么=        .

4、分式基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）不等于0的整式，分式的值不变.如：（，A，B，M为整式）

圆角矩形标注: 回想一下什么叫做公因式？例4：填空.=，

上述基本性质运用于分式的约分和通分：

²分式的约分：约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的变形叫约分.（分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式）

例5：把分式，约分.

练习：把分式约分.

²分式的通分：把几个异分母分式化为同分母分式，这样的变形叫通分.

最简公分母定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

找最简公分母的方法：

[1] 取各分母系数的最小公倍数.

[2] 单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式.

[3] 相同字母的指数取次数最高的.

例6：把分式通分.

练习：把分式通分.

3.2 分式的运算

1、分式的乘除：

分式乘法：分子分子作为分子，分母分母作为分母.即.

分式除法：分式1分式2=分式1分式2的倒式（分子、分母颠倒位置）.即

例7：         .

         .

另外：分式的乘方为

例8：         .

2、分式的加减：

同分母分式的加减：分母不变，分子直接相加减.即.

异分母分式的加减：先通分，变形为同分母分式的加减.即.

例9:              .

              .

3、分式的混合运算：有小括号的先算小括号里面的，没有小括号则先算乘方，再算乘除，最后算加减.

例10:计算.

练习：计算.

3.3 分式方程

1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

2、解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.

分式方程解法（步骤）：

à去分母（乘以最简公分母）

à解方程

à检验

最后带入最简公分母，若为0，则不是方程的解；不为0，则是方程的解.

3、增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0），那么这个根叫做原分式方程的增根.正因为此，分式方程的根求出后必须检验.

例11：解分式方程.

练习：有一个正数解，求的范围.

4、分式方程应用题

分式方程解决实际问题的步骤：

审ð分析题意，找出等量关系

设ð选择适当的未知数，注意单位

列ð根据等量关系正确列出方程

解ð认真仔细

验ð检验方程和题意

答ð完整作答

例12：甲、乙两地相距360km，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2h，试确定原来的平均车速.

练习：一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流速度为3千米/时，求轮船在静水中的速度.（航船问题中的公式：顺水速度=船速+水流速度，逆水速度=船速-水流速度）

²另附：分式方程常见的实际问题中的等量关系

一.工程问题 

工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量工作时间，

工作时间＝工作量工作效率  

二．营销问题 

1．商品利润＝商品售价一商品成本价

2．商品利润率＝商品利润商品成本价×100%

3．商品销售额＝商品单价×商品销售量

4．商品的销售利润＝(销售价一成本价)×销售量

三．行程问题

1．路程＝速度×时间，速度＝路程时间

2．在航行问题中，其中数量关系是（同样适用于航空）：

顺水速度＝静水速度（船速）＋水流速度 

逆水速度＝静水速度（船速）－水流速度

 

第二篇：政治中考知识点分类总结

一、“标志”类 1.生产力发展水平的重要标志——生产工具 2新民主主义革命开始标志——19xx年“五四”运动 3.新民主主义革命结束标志——1949.10.1中华人民共和国成立 4.社会主义革命结束标志——19xx年社会主义改造胜利、社会主义制度确立 5.我国进入社会主义或社会主义初级阶段的标志——19xx年社会主义改造胜利、社会主义制度确立 6.依法治国是党领导人民治理国家的基本方略是发展社会主义市场经济的客观需要是社会文明进步的重要标志是国家长治久安的重要保障。 30科学技术是人类文明进步的阶梯和标志。 二、“主要矛盾”、“基本矛盾”类 1.我国社会主义初级阶段的主要矛盾人民日益增长的物质文化需要同落后的社会生产之间的矛盾。 2.社会的基本矛盾生产力与生产关系的矛盾。 三、“本质”、“实质”类 1.社会主义的本质解放生产力发展生产力消灭剥削消除两极分化最终达到共同富裕。 2. 我国国家政权的阶级性质——人民民主专政 3.社会主义民主的本质人民当家作主。 4.正当防卫的实质——排除社会危害性的行为 5.当前国际竞争的实质——以经济和科技实力为基础的综合国力的较量 6.中国共产党的性质——是中国工人阶级的先锋队同时是中国人民和中华民族的先锋队是中国特色社会主义事业的领导核心代表中国先进生产力的发展要求代表中国先进文化的前进方向代表中国最广大人民的根本利益。 7.我国改革的实质社会主义制度的自我完善。 8国际竞争的实质是以经济和科技实力为基础的综合国力的较量。而经济竞争的实质又是科技的竞争科技的竞争实质又是创新人才的竞争。 四、“根本”类 1.社会主义的根本任务解放生产力发展生产力。社会主义的根本目的——————消灭剥削,消除两极分化,最终达到共同富裕 2.判断所有问题的根本标准——“三个有利于”①有利于发展社会主义社会的生产力②有利于增强社会主义国家的综合国力③有利于提高人民的生活水平。 3.我国的根本制度社会主义制度。 4.我国的根本政治制度人民代表大会制度。 5.我们立党立国的根本也是中国特色社会主义文化建设的根本坚持马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想的指导地位。 6.社会主义精神文明建设的根本任务也是发展先进文化的根本任务提高全民族的思想道德素质和科学文化素质培养一代又一代有理想、有道德、有文化、有纪律的公民。 7.公民根本活动准则——宪法 8.我国正处于社会主义初级阶段的根本原因——生产力水平低 9.国家的根本任务是集中力量进行社会主义现代化建设大力发展社会生产力。 10.根据我国正处于社会主义初级阶段这一基本国情党从全国各族人民的根本利益出发制定了社会主义初级阶段的基本路线。 11.只有坚持以经济建设为中心大力发展生产力才能从根本上巩固和发展社会主义制度才能不断满足人民日益增长的物质文化需要才能推动社会的全面进步。 12.四项基本原则是全国人民团结奋进的共同政治基础是全国人民的根本利益所在是社会主义现代化建设事业的政治保证。 13.改革的目标是在坚持社会主义基本制度的前提下从根本上改变束缚生产力发展的经济体制建立充满生机和括力的社会主义市场经济体制同时相应地改革政治体制和其他方面的体制以适应初级阶段生产力发展和实现现代化的历史要求。 14.以经济建设为中心是由社会主义初级阶段的主要矛盾——人民日益增长的物质文化需要同落后的社会生产之间的矛盾决定的。因为发展社会生产力是解决这一矛盾的根本途径。 15.只有以经济建设为中心大力发展社会生产力才能从根本上巩固和发展社会主义制度不断满足人民的需要推动社会的全面进步。

16.实践证明以经济建设为中心是正确的党的十一届三中全会以来由于我们坚持以经济建设为中心并始终没有动摇过从而使我国的经济建设上了一个大台阶人民生活上了一个大台阶综合国力上了一个大台阶。这也是我国社会主义制度经受住了严峻考验的根本原因。 17.共同富裕是社会主义的根本原则。 五、基础 1.生产关系的基础——生产资料归谁所有 2.我国社会主义初级阶段经济制度的基础——生产资料公有制 3.全国人民团结奋进的共同政治基础——坚持四项基本原则 4.普通法律的立法基础——宪法 5.实现权利

的基础——义务 6.文化建设的基础工程——发展教育科学 7.培养人才的基础——教育

8.国际竞争的实质是以经济和科技实力为基础的综合国力的较量。 六、核心 1. 社会主义精神文明建设的核心——思想道德建设 2. 社会主义道德建设的核心——为人民服务 3. 基本路线的核心内容——以经济建设为中心坚持四项基本原则坚持改革开放 4. 我国现代化建设各项工作的中心——经济建设 5. 新的基础教育课程体系的核心——培养学生的创新精神和实践能力 6. 实现可持续发展的核心问题——实现经济社会和人口、资源、环境的协调发展 7.加快少数民族地区的经济建设缩小地区差异促进各民族的共同繁荣是巩固和发展全国各民族人民大团结的核心。 8.“强权就是真理”这是霸权主义的核心思想。 七、关键 1. 控制人口增长的关键——少生 2. 实现现代化的关键——科学技术 3. 能否成才的关键——自己勤奋努力 4. 合理开发和利用自然资源减少资源的浪费和破坏的关键——*科技创新 5. 科技发展和社会进步的关键——敢于和善于创新 6. 世界范围内的竞争、综合国力的竞争关键--科学技术的竞争 7. 实施可持续发展战略的关键——做好人口、资源、环境工作 8.坚持党的基本路线不动摇关键---坚持以经济建设为中心不动摇。 八、目的、目标 1. 社会主义根本目的——消灭剥削、消除两极分化、最终达到共同富裕 2. 基本路线的奋斗目标——把我国建设成为富强、民主、文明的社会主义现代化国家 3. 改革的目的——为了解放和发展生产力建设有中国特色的社会主义 4. 经济体制改革的目标——建立社会主义市场经济体制 九、保证、保障 1. 社会主义现代化建设事业取得成功的政治保证——坚持四项基本原则 2. 社会主义现代化建设事业取得成功的思想保证——艰苦创业精神 3. 公民权利最重要的法律保障——宪法 十、原则 1. 人民代表大会的组织原则——民主集中制 2. 社会主义法制的一条基本原则——公民在法律面前一律平等 3. 我国处理民族关系的基本原则——坚持民族平等、民族团结和各民族共同繁荣 十一、基本 1.我国最基本国情——正处于社会主义初级阶段 2.党领导人民治理国家的基本方略——依法治国 3.我国社会主义初级阶段的基本经济制度——公有制为主体、多种所有制经济共同发展 4.我国基本民族政策——民族区域自治 5.人类生产和生活的基本条件——资源和环境 6.中国现在处于并将长期处于社会主义初级阶段这是当代中国最基本的国情。 7.人口基数大新增人口多人口素质偏低这是我国人口现状的基本特点。 8.实行计划生育是从我国社会主义初级阶段的国情出发制定的基本国策也是在目前条件下解决人口的唯一正确的选择。 9.我国资源状况的特点是自然资源总量大、种类多但人均占有量少、开发难度大。这是我国的又一基本国情。 10.我国社会主义基本制度建立到基本实现社会主义现代化这一历史进程至少需要一百年的时间。 11.实行对外开放是我国长期的基本国策。 12.在社会主义初级阶段实行公有制为主体、多种所有制经济共同发展的基本经济制度。 13.依法治国是党领导人民治理国家的基本方略是发展社会主义市场经济的客观需要是社会文明进步的重要标志是国家长治久安的重要保障。 14.要大力倡导“爱国守法、明礼诚信、团结友善、勤俭自强、敬业奉献”的公民基本道德规范。 15.生产力与生产关系的矛盾构成社会的基本矛盾。正是生产力与生产关系的相互作用、相互影响推动着人类社会向前发展决定这社会性质的变化和社会经济政治文化的发展方向。 16.霸权主义是美国对外关系的基本战略。 十二、主要矛盾1.我国社会的主要矛盾是人民日益增长的物质文化需要与落后的社会生产之间的矛盾。这个主要矛盾贯穿于我国社会主义初级阶段的整个过程和社会生活的各个方面。 2.环境问题主要是指环境污染和生态环境的破坏。我国面临的环境问题主要表现在水土流失严重沙漠化迅速发展草原退化加剧森林资源锐减生物物种加速灭绝地下水位下降水体污染明显加重大气污染严重固体废弃物存放量过大垃圾包围城市环境污染向农村蔓延??。 3.公有制的主体地位主要表现在就全国而言国有资产在社会总资产中占优势国有经济控制国民经济命脉对经济发展起主导作用。 4.国有经济的主导作用主

要体现在控制力上 5.行使立法权是全国人民代表大会及其常委会的主要职权也是它的经常性工作。 6.社会主义精神文明建设是我国文化建设的主要内容具体来说它包括两个方面一是思想道德建设二是教育科学文化建设 7.根据生产关系一定要适应生产力发展的原理一种社会制度的建立或消亡究竟是历史的前进还是倒退判断的主要标准在于这个社会的生产关系是否与当时的生产力发展相适应。 8.霸权主义是当代世界和平与发展面临的主要威胁霸权主义一直是威胁世界和平与发展的主要根源。 十四、重要

1.我国是世界上人口最多的国家这是我国社会主义初级阶段的重要国情之一。 2.集体所有制经济是公有制经济的重要组成部分。 3.非公有制经济是我国社会主义市场经济的重要组成部分。 4.加强社会主义思想道德建设是发展先进文化的重要内容和中心环节 5.民族区域自治制度是我国的基本政治制度之一是建没有中国特色社会主义政治的重要内容。

6.民族团结是中华民族的最高利益关系到国家的前途和命运是我国社会主义现代化建设的重要保证也是当今世界衡量一个国家综合国力的标志之一 7.世界和平是促进各国共同发展的前提条件各国的共同发展则是保持世界和平的重要基础。 8.艰苦奋斗是中华民族的传统美德是我们民族精神的重要内容。 9.实现中华民族的伟大复兴是当代青年最重要的社会责任 10.作为最重要的社会责任实现中华民族的伟大复兴是我们的共同使命。 十五、决定 1.生产力决定生产关系生产力是推动人类社会发展的最终决定力量。 2.科学技术是第一生产力是推动经济和社会发展的决定性因素。 3.国家的性质决定于生产资料所有制的性质。 4.无产阶级独立自主的领导权是新民主主义革命能够取得彻底胜利的根本保证也是新民主主义革命能够直接转变为社会主义革命的决定性因素。

5.中国人民接受中国共产党的领导走上由新民主主义革命到社会主义革命的道路是他们做出的决定性选择也是惟一正确的选择具有历史的必然性符合历史发展的客观规律。 6.我国社会主义脱胎于半殖民地半封建社会。当我国进入社会主义国家的时候生产力发展不仅远远落后于发达国家甚至与一些发展中国家相比也有很大的差距这就决定了我国的社会主义必然经历一个相当长的初级阶段7.以经济建设为中心是由社会主义初级阶段的主要矛盾——人民日益增长的物质文化需要同落后的社会生产之间的矛盾决定的。因为发展社会生产力是解决这一矛盾的根本途径。 8.实行按劳分配为主体、多种分配方式并存的分配制度。从根本上说是由生产关系一定适应生产力发展的客观规律决定的具体说是由我国的国家性质和基本国情决定的。 9.在我国一切权力属于人民人民有权决定国家的重大事务。 10. 马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论集中了体现了先进文化的前进方向我们必须坚持马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论的指导地位这是我们立党立国的根本也是中国特色社会主义文化建设的根本决定着我国文化事业的性质和方向。 11.我国实行的是以公有制为主体、多种所有制经济共同发展的基本经济制度。这一制度的确立是由社会主义性质和初级阶段国情决定的。 12.生产力是社会发展的最终决定力量而人又是生产力中最具决定性的因素。 13.生产力与生产关系的相互关系首先表现为生产力决定生产关系。 14.生产力与生产关系的矛盾构成社会的基本矛盾。正是生产力与生产关系的相互作用、相互影响推动着人类社会向前发展决定这社会性质的变化和社会经济政治文化的发展方向。 15.从根本上讲我国社会主义制度的建立是解放生产力、发展生产力的要求我国的社会主义正处在初级阶段也是由生产关系一定要适应生产力发展状况决定的。所以社会主义初级阶段是我国必须要经历的特定阶段是不可逾越的历史阶段。 16.我们能否在科技发展上取得优势增强以经济和科技为基础的综合国力最终将决定本国在国际上的地位。而综合国力的竞争归根到底是人才的竞争。

17.科技进步是经济发展的决定性因素。 18.在科技革命迅猛发展的新世纪科技进步和创新是增强综合国力的决定性因素。 19.一是我国的国情二是“人世”后激烈的国际竞争形势三是我国与世界发达国家的差距四是我国在本世纪的根本任务和奋斗目标。这些因

素决定了我们要继续发扬艰苦奋斗的精神。同时也揭示了我们青年所肩负的历史使命和社会责任。 十六、原因 1.生产力的发展是私有制、阶级和国家产生的根本原因。 2.人口众多并不一定意味着落后人口之所以成为我国经济发展的沉重包袱除了人口数量过多、增长过快之外另一个重要原因是人口素质偏低。 4. 实践证明以经济建设为中心是正确的党的十一届三中全会以来由于我们坚持以经济建设为中心并始终没有动摇过从而使我国的经济建设上了一个大台阶人民生活上了一个大台阶综合国力上了一个大台阶。这也是我国社会主义制度经受住了严峻考验的根本原因。 十七、前提 1.“两种制度”是指在一个中国的前提下国家的主体坚持社会主义制度香港澳门台湾保持原有的资本主义制度和生活方式长期不变。 2.在一定的社会生产力水平和消费资料的前提下人口越多、增长越快所需要的抚养、生活费用就越多能够用于生产的费用和人均占有的消费资料就越少经济的发展和人民生活水平提高的速度就越慢。 3.改革的目标是在坚持社会主义基本制度的前提下从根本上改变束缚生产力发展的经济体制建立充满生机和括力的社会主义市场经济体制同时相应地改革政治体制和其他方面的体制以适应初级阶段生产力发展和实现现代化的历史要求4.改革是动力发展是目的稳定是前提。 5.我们在把握成才目标时首先要符合社会的发展要求和人民的根本利益这是正确选择成才目标的前提和标准。其次要从实际出发这是选择成才目标的出发点。 十八、必然

1.中国走上社会主义道路是中国革命历史发展的必然结果 2.中国人民接受中国共产党的领导走上由新民主主义革命到社会主义革命的道路是他们做出的决定性选择也是惟一正确的选择具有历史的必然性符合历史发展的客观规律。 3.社会主义制度之所以优越于资本主义制度社会主义之所以必然代替资本主义就在于社会主义能够创造出比资本主义更高的生产力。 4.我国社会主义脱胎于半殖民地半封建社会。当我国进入社会主义国家的时候生产力发展不仅远远落后于发达国家甚至与一些发展中国家相比也有很大的差距这就决定了我国的社会主义必然经历一个相当长的初级阶段。 5.实现共同理想是实现共产主义理想的必要准备和必经阶段实现最高理想是实现共同理想的必然趋势和最终目的。 6.科技竞争、经济竞争、军事竞争乃至综合国力的竞争归根到底是人才的竞争高度重视人才问题是历史发展的必然要求。 十九、必须 1.党的基本路线关系着国家的前途、民族的命运必须长期坚持下去贯穿于整个社会主义初级阶段一百年不动摇。

2.我国的社会主义初级阶段是一个相当长的历史阶段从xx年代社会主义制度建立到社会主义现代化基本实现至少需要一百年的时间。我们必须从这一基本国情出发绝不能超越社会主义初级阶段。 3.以经济建设为中心就是在整个社会主义初级阶段各项工作都必须服从和服务于经济建设就是要把集中力量发展社会生产力放在首位。 4.面对人口、资源、环境方面的国情我们在现代化建设中必须实施可持续发展战略坚持计划生育、保护资源和环境的基本国策正确处理经济发展同人口、资源、环境的关系。 5.我国现阶段必须坚持按劳分配为主体、多种分配方式并存的分配制度这是与我国现阶段的基本经济制度相适应的。 6.马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论集中了体现了先进文化的前进方向我们必须坚持马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论的指导地位这是我们立党立国的根本也是中国特色社会主义文化建设的根本决定着我国文化事业的性质和方向。

7.经济建设这个中心必须牢牢把握毫不动摇但精神文明建设搞不好物质文明也要受破坏甚至社会也会变质。 8.必须在加强社会主义法制建设、依法治国的同时切实加强社会主义道德建设以德治国。 9.建设有中国特色社会主义文化必须始终坚持以马克思主义、毛泽东思想、邓小平理论为指导努力继承和发扬中华民族的一切优秀文化传统努力学习和吸收一切外国的优秀文化才成果不断创新不断发展。 10.营造良好的文化环境必须坚持以科学的理论武装人以正确的舆论引导人以高尚的精神塑造人以优秀的作品鼓舞人。 二十、趋势 1正如毛泽东指出“民主主义革命是社会主义革命的必

要准备社会主义革命是民主主义革命的必然趋势。” 2从总体上看我国生态环境恶化的趋势初步得到遏制部分地区有所改善但目前我国环境形势依然相当严峻不容乐观。 3任何一个国家、地区或民族的社会发展的特殊过程最终还是要汇入人类社会发展的一般过程中去这种社会由低级阶段向高级阶段发展的总趋势是不会改变的。 二十

一、总体 1到20xx年我国人均GDP突破900美元中华民族实现了由温饱到总体上达到小康的跨越。 2从总体上看现阶段我国社会生产力水平还比较低科学技术水平、民族文化素质还不够高社会主义具体制度还不完善我国社会主义社会仍然处于初级阶段。中国现在处于并将长期处于社会主义初级阶段这是当代中国最基本的国情。 3从总体上看我国生态环境恶化的趋势初步得到遏制部分地区有所改善但目前我国环境形势依然相当严峻不容乐观。 4从总体上看人类社会的发展要先后经历原始社会、奴隶社会、封建社会、资本主义社会、社会主义和共产主义社会这是人类社会由低级阶段向高级阶段发展的一般过程。 二十二、归根到底 1从人类社会发展的历程中。我们看到新的社会制度的产生是生产力发展的要求新的社会制度最终战胜旧的社会制度归根到底也要取决于社会生产力的巨大发展。 2科技竞争、经济竞争、军事竞争乃至综合国力的竞争归根到底是人才的竞争高度重视人才问题是历史发展的必然要求

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